1.5.1 平面上两点间的距离（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高二数学（选修一）第一章 直线与方程 1.5.1 平面上两点的距离 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.掌握两点间的距离公式并会应用. 2.会用坐标法证明简单的平面几何问题． 情景导入 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 两条直线的位置与相应方程组的解的个数之间的关系 方程组 的解数 直线的公共点的个数 直线的位置关系 一组 一个 相交 无数组 无数个 重 合 无解 零个 平行 复习回顾 已知A（-1,3），B（3，-2），C（6，-1），D（2,4），四边形ABCD是否是平行四边形？ 如何求解AB、CD的距离？ 判定方法： 1、两组对边分别平行； 2、两组对边分别相等； 3、两条对角线互相平分. 平面上两点的距离 新知探究 已知：P1（x1,y1）和P2（x2,y2），试求：P1，P2两点间的距离 (1)y1=y2 (2)x1=x2 P1Q=|x2-x1| P2Q=|y2-y1| ( 3 )x1≠x2, y1≠y2，P1（x1,y1)，P2（x2,y2）两点间的距离 (1)y1=y2 (2)x1=x2 ( 3 ) x1≠x2, y1 ≠ y2, y1=y2 x1=x2 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2＝＝|x2－x1|，或P1P2＝|y2－y1|. 概念归纳 例1：(1)求A（-1,3），B（2,5）两点间的距离； (2)已知A（0,10），B（a,-5）两点间的距离是17，求实数a 的值。 解：(1)由两点间距离公式，得： (2)由两点间距离公式，得： 你会算出引例中，平行四边形的两组对边的长度吗？ 已知A（-1,3），B（3，-2），C（6，-1），D（2,4），四边形ABCD是否是平行四边形？ 证明两条对边平行 证明两条对边相等 证明对角线互相平分 …… 由A1M1=M1C1，得 所以线段AC的中点M坐标为 同理可得线段BD中点的坐标也为 一般地：对于平面上的两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）, 线段P1P2的中点是M（x0,y0），则 已知△ABC的三个顶点的坐标分别是、和，则△ABC的重心G的坐标为 例2：已知△ABC 的顶点坐标为A（-1,5），B（-2，-1）， C（4,7），求BC边上的中线AM的长。 解：设M（x,y） 即M（1，3） 由两点间距离公式得： 会求点A关于点B的对称点D吗？ 例2：已知△ABC 的顶点坐标为A（-1,5），B（-2，-1）， C（4,7），求BC边上的中线AM的长。 会求点A关于点B的对称点D吗？ 解：设D（x,y） 解得：x=-3,y=-7 即D（-3,-7） 例3、求证：点M(1,1)与点N(5,-1),关于直线l:2x-y-6=0对称 分析： 先求MN与l的交点O的坐标 再利用两点间距离公式求证OM=ON 例3、求证：点M(1,1)与点N(5,-1),关于直线l:2x-y-6=0对称 变式：求点M(1,1)关于直线l:2x-y-6=0对称点。 分析： 证明：设MN中点为O， 由中点坐标公式得O（3,0）, （3,0）在直线l上, 所以： 所以MN被l平分； 所以点M(1,1)与点N(5,-1),关于直线l:2x-y-6=0对称 例3、求证：点M(1,1)与点N(5,-1),关于直线l:2x-y-6=0对称 变式：求点M(1,1)关于直线l:2x-y-6=0对称点。 分析： 所以点M关于直线l的对称点N为（1,1） 典例剖析 典例剖析 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解． 概念归纳 练一练 反思感悟　将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解．   典例剖析 练一练 典例剖析 典例剖析 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”． (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量． ②进行有关代数运算． ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 概念归纳 练一练 随堂练 随堂练 随堂练 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 10 分层练习-拓展 D 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 　　平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为P1P2= . 1 | 两点间的距离 　　对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点是M(x0,y0),则x0= ,y0= . 2 | 中点坐标公式 课堂小结 1.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)的距离d= . 2.两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不全为0,C1≠C2)间的距离d= . 　　注:应用两条平行直线间的距离公式时,两条平行直线的方程需为一般式,且x,y的系数 对应相等. 3 | 点到直线的距离 课堂小结 解　(1)由两点间距离公式，得 AB＝＝. (2)由两点间距离公式，得 ＝17， 解得a＝±8. 故所求实数a的值为8或－8. 课本例1　(1)求A(－1,3)，B(2,5)两点间的距离； (2)设a为实数，已知A(0,10)，B(a，－5)两点间的距离是17，求a的值． 解　方法一　∵AB＝＝＝2， AC＝＝＝2， 又BC＝＝＝2， ∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形． 方法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又AC＝＝＝2， AB＝＝＝2， ∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形． 例1　已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状． 已知A(a,2)，B(－2，－3)，C(1,6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　A 解析　由两点间的距离公式及|AB|＝|AC|可得，＝，解得a＝－2. 例2　在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A(2,0)，若直线l上存在点M满足MA＝2MO(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是____________． 答案　 解析　设M(x，－x－a)，由MA＝2MO， 得(x－2)2＋(－x－a)2＝4x2＋4(－x－a)2，整理得6x2＋(6a＋4)x＋3a2－4＝0，由Δ≥0得9a2－12a－28≤0， 解得≤a≤，故a的取值范围为. 在直线2x－3y＋5＝0上存在点P，使点P到A(2,3)的距离为，则点P的坐标是(　　) A．(5,5) B．(－1,1) C．(5,5)或(－1,1) D．(5,5)或(1，－1) 答案　C 解析　设点P(x，y)，则y＝.由PA＝，得(x－2)2＋2＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，∴点P的坐标为(－1,1)或(5,5)． 证明　如图，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)． 因为点M是BC的中点，所以点M的坐标为，即. 由两点间距离公式，得 BC＝＝， AM＝＝. 所以AM＝BC. 课本例3　在直角三角形ABC中，点M为斜边BC的中点，试建立适当的直角坐标系，求证：AM＝BC. 例3　求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 证明　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点． 设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)， 则AB＝|c|. 又由中点坐标公式，得D，E， ∴DE＝＝， ∴DE＝AB， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：AC＝BD. 证明　如图所示，建立平面直角坐标系， 设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c)． ∴AC＝＝， BD＝＝. 故AC＝BD. 1．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且AB＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1,5 答案　C 解析　由两点间距离公式得＝5.解得a＝1或a＝－5. 2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则PQ等于(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 答案　B 解析　∵P(1,1)，Q(5,5)，∴PQ＝＝4. 3．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是(　　) A．(－4,5) B．(－3,4) C．(－1,2) D．(0,1) 答案　BC 解析　设所求点的坐标为(x0，y0)，有 x0＋y0－1＝0，且＝， 两式联立解得或 1．若A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则等于(　　) A. B. C．3 D．2 答案　D 解析　AC＝4，CB＝2，故＝2. 2．点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为(　　) A．41 B. C. D．39 答案　B 解析　设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5)，则OM＝＝. 3．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　　) A．2 B．3 C. D. 答案　C 解析　由中点坐标公式可得，BC边的中点D.由两点间的距离公式得AD＝＝. 4．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则AB的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B， 由两点间的距离公式，得AB＝. 5．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)， ∴AB＝ ＝ ＝ ＝， ∴当a＝时，AB取得最小值． 6．(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离 答案　BCD 解析　＝ ＝＝， 可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离， 可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确． 7．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则AB＝________. 答案　 解析　由题意知kAB＝＝b－a＝1，所以AB＝＝. 答案　 解析　由两点间的距离公式得P到原点的距离为＝ ＝， ∴最小值为＝. 8．若动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________． 解　由题易知a≠0，在直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝， 则B，故AB的中点为， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴＝，解得a＝±2 9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值． 10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－3,3)，B(－1,1)，若直线x－y－m＝0上存在点P使得PA＝PB，则实数m的取值范围是________. 答案　[－2，2] 解析　设P(x，x－m)， 因为PA＝PB，所以PA2＝3PB2， 所以(－3－x)2＋(3－x＋m)2＝3(－1－x)2＋3(1－x＋m)2， 化简得2x2－2mx＋m2－6＝0， 则Δ＝4m2－4×2(m2－6)≥0， 解得－2≤m≤2， 即实数m的取值范围是[－2，2]. 答案　C 解析　AB＝＝ ＝＝2， BC＝＝ ＝＝4， AC＝＝＝2， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形． 11．以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 12．已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是(　　) A．0 B．2 C．4 D. 答案　B 解析　S＝＋可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2. 13．已知△ABC的三顶点A(3,8)，B(－11,3)，C(－8，－2)，则BC边上的高AD的长度为________． 答案　 解析　由两点间距离公式得AB＝，BC＝， AC＝. ∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形， ∴D为BC的中点， 由中点坐标公式易得D， ∴AD＝＝. 14．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝________. 答案　10 解析　以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)， 设A(4a,0)，B(0,4b)， 则D(2a,2b)，P(a，b)， 所以PA2＝9a2＋b2，PB2＝a2＋9b2， PC2＝a2＋b2， 于是PA2＋PB2＝10(a2＋b2)＝10PC2， 即＝10. 15．在平面直角坐标系内有四点A(－1,0)，B(2,1)，C(1,5)，D(－2,2)，P为该平面内的动点，则P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为(　　) A．10 B.＋ C．14 D.＋ 答案　D 解析　依题意可知，四点A(－1,0)，B(2,1)，C(1,5)，D(－2,2)构成一个四边形ABCD， 因为PA＋PC≥AC， 当且仅当P在对角线AC上时取得等号， 因为PB＋PD≥BD， 当且仅当P在对角线BD上时取得等号， 所以PA＋PC＋PB＋PD≥AC＋BD ＝＋ ＝＋， 当且仅当P为两条对角线的交点时取得等号． 故P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为＋. 16.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB2＋BC2－AC2＝2BD2. 证明　如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系． 设B(b，c)，C(a,0)， 依题意得A(－a,0)． AB2＋BC2－AC2 ＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2 ＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2BD2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以AB2＋BC2－AC2＝2BD2. $$