第08讲 整式乘除法经典12种题型【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第08讲 整式乘除法经典12种题型 【热考题型】 【题型一】利用整式的乘除法求值 1．（20-21八年级上·陕西渭南·阶段练习）若，则值为 ． 2．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）若，则 ． 3．（23-24八年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 4．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 5．（21-22七年级下·安徽合肥·期中）已知(x+a)(x+b)=+mx+12，m、a、b都是整数，那么m的可能值的个数为(    ) A．4 B．5 C．6 D．8 【题型二】利用整式乘法解决不含某项问题 6．（23-24八年级上·四川内江·期中）已知关于x的多项式与的积不含项和项，求常数m、n的值． 7．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）已知二次三项式与的积不含的项，也不含的项，求系数与 8．（23-24八年级上·海南海口·阶段练习）若的积中不含项与项， (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【题型三】利用整式乘法解决错看/错解问题 9．（22-23八年级上·湖南衡阳·期末）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题，其中的地方被墨水污染了，处应填写 ． 11．（21-22六年级下·全国·单元测试）一天，小虎同学发现课堂笔记本中的一道题“”，被除式的第二项及商的第一项被墨水污染了.请你利用所学的知识帮小虎复原出整个算式：“□”表示 ，“○”表示 . 12．（21-22七年级上·上海奉贤·期中）小红准备完成题目：计算（x2  x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 13．（2024·浙江杭州·一模）化简： 方方在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是4，请计算 (2)如果化简的结果是单项式，求被污染的数字． 14．（23-24八年级上·全国·课后作业）小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是及中间的“”，污染后习题形式如下：    ，小明翻看了书后的答案是“”，你能够复原这个算式吗?请你试一试． 【题型四】利用整式乘除法解决遮挡/污染问题 15．（22-23七年级下·江西抚州·阶段练习）某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是，请问正确的计算结果应该是多少? 16．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错为，得到的结果为；而乙抄错为，得到的结果为． (1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？ (2)请你计算出这道整式乘法的正确答案． 17．（22-23八年级上·河南安阳·期末）在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙把a错看成，得到结果是：． (1)求出a，b的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 18．（22-23七年级下·河北沧州·期中）先计算下列各式，再观察，最后解答后面问题： __________； __________； __________； __________； （1）根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来，则__________； （2）试用你写的公式，直接写出下列两式的结果 ①__________； ②__________； （3）在计算时，甲把错看成了6，得到结果是：；乙错把看成了，得到结果：．依据上述发现的规律，直接写出__________，__________． 【题型五】整式乘除法的计算 19．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 20．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）计算： (1) (2) 21．（23-24六年级下·山东淄博·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)， 22．（23-24六年级下·山东淄博·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【题型六】整式乘除法的化简 23．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）先化简，再求值．，其中 24．（23-24七年级上·山西运城·期中）（1）下面是乐乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：      第一步           第二步           第三步 任务一： ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是________． ②以上化简中第________步出现错误，出现错误的原因是________． 任务二：直接写出正确的化简结果________． （2）先化简，后求值． ，其中． 25．（2023·湖北随州·模拟预测）先化简，再求值：，其中，，． 26．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）先化简再求值：已知，化简代数式后求值． 27．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知满足：．化简，并求值． 【题型七】整式乘法的应用 28．（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道． (1)剩余草坪的面积是多少平方米？ (2)当时，剩余草坪的面积是多少平方米？ 29．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，某校有一块长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形草坪，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． (1)用含a，b的代数式表示需要硬化的面积并化简； (2)若，，硬化成本为每平方米50元，则完成硬化共需多少钱 30．（23-24八年级上·四川广安·期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长、宽的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长、宽的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．    (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． 31．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）有总长为l的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a． (1)如图1，①园子的面积为 （用关于l，a的代数式表示）． ②当时，求园子的面积． (2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l，a的代数式表示）． 32．（23-24七年级上·江西上饶·期中）如图，一个长方形运动场被分隔成，，，，，共个区，区是边长为的正方形，区是边长为的正方形．    (1)列式表示每个区长方形场地的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示） (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示） (3)如果，，求整个长方形运动场的面积． 【题型八】整式除法的应用 33．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒．已知铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用含a的式子表示图中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，每元钱可涂的面积为，则涂完这个铁盒需要多少钱（用含a的式子表示）？ 34．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图中的杯子中，那么请用整式运算的知识列式表示一共需要多少个这样的杯子结果要化简；并计算出当，时所需杯子的数目．    35．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）化简求值：当，求值时，小明说“条件是多余的”．小刚说：“不给条件b，就求不出结果，所以不是多余的”．谁说的对?说明为什么? 【题型九】判断整式乘除法计算的错误步骤 36．（21-22八年级上·北京·期中）课堂上，老师让同学们计算． 左边文本框中是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程． 37．（2023·吉林四平·模拟预测）下面是小颖在学习整式的乘除时遇到的一个问题，请仔细阅读她的解答过程，并回答问题． 解： 第一步 第二步 (1)小颖的化简过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是______． (2)请写出正确的计算过程． 38．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）以下是小明化简代数式的过程． 解：原式：…………………………① ……………② ．…………………………………………………………③ (1)小明的化简过程在第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请你帮助小明写出正确的化简过程，并计算当时代数式的值． 39．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）小马同学化简的过程如下： 解：原式① ② ③ (1)请把，分别代入原式以及化简后的式子，并分别求出它们的值；由两者的求值结果可知，小马同学的化简结果对吗？ (2)指出小马同学化简错误的步骤：_______（填写序号）；并写出正确的化简过程． 【题型十】与整式乘除法有关的新定义问题 40．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）对于有理数定义新运算：． (1)计算的值； (2)这种新运算符合乘法分配律吗？若符合请说明理由． 41．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）将四个数排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号叫做2阶行列式．若，求的值． 42．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对实数x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），例如：． (1)已知，． ①求a、b的值； ②若，求k的值； (2)当时，对任意实数x，y都成立，试探究a、b应满足的关系式，并说明理由． 43．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作、、，定义：；；；；，经研究发现，．如：三角形三条边分别为13、14、15，则，，，，；；；，所以，故三角形的面积． (1)若，则_______．_______． (2)当；；时． ①求的表达式； ②若，求三角形的面积． 【题型十一】与整式乘除法有关的规律探究问题 44．（23-24八年级上·河南南阳·期中）多项式的因式分解与整式乘法的过程恰好相反．请通过解决下面的问题再次体会二者之间的关系． 旧知回顾 （1）计算：________． ________． 归纳总结 （2）观察上面的式子和结果的特点，总结规律．并用含、的字母表示：________；由此，你又发现了一个新的乘法公式． 深化认识 （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）如图为杨辉三角系数表，其构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了二项式（为正整数）的展开式（按的降幂顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中的系数等等． (1)根据上面的规律，可得二项式的展开式中有________项，其中第三项为________； (2)根据上两的规律直接写出二项式的展开式． 46．（22-23七年级下·全国·课后作业）观察下列式子： ； ； ； … (1)根据以上规律，得出________； (2)请你归纳出一般性规律：________； (3)请根据（2）总结的规律，求出的值． 47．（23-24八年级上·全国·课后作业）一般到特殊的思想方法 【思想解读】 数学中的规律性问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题．规律性问题的特点是问题的结论或条件不直接给出，而常常是给出了一列数、一列等式、一列图形的前几个，要求通过阅读、观察、分析、综合、归纳、概括、判断等一系列探索活动逐步确立需求的结论或条件．它表达了从特殊到一般的数学思想方法． 【问题解决】 观察下列各式： ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得________； (2)根据上面各式的规律可得_________； (3)用（2）的结论求的值． 【题型十二】与整式乘除法有关的图形面积问题 48．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，正方形的边长为x，根据以下要求回答问题． (1)如果某个长方形的长减少a，宽减少b后变成正方形，则原来的长方形面积如何表示？ (2)如果正方形的每条边都减少c，则面积比原来减少了多少？ (3)如果正方形的边和边都增加c，边和边都减少c，则面积比原来减少了多少？ 49．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状围成一个正方形．    (1)图中的阴影部分的面积为 ； (2)观察图请你写出三个代数式、、之间的等量关系是 ； (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图，它表示了 ； (4)试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 50．（22-23七年级下·广东佛山·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）； (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）； (3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由． 51．（2023八年级上·全国·专题练习）工厂接到订单，需要边长为和3的两种正方形卡纸． (1)仓库只有边长为的正方形卡纸，现决定将部分边长为的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形． ①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）； ②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）； (2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多3，则的值为 ． 52．（23-24八年级上·广西南宁·期中）把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 整式乘除法经典12种题型 【热考题型】 【题型一】利用整式的乘除法求值 1．（20-21八年级上·陕西渭南·阶段练习）若，则值为 ． 【答案】13 【分析】根据多项式乘以多项式，结合恒等式的性质，计算即可． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，恒等式的性质，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． 2．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）若，则 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了代数式化简求值，先化解代数式整理后将已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ∵，即． ∴原式 故答案为：25． 3．（23-24八年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先把化简，求出a，b，c的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：0． 4．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【答案】28 【分析】本题考查了代数式求值及利用“整体代入法”求值． 把代数式变形整理成及的形式，再运用整体代入法求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（21-22七年级下·安徽合肥·期中）已知(x+a)(x+b)=+mx+12，m、a、b都是整数，那么m的可能值的个数为(    ) A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则，求得a+b=m，ab=12，再进行分类讨论，从而解决此题． 【详解】解：(x+a)(x+b)=+bx+ax+ab=+(a+b)x+ab． ∵(x+a)(x+b)=+mx+12， ∴a+b=m，ab=12． ∵m、a、b都是整数， ∴当a=1时，则b=12，此时m=a+b=1+12=13； 当a=-1时，则b=-12，此时m=a+b=-1-12=-13； 当a=2时，则b=6，此时m=a+b=2+6=8； 当a=-2时，则b=-6，此时m=a+b=-2-6=-8； 当a=3时，则b=4，此时m=a+b=3+4=7； 当a=-3时，则b=-4，此时m=a+b=-3-4=-7； 当a=12时，则b=1，此时m=a+b=12+1=13； 当a=-12时，则b=-1，此时m=a+b=-12-1=-13； 当a=6时，则b=2，此时m=a+b=6+2=8； 当a=-6时，则b=-2，此时m=a+b=-6-2=-8； 当a=4时，则b=3，此时m=a+b=4+3=7； 当a=-4时，则b=-3，此时m=a+b=-4-3=-7． 综上：m=±13或±8或±7，共6个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、分类讨论的思想是解决本题的关键． 【题型二】利用整式乘法解决不含某项问题 6．（23-24八年级上·四川内江·期中）已知关于x的多项式与的积不含项和项，求常数m、n的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，多项式的项、次数的定义以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则正确进行计算．先运用多项式乘多项式的运算法则进行运算并整理，再令二次项和三次项的系数分别为0即可求解． 【详解】解：， 又积中不含项和项， ，， 解得：，． 7．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）已知二次三项式与的积不含的项，也不含的项，求系数与 【答案】 【分析】由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令二次项与一次项系数为0，即可求出与的值． 【详解】解： ∵积不含的项，也不含的项， ∴， ∴解得：． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解本题的关键． 8．（23-24八年级上·海南海口·阶段练习）若的积中不含项与项， (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先去括号，合并同类项，再根据积中不含项与项，可得关于p、q的二元一次方程组，解方程组即可求得； （2）把p、q的值分别代入代数式，计算即可求得． 【详解】（1） 积中不含有项与项 ，解得； （2） 将，代入，得 ． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值问题，解题的关键是正确求出p，q的值． 【题型三】利用整式乘法解决错看/错解问题 9．（22-23八年级上·湖南衡阳·期末）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用多项式乘单项式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的除法和乘法，熟练掌握法则是解本题的关键． 10．（22-23八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题，其中的地方被墨水污染了，处应填写 ． 【答案】 【分析】根据多项式乘以单项式计算出，即可求解． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查多项式乘以单项式，解题的关键是根据计算法则，正确求解． 11．（21-22六年级下·全国·单元测试）一天，小虎同学发现课堂笔记本中的一道题“”，被除式的第二项及商的第一项被墨水污染了.请你利用所学的知识帮小虎复原出整个算式：“□”表示 ，“○”表示 . 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式的法则即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即表示， ，则， 故答案为：， 【点睛】此题考查了多项式除以单项式，熟练掌握法则是解题的关键. 12．（21-22七年级上·上海奉贤·期中）小红准备完成题目：计算（x2  x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）根据多项式的乘法进行计算即可； （2）设一次项系数为，计算，根据其结果不含三次项，则结果的三次项系数为0，据此即可求得的值，即原题中被遮住的一次项系数． 【详解】解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x） （2）设一次项系数为， 答案是不含三次项的 【点睛】本题考查了多项式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． 13．（2024·浙江杭州·一模）化简： 方方在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是4，请计算 (2)如果化简的结果是单项式，求被污染的数字． 【答案】(1) (2)被污染的数字为3或2 【分析】此题考查了整式加减运算，整式乘法运算和解一元一次方程，正确计算是解题的关键． （1）根据整式加减运算法则进行计算即可； （2）设被污染的数字为x，将化简为，根据化简的结果是单项式，得出或，求出或即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被污染的数字为x，则： ， ∵化简的结果是单项式， ∴或， 解得：或, ∴被污染的数字为3或2． 14．（23-24八年级上·全国·课后作业）小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是及中间的“”，污染后习题形式如下：    ，小明翻看了书后的答案是“”，你能够复原这个算式吗?请你试一试． 【答案】复原后的算式为 【分析】先根据被除式的首项和商式的首项可求得除式，然后根据除式乘商式等于被除式求解即可． 【详解】解：对应的结果为：， 除式为：， 根据题意得：， 复原后的算式为． 【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握运算法则是解题的关键． 【题型四】利用整式乘除法解决遮挡/污染问题 15．（22-23七年级下·江西抚州·阶段练习）某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是，请问正确的计算结果应该是多少? 【答案】 【分析】用错误结果减去已知多项式，得出原式，再乘以得出正确结果． 【详解】解：这个多项式是： ， 则正确的计算结果为： ． 【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握单项式与多项式相乘运算法则是解答本题的关键． 16．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错为，得到的结果为；而乙抄错为，得到的结果为． (1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？ (2)请你计算出这道整式乘法的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）按照甲、乙两人抄的错误的式子进行计算，得到，，解关于的方程组即可求出a、b的值； （2）把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）根据题意可知，甲抄错为，得到的结果为， 那么， 可得 乙抄错为，得到的结果为， 可知 可得， 解关于的方程组，可得，； （2）正确的式子： 【点睛】本题主要是考查多项式的乘法以及二元一次方程组，掌握多项式乘多项式运算法则是正确解决问题的关键． 17．（22-23八年级上·河南安阳·期末）在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙把a错看成，得到结果是：． (1)求出a，b的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意得出，，得出，，求出a、b即可； （2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可． 【详解】（1）根据题意得：， ， 所以，， 解得：，； （2）当，时，． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键． 18．（22-23七年级下·河北沧州·期中）先计算下列各式，再观察，最后解答后面问题： __________； __________； __________； __________； （1）根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来，则__________； （2）试用你写的公式，直接写出下列两式的结果 ①__________； ②__________； （3）在计算时，甲把错看成了6，得到结果是：；乙错把看成了，得到结果：．依据上述发现的规律，直接写出__________，__________． 【答案】；；；；（1）；（2）①，②；（3）； 【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （1）根据规律写出公式，即可求解； （2）根据公式计算即可求解； （3）根据题意，计算，求得的值，计算进而求得的值，即可求解． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：；；；； （1） 故答案为：． （2）①， 故答案为：． ②， 故答案为：． （3）依题意， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【题型五】整式乘除法的计算 19．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握各自的运算法则是解本题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可； （2）直接利用单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可； （3）直接利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3） ； 20．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的乘法运算． （1）利用完单项式乘以单项式进行计算即可； （2）利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（23-24六年级下·山东淄博·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)， 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法与除法、多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，进行计算即可； （2）根据积的乘方、同底数幂的除法运算法则，进行计算即可； （3）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （4）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 22．（23-24六年级下·山东淄博·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟记公式与运算法则是解本题的关键； （1）直接利用单项式除以单项式的运算法则计算即可； （2）直接利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （3）直接利用平方差公式计算即可； （4）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ； （4） ； 【题型六】整式乘除法的化简 23．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）先化简，再求值．，其中 【答案】；9 【分析】本题考查了整式的化简求值，观察可得，可直接与抵消，再算除法，代入求值，即可，熟练掌握计算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， 当时，原式． 24．（23-24七年级上·山西运城·期中）（1）下面是乐乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：      第一步           第二步           第三步 任务一： ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是________． ②以上化简中第________步出现错误，出现错误的原因是________． 任务二：直接写出正确的化简结果________． （2）先化简，后求值． ，其中． 【答案】（1）①乘法分配律；②二；括号前面是减号时，去掉括号，未进行变号；任务二：； （2）； 【分析】本题考查了整式的化简求值， （1）根据整式的混合运算法则，先算乘法，再去括号，最后合并同类项，即可解答； （2）根据整式的混合运算法则，先算乘法，再去括号，再合并同类项，最后代入求值即可解答，熟练掌握整式的混合运算法则，单项式乘多项式时，不要忘记漏乘，去括号时，注意变号，是解题的关键． 【详解】解：（1）正确的计算过程为：      第一步           第二步         第三步 ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律； ②以上化简中第二步出现错误，出现错误的原因是括号前面是减号时，去掉括号，未进行变号； 故答案为：①乘法分配律；②二；括号前面是减号时，去掉括号，未进行变号；任务二：； （2）， ， ， ， 当时，原式． 25．（2023·湖北随州·模拟预测）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】． 【详解】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式 ， 当，时，原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 26．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）先化简再求值：已知，化简代数式后求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先根据完全平方公式和平方差公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，接着根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式 27．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知满足：．化简，并求值． 【答案】，5． 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟悉完全平方公式及分式的混合运算是解题的关键． 先将转化为两个完全平方式的和，根据非负数的性质求出x、y的值，然后进行整式的混合运算，得到结果后，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 由， ∴， 即， 原式 把代入， ． 【题型七】整式乘法的应用 28．（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道． (1)剩余草坪的面积是多少平方米？ (2)当时，剩余草坪的面积是多少平方米？ 【答案】(1)； (2)剩余草坪的面积是200平方米． 【分析】 本题考查整式的混合运算； （1）将两条路平移后，可以用代数式表示出剩余草坪的面积； （2）将代入（1）中的结果，即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）当，时， 平方米， 答：剩余草坪的面积是平方米． 29．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，某校有一块长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形草坪，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． (1)用含a，b的代数式表示需要硬化的面积并化简； (2)若，，硬化成本为每平方米50元，则完成硬化共需多少钱 【答案】(1) (2)7000元 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）用长方形的面积减去中间正方形的面积，得出结果即可； （2）根据，，求出活动场地的面积，然后再求出硬化需要的费用即可． 【详解】（1）解：由图得，阴影面积为： ； （2）解：把，代入得：（平方米）， 即阴影部分的面积为平方米， 完成硬化共需要的费用为： （元）， 答：完成硬化共需元钱． 30．（23-24八年级上·四川广安·期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长、宽的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长、宽的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．    (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法及整式的减法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可； （2）先列出篮球长的面积代数式，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ． 答：安装健身器材的区域面积为． （2）（2）当，时，（）． 答：安装健身器材的区域面积为． 31．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）有总长为l的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a． (1)如图1，①园子的面积为 （用关于l，a的代数式表示）． ②当时，求园子的面积． (2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l，a的代数式表示）． 【答案】(1)①；②1200 (2)增大； 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，正确列出代数式是解题的关键． （1）①先用和的代数式表示出园子的长，再表示出园子的面积；②把，代入①中的代数式进行计算即可； （2）由园子的宽不变，长增加了，即可判断出园子的面积增大了，表示出园子的长，即可求出园子的面积． 【详解】（1）解：①总长为，宽为， 园子的长为：， 园子的面积为：； 故答案为：； ②当，时， ； （2）解：园子的宽不变，长增加了， 园子的面积增大了， 在园子的长边上开了1的门， 园子的长为：， 园子的面积为：， 园子增加的面积为：， 答：园子的面积增加了，此时园子的面积． 故答案为：增大． 32．（23-24七年级上·江西上饶·期中）如图，一个长方形运动场被分隔成，，，，，共个区，区是边长为的正方形，区是边长为的正方形．    (1)列式表示每个区长方形场地的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示） (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示） (3)如果，，求整个长方形运动场的面积． 【答案】(1)右上方区长方形场地的周长为：，左下角区长方形场地的周长为： (2)整个长方形运动场的周长为： (3)整个长方形运动场的面积为 【分析】本题主要考查整式的混合运算与图形周长、面积的计算，掌握整式的混合运算，代入求值是解题的关键． （1）区是边长为的正方形，区是边长为的正方形，图形结合即可求解； （2）根据长方形的周长的计算方法，整式的加减运算进行化简即可求解； （3）根据长方形的面积的计算方法列式，代入，计算即可． 【详解】（1）解：区是边长为的正方形，区是边长为的正方形， ∴区长方形场地的长为：，宽为：， ∴右上方区长方形场地的周长为：， 左下角区长方形场地的周长为：． （2）解：由（1）可知，区长方形场地的长为：，宽为， ∴整个长方形运动场的长为：，宽为：， ∴整个长方形运动场的周长为：． （3）解：整个长方形运动场的长为：，宽为：， ∴整个长方形运动场的面积为：， 当，时，原式， ∴整个长方形运动场的面积为． 【题型八】整式除法的应用 33．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒．已知铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用含a的式子表示图中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，每元钱可涂的面积为，则涂完这个铁盒需要多少钱（用含a的式子表示）？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查列代数式，整式的混合运算． （1）根据图形表示出原长方形铁皮的长与宽，长宽之积即为铁皮面积； （2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果． 【详解】（1）原长方形铁皮的面积为： ， （2）这个铁盒需要油漆的面积为： ， 则涂完这个铁盒需要的钱数为： （元）． 34．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图中的杯子中，那么请用整式运算的知识列式表示一共需要多少个这样的杯子结果要化简；并计算出当，时所需杯子的数目．    【答案】，个 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，利用圆柱体的容积等于底面积乘以高，以及杯子的数量等于瓶子的容积除以杯子的容积，列出代数式，再将，代入，求值即可．掌握的列出代数式是解题的关键． 【详解】解：由题意，得 ． 当，时， 原式 个． 35．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）化简求值：当，求值时，小明说“条件是多余的”．小刚说：“不给条件b，就求不出结果，所以不是多余的”．谁说的对?说明为什么? 【答案】小明说得对，理由见解析 【分析】本题主要考查了代数式的化简与求值、整式的混合运算等知识点，灵活运用整式的混合运算法则代数式是解题的关键． 先对代数式进行化简，即将字母和指数均相同的同类项进行合并，从而得到化简后的代数式；将代数式化简后，原式中若还不包含b的式子，则小明说的对，反之则小刚说的对即可完成解答． 【详解】解：小明说得对，理由如下： ∵ ． ∴原式化简结果不含b，计算结果与b无关， ∴小明的说法正确． 【题型九】判断整式乘除法计算的错误步骤 36．（21-22八年级上·北京·期中）课堂上，老师让同学们计算． 左边文本框中是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程． 【答案】错误， 【分析】利用平方差公式及单项式乘以多项式法则分别去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：错误； = =． 【点睛】此题考查整式的混合运算，正确掌握平方差公式、单项式乘以多项式法则、去括号及合并同类项法则是解题的关键． 37．（2023·吉林四平·模拟预测）下面是小颖在学习整式的乘除时遇到的一个问题，请仔细阅读她的解答过程，并回答问题． 解： 第一步 第二步 (1)小颖的化简过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是______． (2)请写出正确的计算过程． 【答案】 一；去括号时，括号前面是“﹣”号，括号内的各项应改变符号 见解析 【分析】本题考查的是单项式乘多项式、完全平方公式等知识点， （1）根据去括号法则进行判断； （2）根据单项式乘多项式的法则、去括号法则、合并同类项法则计算即可． 掌握去括号法则、合并同类项法则是解题的关键． 【详解】（1）小颖的化简过程从第一步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是“﹣”号，括号内的各项应改变符号， 故答案为：一；去括号时，括号前面是“﹣”号，括号内的各项应改变符号； （2） ． 38．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）以下是小明化简代数式的过程． 解：原式：…………………………① ……………② ．…………………………………………………………③ (1)小明的化简过程在第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请你帮助小明写出正确的化简过程，并计算当时代数式的值． 【答案】(1)①；完全平方公式运用出错 (2)见解析， 【分析】 （1）观察小明解答过程，找出出错的步骤即可； （2）写出正确的解答过程即可． 【详解】（1）解答过程中第①步错，错误的原因是完全平方公式运用出错； 故答案为：①；完全平方公式运用出错 （2）原式 ； 当时，原式． 【点睛】此题考查了平方差公式，整式的四则运算，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键． 39．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）小马同学化简的过程如下： 解：原式① ② ③ (1)请把，分别代入原式以及化简后的式子，并分别求出它们的值；由两者的求值结果可知，小马同学的化简结果对吗？ (2)指出小马同学化简错误的步骤：_______（填写序号）；并写出正确的化简过程． 【答案】(1)小马同学的化简结果不正确； (2)①； 【分析】（1）代入数据计算即可判断； （2）根据整式的运算法则和混合运算顺序进行化简即可． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ∵， ∴小马同学的化简结果不正确； （2）解：小马第①步就出现错误； ． 故答案为：①． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则和混合运算顺序是解题的关键． 【题型十】与整式乘除法有关的新定义问题 40．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）对于有理数定义新运算：． (1)计算的值； (2)这种新运算符合乘法分配律吗？若符合请说明理由． 【答案】(1) (2)这种新运算不符合乘法分配律，理由见解析 【分析】此题主要考查了利用代入法求代数式的值，乘法分配律． （1）直接根据新运算计算，即可求解； （2）根据新运算分别求出，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：这种新运算不符合乘法分配律，理由如下： ， ， ∴， 即这种新运算不符合乘法分配律． 41．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）将四个数排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号叫做2阶行列式．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，解一元一次方程，根据题意列出方程，解一元一次方程即可．掌握整式的混合运算和解一元一次方程的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意，得 解得． 42．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对实数x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），例如：． (1)已知，． ①求a、b的值； ②若，求k的值； (2)当时，对任意实数x，y都成立，试探究a、b应满足的关系式，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，一元一次方程，整式混合运算的应用； （1）①根据题意得出，解方程即可； ②根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据，得出，整理得出，根据对任意有理数x，y都成立，得出，即可得出答案． 解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． 【详解】（1）解：①由题意得， ∴ ②由题意得： ； （2）解：∵， ∴， 整理得：， ， ∵对任意有理数x，y都成立， ∴， 解得：． 43．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作、、，定义：；；；；，经研究发现，．如：三角形三条边分别为13、14、15，则，，，，；；；，所以，故三角形的面积． (1)若，则_______．_______． (2)当；；时． ①求的表达式； ②若，求三角形的面积． 【答案】(1)6，11 (2)①；②三角形的面积． 【分析】（1）根据定义计算即可求解； （2）①根据，利用整式乘法运算法则计算即可求解； ②先求得的值，再根据定义分别求得、、的值，根据，求得，代入①中即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴， ；；； ∴； 故答案为：6，11； （2）解：①∵；；， ∴ ； ②∵， ∴， ∴，故； ，故； ，故； ∴， ∴， ∴， ∴， 故三角形的面积． 【点睛】本题考查了整式的乘法的应用，掌握新定义的内容，整式乘法的运算法则是解题的关键. 【题型十一】与整式乘除法有关的规律探究问题 44．（23-24八年级上·河南南阳·期中）多项式的因式分解与整式乘法的过程恰好相反．请通过解决下面的问题再次体会二者之间的关系． 旧知回顾 （1）计算：________． ________． 归纳总结 （2）观察上面的式子和结果的特点，总结规律．并用含、的字母表示：________；由此，你又发现了一个新的乘法公式． 深化认识 （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】（1）；；（2）；（3）A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式， （1）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）由（1）总结出公式即可； （3）由新发现的公式结构逐项判断即可； 理解题意，总结出新的乘法公式，并掌握各运算法则是解题关键． 【详解】解：（1） ； ， 故答案为：；； （2）由（1）得结论为：， 故答案为：； （3）观察各项发现，只有满足乘法公式， 故选A． 45．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）如图为杨辉三角系数表，其构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了二项式（为正整数）的展开式（按的降幂顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中的系数等等． (1)根据上面的规律，可得二项式的展开式中有________项，其中第三项为________； (2)根据上两的规律直接写出二项式的展开式． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）观察规律可知，的展开式共有项，按照进行降幂排列，第一项和最后移项的系数为1，从第二项开始，系数为上一个式子的前两项的系数和，按照规律求出即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：观察规律可知：的展开式共有项，按照进行降幂排列，第一项和最后移项的系数为1，从第二项开始，系数为上一个式子的前两项的系数和， ∴． 的展开式共有5项，第三项为． 故答案为：5，； （2）． 46．（22-23七年级下·全国·课后作业）观察下列式子： ； ； ； … (1)根据以上规律，得出________； (2)请你归纳出一般性规律：________； (3)请根据（2）总结的规律，求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2）   （3） 47．（23-24八年级上·全国·课后作业）一般到特殊的思想方法 【思想解读】 数学中的规律性问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题．规律性问题的特点是问题的结论或条件不直接给出，而常常是给出了一列数、一列等式、一列图形的前几个，要求通过阅读、观察、分析、综合、归纳、概括、判断等一系列探索活动逐步确立需求的结论或条件．它表达了从特殊到一般的数学思想方法． 【问题解决】 观察下列各式： ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得________； (2)根据上面各式的规律可得_________； (3)用（2）的结论求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）被除式和除式都是二项式，除式都是，商的次数比被除式的次数小1，项数与被除式的次数相等，按进行降幂排列，各项系数为1，根据规律直接写出答案即可； （2）根据规律写出答案即可； （3）构造（2）中的公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：被除式和除式都是二项式，除式都是，商的次数比被除式的次数小1，项数与被除式的次数相等，按进行降幂排列，各项系数为1， ， 故答案为：； （2）解：根据规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了整式的除法，探索规律，解题的关键是发现规律，构造规律的形式，运用规律解决问题． 【题型十二】与整式乘除法有关的图形面积问题 48．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，正方形的边长为x，根据以下要求回答问题． (1)如果某个长方形的长减少a，宽减少b后变成正方形，则原来的长方形面积如何表示？ (2)如果正方形的每条边都减少c，则面积比原来减少了多少？ (3)如果正方形的边和边都增加c，边和边都减少c，则面积比原来减少了多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减运算等知识点，掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）先根据题意列出代数式，然后再运用整式的加减运算法则计算即可； （3）先根据题意列出代数式，然后再运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由题意知该长方形的长为，宽为， 所以原来的长方形面积可以表示为：． （2）解：正方形的面积为，每条边都减少c后的面积为， 由题意列式为：， 所以面积比原来减少了． （3）解：正方形的面积为，经过变换后的面积为， 由题意列式为：， 所以面积比原来减少了． 49．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状围成一个正方形．    (1)图中的阴影部分的面积为 ； (2)观察图请你写出三个代数式、、之间的等量关系是 ； (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图，它表示了 ； (4)试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)如图所示（答案不唯一）． 【分析】（）阴影部分为边长为的正方形，表示出面积即可； （）图形中的阴影部分面积可以由大正方形的面积减去四个矩形的面积，即可得出等量关系； （）根据图形面积直接求与间接求，即可列出关系式； （）画出长为，宽为的长方形即可求解，答案不唯一，如图所示； 此题考查了多项式乘以多项式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：图中的阴影部分为边长的正方形，则面积为， 故答案为：； （2）解：图中的阴影部分面积为大正方形的面积减去四个矩形的面积， 即：， 故答案为：； （3）根据图形面积：得， 故答案为：； （4）如图，（答案不唯一），    50．（22-23七年级下·广东佛山·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）； (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）； (3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，有关，无关 (3)存在使得S为定值，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． （1）由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为； （2）由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，据此求解即可； （3）由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为， 故答案为：； （2）解：∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴阴影A和阴影B的周长之和与有关，与无关， 故答案为：正确，有关，无关； （3）解：∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， ∴当时，为定值，定值为． 51．（2023八年级上·全国·专题练习）工厂接到订单，需要边长为和3的两种正方形卡纸． (1)仓库只有边长为的正方形卡纸，现决定将部分边长为的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形． ①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）； ②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）； (2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多3，则的值为 ． 【答案】(1)① 裁剪正方形后剩余部分的面积为；② 拼成的长方形的边长分别为和； (2)9． 【分析】（1）①本题考查用整式表示几何图形面积，根据面积的差结合平方差公式，即可解题． ②本题考查用整式表示几何图形边长，根据图形可以直接得出结论． （2）本题考查用整式表示几何图形面积，设，则，分别计算和的值，相减可得结论． 【详解】（1）解：①裁剪正方形后剩余部分的面积； ②拼成的长方形的宽是：，长为：， 则拼成的长方形的边长分别为和； （2）解：设，则， ∴图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， ． 故答案为：9． 52．（23-24八年级上·广西南宁·期中）把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 【答案】(1) (2)，； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解第3问的关键是时，图③中阴影部分的面积也为480． （1）利用平移的性质知，阴影部分的周长就是大长方形的周长，据此求解即可； （2）由，代入，再结合图形即可求解； （3）由图②中阴影部分的面积为480，求得；根据时，图③中阴影部分的面积也为480，得到，再将，代入，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：利用平移的性质得， 图②中阴影部分的周长为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即，， 即，； （3）解：∵图②中阴影部分的面积为480，且， ∴，即， 又时，图③中阴影部分的面积也为480， ∴， 将代入得， 整理得， 再将和，代入得， 整理得， 再将代入得， 解得，， ∴，解得， ∴． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$