第5章 二元一次方程组 培优突破练习【10个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第5章 二元一次方程组 培优突破练习【10个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 考点梳理 一．二元一次方程的解 二．解二元一次方程 三．二元一次方程的应用 四．二元一次方程组的解 五．解二元一次方程组 六．由实际问题抽象出二元一次方程组 七．二元一次方程组的应用 八．解三元一次方程组 九．三元一次方程组的应用 一十．一次函数与二元一次方程（组） 考点精讲精练 一．二元一次方程的解 · 二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 1．（2024春•道里区校级月考）下列不是方程的解的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•仁寿县校级月考）已知是二元一次方程的一组解，那么的值为 　　． 二．解二元一次方程 · 解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 3．（2023秋•三元区期末）把方程变形，用含的代数式表示，则　　． 三．二元一次方程的应用 · 二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 4．（2017•涪城区校级自主招生）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的　　倍． A．2 B．2.5 C．3 D．4 5．（2020•黄州区校级模拟）如图，长方形被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形的周长为，若图中3个正方形和2个长方形的周长和为，则标号为①的正方形的边长为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•长清区期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图，将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则　　． 四．二元一次方程组的解 · 二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 7．（2021春•萧山区期中）已知关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为　　 A． B． C． D． 8．（2021春•滨江区校级期中）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　　 ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示．则； A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．（2021春•奉化区校级期末）已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有4对； ④若，则． 正确的有几个　　 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2022春•朝天区期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　　 ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 11．（2021春•余杭区期中）在关于，的二元一次方程组的下列说法中，正确的是　　 ①当时，方程的两根互为相反数；②当且仅当时，解得与相等；③，满足关系式；④若，则． A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 12．（2024春•崇川区校级月考）若方程组的解是，则方程组的解是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•雁塔区校级期末）已知关于，的二元一次方程组的解为，若，满足二元一次方程组，则　　 A．0 B．2 C．4 D．6 14．（2023秋•漳州期末）已知、满足方程组，则的值为 　　． 15．（2024春•海淀区校级期中）如果关于，的二元一次方程组的解满足方程，则的值为 　　． 16．（2024春•朝阳区校级期中）若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是 　　． 17．（2024春•瑞安市期中）若关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 　　． 18．（2024春•安陆市月考）已知关于，的方程组的解的和是，则　　． 19．（2024春•新泰市校级月考）关于，的二元一次方程组的解满足，则满足条件的值为 　　． 20．（2024春•玄武区校级月考）已知方程组的解是，则方程组的解为 　　． 21．（2017春•米东区校级月考）甲乙两人共同解方程组，甲由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 22．（2021春•寻乌县期末）已知，关于，的方程组的解满足． （1）求的取值范围； （2）化简． 五．解二元一次方程组 · 解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 23．（2012春•华容县期末）已知，则的值为　　 A ． B ． C ． 1 D ． 24．（2024春•长沙期中）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙只抄错而其他运算全正确，解得，则　　． 25．（2017秋•濉溪县月考）良苑小区在创建文明县城的活动中，为了改善业主的宜居环境，规划修建一个健身广场，其平面图形如图所示 （1）用含，的代数式表示该广场的面积 （2）若，满足，求该广场的面积． 26．（2017春•句容市期末）在等式中，当时，；当时，． （1）求、的值； （2）若，求的取值范围． 27．（2023春•蓬莱区期末）已知关于、的二元一次方程组． （1）当时，解这个方程组； （2）若，设，求的取值范围． 28．阅读下列材料： 解方程组： 解：由①得 ③， 将③代入②，得 ， 解这个一元一次方程，得 ． 从而求得． 这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题： （1）解方程组：； （2）在（1）的条件下，若，是两条边的长，且第三边的长是奇数，求的周长． 29．（2021春•东坡区校级月考）如果是关于，的方程的解，求、的值． 六．由实际问题抽象出二元一次方程组 · 由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 30．在除夕这天，小明和小慧积极踊跃地参加包饺子活动，小慧平均每分钟比小明多包1个饺子，小明包30分钟饺子，小慧包40分钟饺子，两人一共包250个饺子．设小明平均每分钟包个饺子，小慧平均每分钟包个饺子，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是　　 A． B． C． D． 31．（2024•罗湖区校级模拟）古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”其大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为、，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 32．（2024春•长寿区校级期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是　　 A． B． C． D． 33．（2024•深圳模拟）中国古题《和尚吃馒头》的大意是：大和尚每人吃4个，小和尚4人吃1个．有大小和尚100人，共吃100个馒头．大小和尚各几人？设有大和尚人，小和尚人，根据题意列方程组为　　 A． B． C． D． 七．二元一次方程组的应用 · 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 34．（2021春•镇海区校级期中）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000千米报废，后轮行驶3000千米报废，如果在自行车行驶若干千米后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶　　 A．4000 千米 B．3750 千米 C．4250 千米 D．3250 千米 35．（2024春•南皮县月考）如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个宽为的大长方形，则每个小长方形的面积为　　 A． B． C． D． 36．（2024春•鲤城区校级期中）如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据如图中所示，则图中阴影部分的面积为　　 A．18 B．20 C．22 D．24 37．（2024•黄石模拟）数学典籍《九章算术》卷七中记载用“盈不足术”的思想解决以下问题： 题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？答：七人，物价五十三． 术：置所出率，盈、不足各居其下，令维乘所出率，并以为实．并盈，不足为法，实为物价，法为人数． “题”、“答”、“术”的意思大致如下： 问题：买一个物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则不足4钱． 则人数和物品价格分别为多少？ 答案：共有七个人．物品价格是53钱． 解法： 将该问题一般化，购买一个物品若每人出钱为，剩余；若每人出钱，不足． 根据以上算法，人数为 　　，物价为 　　（用含，，，的式子表示） 38．（2024春•南关区校级月考）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，哥哥每分钟跑 　　米． 39．（2016春•昆明校级期中）如图： 40．某商店从某公司批发部购100件种商品，80件种商品，共花去2800元．在商店零售时，每件种商品加价，每件种商品加价，这样全部卖出后共收入3140元，问、两种商品买入时的单价各为多少元？ 41．（2016•连云港）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 42．（2021秋•八步区期末）甲、乙两地火车线路比汽车线路长30千米，汽车从甲地先开出，速度为40千米时，开出半小时后，火车也从甲地开出，速度为60千米时，结果汽车仅比火车晚1小时到达乙地，求甲、乙两地的火车与汽车线路长． 43．（2023秋•民乐县校级期末）某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 44．（2023春•武城县期末）在“五一”期间，某公司组织员工到扬州瘦西湖旅游，如果租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人． （1）请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？ （2）若该公司有303名员工，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位． ①现打算同时租甲、乙两种客车共8辆，请帮助旅行社设计租车方案． ②旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？ 45．（2017秋•龙华区期末）某水果店购进苹果与橙子共，这两种水果的进价、标价如下表所示，店主将这些水果按8折全部售出后，其获利258元，那么该水果点购进苹果和橙子分别多少？ 　进价（元 标价（元 苹果 6 15 橙子 5 12 八．解三元一次方程组 · 解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 46．（2022•安徽模拟）实数、、且，，，则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 九．三元一次方程组的应用 · 三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．47．（2020•浙江自主招生）有、、、、位同学依次站在某圆周上，每人手上分别拿有小旗16、8、12、4、15面，现要使每人手中的小旗数相等．要求相邻的同学之间相互调整（不相邻的不作相互调整），设给有面时即为给有面；时即为给有面．以下同），给有面：给有面，给有面，给有面，问、、、、分别为多少时才能使调动的小旗总数最小？ 一十．一次函数与二元一次方程（组） · 一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 48．（2023秋•兰州期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象如图所示，则关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 49．（2023秋•宁国市期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 　　． 50．（2023秋•金牛区期末）如图已知一次函数和的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解为 　　． 第5章 二元一次方程组 培优突破练习【10个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．二元一次方程的解 1．（2024春•道里区校级月考）下列不是方程的解的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把与的值代入方程检验即可． 【解答】解：、把代入方程得：左边，右边， 左边右边，是方程的解，不符合题意； 、把代入方程得：左边，右边， 左边右边，是方程的解，不符合题意； 、把代入方程得：左边，右边， 左边右边，不是是方程的解，符合题意； 、把代入方程得：左边，右边， 左边右边，是方程的解，不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了二元一次方程的解，理解方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是关键． 2．（2024春•仁寿县校级月考）已知是二元一次方程的一组解，那么的值为 　1　． 【答案】1． 【分析】把代入二元一次方程得关于的方程，解方程求出即可． 【解答】解：把代入二元一次方程得： ， 解得：， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 二．解二元一次方程 3．（2023秋•三元区期末）把方程变形，用含的代数式表示，则　　． 【答案】． 【分析】移项即可． 【解答】解：移项得，， 故答案为：． 【点评】本题考查的是解二元一次方程，熟知解二元一次方程的一般步骤是解答此题的关键． 三．二元一次方程的应用 4．（2017•涪城区校级自主招生）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的　　倍． A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】 【分析】普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，由速度公式表示出两地的距离； 两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，由速度公式表示出两地距离．联立两式解题即可． 【解答】解：设普通火车速度为，城际快车速度为， 已知普通火车从绵阳至成都历时大约，由可得两地距离： ， 普通火车与城际快车两列对开，途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都， 即：， 所以：， 所以：， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，速度公式的应用，关键正确表示出两地的距离． 5．（2020•黄州区校级模拟）如图，长方形被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形的周长为，若图中3个正方形和2个长方形的周长和为，则标号为①的正方形的边长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设两个大正方形边长为，小正方形的边长为，由图可知周长和列方程和方程组，解答即可． 【解答】解：长方形被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形， 两个大正方形相同、2个长方形相同． 设两个大正方形边长为，小正方形的边长为， 小长方形的边长分别为、，大长方形边长为、， 大长方形周长，即：， ， 个正方形和2个长方形的周长和为， 即：， ， ， 则标号为①的正方形的边长为， 故选：． 【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质和二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，要明确中心对称的性质，找出题目中的等量关系，列出方程组．注意各个正方形的边长之间的数量关系． 6．（2023秋•长清区期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图，将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则　　． 【答案】． 【分析】直接利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等得出的值，即可得出答案． 【解答】解：设右上角方格内的数为，右下角的数为 根据题意可知：，， 解得，， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查二元一次方程的应用，正确得出，的值是解题关键． 四．二元一次方程组的解 7．（2021春•萧山区期中）已知关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意①②得，然后根据题意列出方程组即可求得公共解． 【解答】解：①②得， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， 解得 所以这个公共解为 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是利用筛选法解二元一次方程组． 8．（2021春•滨江区校级期中）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　　 ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示．则； A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】 【分析】根据方程组的解法可以得到， ①令，即可求出的值，验证即可， ②由①得，而，求出的值，再与比较得出答案， ③解方程组可求出方程组的解，再代入求值即可， ④用含有、的代数式表示，进而得出、的关系， 【解答】解：关于，的二元一次方程组， ①②得， ， 即， ①当方程组的解，的值互为相反数时，即时，即， ，故①正确； ②原方程组的解满足， 当时，， 而方程的解满足， 因此②不正确； ③方程组， 解得， ， 因此③是正确的； ④方程组， 由方程①得，， 代入方程②得， ， ， 因此④是正确的． 故选：． 【点评】此题考查二元一次方程组的解法和应用，正确地解出方程组的解是解决问题的关键． 9．（2021春•奉化区校级期末）已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有4对； ④若，则． 正确的有几个　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可求解； ②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示、，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解； ③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论； ④根据整体代入的方法即可求解． 【解答】解：①将代入原方程组，得解得 将，，代入方程的左右两边， 左边，右边， 当时，方程组的解也是的解； ②解原方程组，得 ， 无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③ 、为自然数的解有，，，． ④，， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了消元法解二元一次方程组，确定二元一次方程的自然数解，解题关键是用含字母的式子表示方程组的解． 10．（2022春•朝天区期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　　 ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】 【分析】根据方程组的解法可以得到， ①令，即可求出的值，验证即可， ②由①得，而，求出的值，再与比较得出答案， ③解方程组可求出方程组的解，再代入求值即可， ④用含有、的代数式表示，进而得出、的关系， 【解答】解：关于，的二元一次方程组， ①②得，， 即：， （1）①当方程组的解，的值互为相反数时，即时，即， ，故①正确， （2）②原方程组的解满足， 当时，， 而方程的解满足， 因此②不正确， （3）方程组，解得， ， 因此③是正确的， （4）方程组， 由方程①得，代入方程②得， ， 即； 因此④是正确的， 故选：． 【点评】考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键． 11．（2021春•余杭区期中）在关于，的二元一次方程组的下列说法中，正确的是　　 ①当时，方程的两根互为相反数；②当且仅当时，解得与相等；③，满足关系式；④若，则． A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】 【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出即可判断；②根据列出方程，求出即可判断；③在原方程中，我们消去，即可得到，的关系；④把底数统一化成，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到，的方程，把方程组的解代入求出． 【解答】解：， 由①得：③， 把③代入②中，得：④， 把④代入③中，得：， 原方程组的解为． ①方程的两根互为相反数， ， 即， 解得：， ①正确； ②当与相等时，， 即， 解得：， ②正确； ③在原方程中，我们消去，得到，的关系， ②①得：， ③正确； ④， ， ， ， ， 将方程组的解代入得：， 解得：， ④正确． 综上所述，①②③④都正确． 故选：． 【点评】本题考查二元一次方程组的解法，考核学生的计算能力，解方程组的关键是消元，消元的常用方法是代入消元法和加减消元法． 12．（2024春•崇川区校级月考）若方程组的解是，则方程组的解是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】可得，从而可得，即可求解． 【解答】解：由得 ， 方程组的解是， ， 解得：； 故选：． 【点评】本题主要考查了方程的解的应用，解二元一次方程组，掌握用整体代换方法解方程组是解题的关键． 13．（2023秋•雁塔区校级期末）已知关于，的二元一次方程组的解为，若，满足二元一次方程组，则　　 A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】 【分析】原方程组可化为：，用整体思想得出，再用加减消元法解出、，代入计算即可． 【解答】解：原方程组可化为：， 关于，的二元一次方程组的解为， ， ①②，得， 把代入①，得， ， 故选：． 【点评】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组，整体思想的应用是解题关键． 14．（2023秋•漳州期末）已知、满足方程组，则的值为 　9　． 【答案】9． 【分析】利用①②可求出的值，即可求出结论． 【解答】解：， ①②得：； 故答案为：9． 【点评】本题考查了求代数式的值，解二元一次方程组；能根据代数式的特点，选择整体代数法，从而将两个方程相加是解题的关键． 15．（2024春•海淀区校级期中）如果关于，的二元一次方程组的解满足方程，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据关于，的二元一次方程组的解满足方程，列出含有字母参数的字母系数方程组，解方程组，求出，，再把，代入，得到关于的一元一次方程，解方程求出即可． 【解答】解：关于，的二元一次方程组的解满足方程， ， ②得：③， ①③得：， ， 把代入①得：， 把和代入得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使方程组中的每个方程左右两边相等的未知数的值． 16．（2024春•朝阳区校级期中）若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是 　　． 【答案】． 【分析】对比两个方程组，可得就是第一个方程组中的，即，同理：，可得方程组解出即可． 【解答】解：关于、的二元一次方程组的解是， 关于、的二元一次方程组满足， 解得． 故答案为：． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体换元的思想解决问题，注意第一个和第二个方程组中的右边要统一． 17．（2024春•瑞安市期中）若关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 　　． 【答案】． 【分析】根据关于、的方程组的解为，得到关于、的方程组中，求出，即可． 【解答】解：关于、的方程组的解为， 关于、的方程组中， 解得：， 关于、的方程组的解为：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是根据题意得到． 18．（2024春•安陆市月考）已知关于，的方程组的解的和是，则　2　． 【答案】2． 【分析】先利用等式的基本性质求出的值，再根据已知条件中方程组的解的和是，列出关于的方程，解方程求出值即可． 【解答】解：， ①②得：， ， ， 关于，的方程组的解的和是， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的定义和解二元一次方程组的一般步骤． 19．（2024春•新泰市校级月考）关于，的二元一次方程组的解满足，则满足条件的值为 　　． 【答案】． 【分析】将②①，得出，再根据方程组的解满足列出方程并解答即可． 【解答】解：， ②①，得 ， 关于，的二元一次方程组的解满足， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 20．（2024春•玄武区校级月考）已知方程组的解是，则方程组的解为 　　． 【答案】． 【分析】先把代入方程组，可得，再将方程组变形为，即可得出，求解即可得出结果． 【解答】解：把代入方程组， 得， 将方程组变形为， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和方法是解题的关键． 21．（2017春•米东区校级月考）甲乙两人共同解方程组，甲由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 【分析】将已知与的值分别代入方程组中的方程求出与的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：把代入②得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：， 则原式． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 22．（2021春•寻乌县期末）已知，关于，的方程组的解满足． （1）求的取值范围； （2）化简． 【分析】（1）根据方程组，可以用关于的代数式表示出、，然后根据，可以求得的取值范围； （2）根据（1）中的取值范围可以对进行化简． 【解答】解：（1） 解得，， ， 解得，， 即的取值范围是； （2）， ， ． 【点评】本题考查二元一次方程组组的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 五．解二元一次方程组 23．（2012春•华容县期末）已知，则的值为　　 A ． B ． C ． 1 D ． 【分析】利用非负数的性质列出关于与的方程组， 求出方程组的解得到与的值， 即可求出所求式子的值 ． 【解答】解：， ， ①②得：，即， 将代入①得：，即， 则原式． 故选：． 【点评】此题考查了解二元一次方程组， 以及非负数的性质， 利用了消元的思想， 消元的方法有： 加减消元法与代入消元法 ． 24．（2024春•长沙期中）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙只抄错而其他运算全正确，解得，则　1　． 【答案】1． 【分析】把甲的解代入方程组，乙的解代入第一个方程，分别求出，，的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：把代入方程组得． 即． 把代入得，． 联立得． 解得． 把代入②得． 则原式． 故答案为：1． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法由：代入消元法和加减消元法． 25．（2017秋•濉溪县月考）良苑小区在创建文明县城的活动中，为了改善业主的宜居环境，规划修建一个健身广场，其平面图形如图所示 （1）用含，的代数式表示该广场的面积 （2）若，满足，求该广场的面积． 【分析】（1）由广场的面积等于大矩形面积减去小矩形面积表示出即可； （2）利用非负数的性质求出与的值，代入中计算即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：； （2）， ， 解得 则． 【点评】此题考查了整式的加减化简求值，非负数的性质、不规则图形的面积等知识，解本题的关键学会利用分割法求不规则图形的面积． 26．（2017春•句容市期末）在等式中，当时，；当时，． （1）求、的值； （2）若，求的取值范围． 【分析】（1）将，；时，分别代入中，得到关于与的方程组，求出方程组的解即可得到与的值； （2）由（1）确定出的函数解析式，结合列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【解答】解：（1）根据题意，得：， 整理，得：， ①②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：； （2）因为、， ，即， ， ， 解得：． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 27．（2023春•蓬莱区期末）已知关于、的二元一次方程组． （1）当时，解这个方程组； （2）若，设，求的取值范围． 【分析】（1）写出时的方程组，然后将第二个方程乘以2，再利用加减消元法求解即可； （2）两个方程相减表示出，再根据的取值范围求解即可． 【解答】解：（1）时，方程组为， ②得，③， ③①得，， 解得， 将代入②得，， 解得， 所以，方程组的解是； （2）， ①②得，， ， ， ， 的取值范围是． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 28．阅读下列材料： 解方程组： 解：由①得 ③， 将③代入②，得 ， 解这个一元一次方程，得 ． 从而求得． 这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题： （1）解方程组：； （2）在（1）的条件下，若，是两条边的长，且第三边的长是奇数，求的周长． 【分析】（1）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解． （2）根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，从而确定第三边的值，即可解答． 【解答】解：（1） 由①得：③， 将③代入②得：，即， 将代入③得：， 则方程组的解为． （2）两条边长是7和4， 第三边长小于11并且大于3， 第三边的长是奇数， 第三边长是5或7或9， 的周长是 或 或． 【点评】此题考查了解二元一次方程组和三角形的三边关系，解决本题的关键是解二元一次方程组． 29．（2021春•东坡区校级月考）如果是关于，的方程的解，求、的值． 【分析】本题可先将、的值代入方程中，再根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”来解题． 【解答】解：原方程化为：， ①， 且②， 将②①得：， ③， 将③代入①可得：， 故． 【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数： （1）绝对值； （2）偶次方； （3）二次根式（算术平方根）． 当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 六．由实际问题抽象出二元一次方程组 30．在除夕这天，小明和小慧积极踊跃地参加包饺子活动，小慧平均每分钟比小明多包1个饺子，小明包30分钟饺子，小慧包40分钟饺子，两人一共包250个饺子．设小明平均每分钟包个饺子，小慧平均每分钟包个饺子，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设小明平均每分钟包个饺子，小慧平均每分钟包个饺子，根据题意列出二元一次方程组，即可求解． 【解答】解：设小明平均每分钟包个饺子，小慧平均每分钟包个饺子，根据题意， 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找到等量关系列出方程是解题关键． 31．（2024•罗湖区校级模拟）古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”其大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为、，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设甲原有文钱，乙原有文钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50文”，列出一个关于和的二元一次方程：，根据“如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50文”，列出一个关于和的二元一次方程：，从而得到答案． 【解答】解：根据题意可列方程组为：． 故选：． 【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找出题中的等量关系是解本题的关键． 32．（2024春•长寿区校级期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 【解答】解：设合伙人数为人，物价为钱，根据题意可得： ， 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量是解题的关键． 33．（2024•深圳模拟）中国古题《和尚吃馒头》的大意是：大和尚每人吃4个，小和尚4人吃1个．有大小和尚100人，共吃100个馒头．大小和尚各几人？设有大和尚人，小和尚人，根据题意列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据有100个和尚，可得到；根据大和尚每人吃4个，小和尚4人吃1个，正好分完100个馒头可以得到，然后即可列出相应的方程组． 【解答】解：由题意可得，， 故选：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 七．二元一次方程组的应用 34．（2021春•镇海区校级期中）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000千米报废，后轮行驶3000千米报废，如果在自行车行驶若干千米后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶　　 A．4000 千米 B．3750 千米 C．4250 千米 D．3250 千米 【答案】 【分析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎交换位置前走了 ，交换位置后走了 ，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为， 则安装在前轮的轮胎每行驶磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶的磨损量为， 又设一对新轮胎交换位置前走了 ，交换位置后走了 ， 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程， ， 两式相加，得， 则（千米）． 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 35．（2024春•南皮县月考）如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个宽为的大长方形，则每个小长方形的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设小长方形地砖的长为 ，宽为 ，根据图形中的长和宽的关系列出方程组，求出，的值，再利用面积公式进行求解即可． 【解答】解：设小长方形地砖的长为 ，宽为 ，由图可知： ， 解得：， 小长方形地砖的面积为； 故选：． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 36．（2024春•鲤城区校级期中）如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据如图中所示，则图中阴影部分的面积为　　 A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】 【分析】先设小长方形的长为，宽为，然后根据图形可得：，然后求解，再根据图形可知阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，计算即可． 【解答】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得：， 解得， ， 故选：． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 37．（2024•黄石模拟）数学典籍《九章算术》卷七中记载用“盈不足术”的思想解决以下问题： 题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？答：七人，物价五十三． 术：置所出率，盈、不足各居其下，令维乘所出率，并以为实．并盈，不足为法，实为物价，法为人数． “题”、“答”、“术”的意思大致如下： 问题：买一个物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则不足4钱． 则人数和物品价格分别为多少？ 答案：共有七个人．物品价格是53钱． 解法： 将该问题一般化，购买一个物品若每人出钱为，剩余；若每人出钱，不足． 根据以上算法，人数为 　　，物价为 　　（用含，，，的式子表示） 【答案】，． 【分析】根据题材所给计算方法进行计算即可． 【解答】解：如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每 人出7钱，则不足4钱， 由 得共有七个人，物品价格是53钱， 计算过程为两次出钱数作为第一行，剩余数与不足数作为第二行列出算式，再将算式维乘，左上对角相乘得左上，右上对角相乘 得右上，下不变得第二个算式，再将上下合并即可． 维乘 相并 人数为，物价为， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组之古代问题，根据题材总结出计算方法是解题的关键． 38．（2024春•南关区校级月考）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，哥哥每分钟跑 　55　米． 【分析】设哥哥每分钟跑米，弟弟每分钟跑米，根据若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设哥哥每分钟跑米，弟弟每分钟跑米， 由题意得：， 解得：， 即哥哥每分钟跑55米， 故答案为：55． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 39．（2016春•昆明校级期中）如图： 【分析】设笔记本元本，钢笔元支，根据：1本笔记本和4支钢笔共18元，1本笔记本和1支钢笔共6元列出方程组求解可得． 【解答】解：（1）设笔记本元本，钢笔元支， 根据题意，得：， 解得：， 答：笔记本2元本，钢笔4元支． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键． 40．某商店从某公司批发部购100件种商品，80件种商品，共花去2800元．在商店零售时，每件种商品加价，每件种商品加价，这样全部卖出后共收入3140元，问、两种商品买入时的单价各为多少元？ 【分析】设商品买入时的单价为元，商品买入时的单价为元，根据购100件种商品，80件种商品，共花去2800元，加价之后卖出后共收入3140元，据此列方程组求解． 【解答】解：设商品买入时的单价为元，商品买入时的单价为元， 由题意得，， 解得：． 答：商品买入时的单价为12元，商品买入时的单价为20元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 41．（2016•连云港）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【分析】（1）设该店有客房间，房客人；根据题意得出方程组，解方程组即可； （2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性订客房18间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该店有客房间，房客人； 根据题意得：， 解得：． 答：该店有客房8间，房客63人； （2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费钱； 若一次性订客房18间，则需付费钱钱； 答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． 42．（2021秋•八步区期末）甲、乙两地火车线路比汽车线路长30千米，汽车从甲地先开出，速度为40千米时，开出半小时后，火车也从甲地开出，速度为60千米时，结果汽车仅比火车晚1小时到达乙地，求甲、乙两地的火车与汽车线路长． 【分析】设汽车线路千米，火车线路千米，根据两路线之差为30千米以及时间差为1小时30分钟列出和的二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设汽车线路千米，火车线路千米． 则， 解得：， 答：汽车线路240千米，火车线路270千米． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据路程差和时间差列出二元一次方程组，此题难度不大． 43．（2023秋•民乐县校级期末）某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【分析】（1）设每辆小客车能坐人，每辆大客车能坐人，根据题意可得等量关系：3辆小客车座的人数辆大客车座的人数人；1辆小客车座的人数辆大客车座的人数人，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）①根据题意可得小客车辆运的人数大客车辆运的人数，然后求出整数解即可；②根据①所得方案和小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元分别计算出租金即可． 【解答】解：（1）设每辆小客车能坐人，每辆大客车能坐人， 据题意：， 解得：， 答：每辆小客车能坐20人，每辆大客车能坐45人； （2）①由题意得：， ， 、为非负整数， 或或， 租车方案有三种： 方案一：小客车20车、大客车0辆， 方案二：小客车11辆，大客车4辆， 方案三：小客车2辆，大客车8辆； ②方案一租金：（元， 方案二租金：（元， 方案三租金：（元， 方案三租金最少，最少租金为2300元． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出二元一次方程或方程组． 44．（2023春•武城县期末）在“五一”期间，某公司组织员工到扬州瘦西湖旅游，如果租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人． （1）请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？ （2）若该公司有303名员工，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位． ①现打算同时租甲、乙两种客车共8辆，请帮助旅行社设计租车方案． ②旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？ 【分析】（1）设甲种客车每辆能载客人，乙种客车每辆能载客人，根据租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人，列出方程组解答即可； （2）①设租甲种客车辆，则租乙种客车辆，根据题意列出不等式解答即可； ②设同时租65座、45座和30座的大小三种客车各辆，辆，辆，列出方程解答即可． 【解答】解：（1）设甲种客车每辆能载客人，乙种客车每辆能载客人，根据题意得，解之得： 答：甲种客车每辆能载客45人，乙种客车每辆能载客30人； （2）①设租甲种客车辆，则租乙种客车辆， 依题意得，解得 打算同时租甲、乙两种客车，，6，7 有三种租车方案： 方案一：租甲种客车5辆，则租乙种客车3辆． 方案二：租甲种客车6辆，则租乙种客车2辆； 方案三：租甲种客车7辆，则租乙种客车1辆； ②设同时租65座、45座和30座的大小三种客车各辆，辆，辆， 根据题意得出：， 整理得出：， 故符合题意的有：，，， 租车方案为：租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30座的3辆． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程的解等知识，找到相应的关系式是解决问题的关键． 45．（2017秋•龙华区期末）某水果店购进苹果与橙子共，这两种水果的进价、标价如下表所示，店主将这些水果按8折全部售出后，其获利258元，那么该水果点购进苹果和橙子分别多少？ 　进价（元 标价（元 苹果 6 15 橙子 5 12 【分析】设苹果购进了千克，则橙子购进了千克，根据题意得出方程组，解之即可得出结论； 【解答】解：设苹果购进了千克，则橙子购进了千克，根据题意可得：， 解得：， 答：该水果点购进苹果和橙子分别，． 【点评】本题考查了二元一次方程组应用，根据题意得出方程组是解题的关键． 八．解三元一次方程组 46．（2022•安徽模拟）实数、、且，，，则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别化简这两个等式，得到和，所以，所以，代入中得，因为，所以，然后分别判断各选项即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， 把代入中得：， ， ． ．，所以选项正确，符合题意； ．，，所以选项错误，不符合题意； ．，，所以选项错误，不符合题意； ．，，所以选项错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，求出是解题的关键． 九．三元一次方程组的应用 47．（2020•浙江自主招生）有、、、、位同学依次站在某圆周上，每人手上分别拿有小旗16、8、12、4、15面，现要使每人手中的小旗数相等．要求相邻的同学之间相互调整（不相邻的不作相互调整），设给有面时即为给有面；时即为给有面．以下同），给有面：给有面，给有面，给有面，问、、、、分别为多少时才能使调动的小旗总数最小？ 【分析】根据题意列出方程组，把一个未知数当作已知，表示出其余的未知数，根据题意取其绝对值，画出数轴，找出各对应点，求出其最小值． 【解答】解：由于共有小旗面数为面，要使每人手中的小旗面数相等，每人均为11面． 由题意：， 变形得：， ， 设实数在数轴上的对应点为， 实数，，0，2，6在数轴上的对应点分别为，，，，， ， 当且仅当在线段上时有最小值9， 当且仅当在线段上时有最小值3， 当且仅当与点重合时有最小值0， 即当且仅当与点重合时， 有最小值12． 当，，，，时有最小值12． 【点评】此题比较复杂，涉及到四元一次方程组及绝对值的相关知识，解答此类题目的关键是画出数轴，根据数形结合解题． 一十．一次函数与二元一次方程（组） 48．（2023秋•兰州期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象如图所示，则关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【解答】解：函数与的图象交于点， 则关于，的二元一次方程组的解是， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 49．（2023秋•宁国市期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 　　． 【分析】首先利用待定系数法求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【解答】解：直线经过点， ， 解得， ， 关于的方程组的解为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 50．（2023秋•金牛区期末）如图已知一次函数和的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解为 　　． 【答案】． 【分析】两个一次函数图象的交点就是两函数组成的方程组的解． 【解答】解：一次函数和的图象交于点， 关于，的二元一次方程组的解为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组与一次函数的关系． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$