1.1.1空间向量及其线性运算（练习）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1《空间向量及其线性运算》 班级： 姓名： 分数： . 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共5小题，每小题8分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在平行六面体中，，，为的中点，则用向量，，可表示向量为(    ) A. B. C. D. 2.如图所示三棱锥中，为的中点，则(    ) A. B. C. D. 3.下列命题中，正确的是(    ) A. 设，，是三个空间向量，则，，一定不共面 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D. 若，，为空间的一组基底，则，，构成空间的另一组基底 4.已知三棱锥中，点，分别为，的中点，且，，，则(    ) A. B. C. D. 5.在平行六面体中，，分别为线段，上的点，则“且”是“，，三点共线”的(    ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共1小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.下列结论错误的是(    ) A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若非零向量与平行，则，，，四点共线 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若，则是，，，四点共面的充要条件 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分。 7.若空间向量，，共面，则实数          ． 8. 在四面体中，是棱的中点，且，则的值为           四、解答题：本题共2小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在空间四边形中，为的重心，，，分别为边，和的中点，化简下列各表达式． ； ． 10.本小题分  如图，平行六面体中，是中点，是中点，判断与是否共线？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1《空间向量及其线性运算》解析版 一、单选题：本题共5小题，每小题8分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在平行六面体中，，，为的中点，则用向量，，可表示向量为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查空间向量的线性运算，属于中档题． 直接利用向量的线性运算求出结果，即可求解． 【解答】 解：在平行六面体中， ，，，为的中点， 故． 故选：． 2.如图所示三棱锥中，为的中点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查空间向量的线性运算，属于基础题． 利用空间向量的线性运算即可求解． 【解答】 解：因为为的中点， 所以， 于是． 故选C． 3.下列命题中，正确的是(    ) A. 设，，是三个空间向量，则，，一定不共面 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D. 若，，为空间的一组基底，则，，构成空间的另一组基底 【答案】C  【解析】【分析】 本题重点考查空间向量的共线、共面向量定理及空间向量基本定理，属于基础题． 根据空间向量的共线、共面向量定理及空间向量基本定理逐个判断即可． 【解答】 解：对，设，，是三个空间向量，则，，可能共面，A错误； 对，应该为非零向量，故B错误； 对，， 即， ，根据共面向量定理知、、、四点共面，故C正确； 对，因为与平行， 所以，，不构成空间的另一组基底，D错误； 故选C． 4.已知三棱锥中，点，分别为，的中点，且，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查空间向量的线性运算，属于基础题． 根据题意得，再将，分别用，，表示，最后利用空间向量线性运算计算即可． 【解答】 解：在三棱锥中，点，分别为，的中点，    ． 故选：． 5.在平行六面体中，，分别为线段，上的点，则“且”是“，，三点共线”的(    ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查充分条件，必要条件和充要条件的判断，考查空间向量的共线定理，属于中档题． 利用向量运算和向量共线结合充分条件必要条件的定义即可得出结论． 【解答】 解：设，，，则． 又， 所以， 因为，， 所以， 所以 ， 所以，可知． 又是直线和的公共点， 所以和共线，即，，三点在一条直线上． 又易知由，，共线无法确定且． 故“且”是“，，三点共线”的充分不必要条件． 故选B． 2、 多选题：本题共1小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.下列结论错误的是(    ) A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若非零向量与平行，则，，，四点共线 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若，则是，，，四点共面的充要条件 【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查空间向量的共面定理、空间中共点、共线问题，属于中档题． 利用空间向量运算判断；利用共线向量的意义判断；利用空间向量基底的概念判断；利用空间共面向量定理判断． 【解答】 解：对于，当非零空间向量满足，时， 与不一定平行，也可能垂直，错误； 对于，当非零向量与平行时，，，，四点共线或直线与直线平行，错误； 对于，反证法，若不能构成空间的一组基底，则共面， 故存在，使得， 即，由于是一组基底向量， 所以无解，故能构成空间的一组基底，正确； 对于，，若， 则，化简得， 因此，，，四点共面， 反之，若，，，四点共面，则存在唯一实数对使得， 所以，所以， 又，所以，故， 所以是，，，四点共面的充要条件，正确． 故选： 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分。 7.若空间向量，，共面，则实数          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了空间向量共面定理、空间向量运算的坐标表示，属于中档题． 空间向量，，共面，可得：存在实数，使得，空间向量运算的坐标表示即可得出． 【解答】 解：空间向量，，共面， 存在实数，使得， ，解得． 故答案为：． 8.在四面体中，是棱的中点，且，则的值为           【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的线性运算，属于基础题． 利用空间向量线性运算，把  用  表示出来，即可求出结果． 【解答】 解：如图所示， 因为  是棱  的中点， 所以  ， 则  ， 所以  ， 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在空间四边形中，为的重心，，，分别为边，和的中点，化简下列各表达式． ； ． 【答案】解：为的重心，所以， 根据空间向量的运算法则，可得   ． 分别取，的中点，，连接，， 则四边形为平行四边形， 且有 根据空间向量的运算法则， 可得．  【解析】本题考查空间向量的线性运算，属于一般题． 根据空间向量的运算法则运算即可； 根据空间向量的运算法则运算即可求解． 10.本小题分  如图，平行六面体中，是中点，是中点，判断与是否共线？ 【答案】解：，分别是，的中点，四边形为平行四边形， 连结，则为的中点． ． 与共线．  【解析】本题主要考查空间向量的运算法则，向量共线的充分必要条件等知识，属于中档题． 由题意结合空间向量的运算法则可得，据此可知与共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$