1.1.2 数列的函数特性 课时作业-2023--2024学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.1.2 数列的函数特性 一、选择题 1．对于数列,若,,（）,则下列说法正确的是( ) A. B.数列是单调递增数列 C.数列是等差数列 D.数列是等差数列 2．已知在数列中，，则数列的最小项是( ) A.第1项 B.第3项、第4项 C.第4项 D.第2项、第3项 3．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 4．已知数列的通项公式为，则数列的前30项中最大项和最小项分别是( ) A.， B.， C.， D.， 5．下列数列中，为递减数列的是( ) A. B. C. D. 6．已知数列的通项公式为,若是递增数列,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 7．已知，则“”是“数列是递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8．已知数列的通项公式，记为数列的前n项和，若使取得最小值，则( ) A.5 B.5或6 C.10 D.9或10 二、多项选择题 9．下列是递增数列的是( ) A. B. C. D. 10．下列四个数列中的递增数列是( ) A.1，，，，… B.，，，… C.-1，，，，… D.1，，，…， 11．已知函数，设数列的通项公式为，则此数列( ) A.图象是二次函数的图象 B.是递减数列 C.从第3项往后各项均为负数 D.有两项为1 三、填空题 12．已知数列是递增数列，且对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是__________. 13．已知，则数列的最大项的值为_________. 14．若，则数列的最大项是第__________项. 四、解答题 15．已知数列的前项之积为，且． （1）求数列和的通项公式； （2）求的最大值． 16．在数列中，且是递增数列，求实数k的取值范围. 17．已知数列中,(,且). (1)若,求数列中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围. 18．在数列中,. (1)求证：数列先递增后递减； (2)求数列的最大项. 19．已知数列中，（且）. （1）若，求数列中的最大项和最小项的值. （2）若对任意的，都有成立，求a的取值范围. 参考答案 1．答案：ACD 解析：对A,由题意,,故,故A正确; 对B,因为,,,故B错误; 对C,,故数列是等差数列,故C正确; 对D,,故数列是等差数列,故D正确. 故选：ACD. 2．答案：D 解析：根据题意，在数列中，，，根据二次函数的单调性得数列的最小项是第2项和第3项.故选D. 3．答案：D 解析：根据题意，，要使是递增数列，必有 即可得.故选D. 4．答案：A 解析：， 当时，，为正值，且随n的增大而减小，则在上是递减数列； 当时，，为负值，且随n的增大而减小，则在上是递减数列.故数列的前30项中最大项是，最小项是. 故选A. 5．答案：D 解析：对于A，，数列为递增数列，A不合题意； 对于B，， 当时，数列递增，当时，数列递减，B不合题意； 对于C，，数列为递增数列，C不合题意； 对于D，，数列为递减数列，D符合题意.故选D. 6．答案：C 解析：因为是递增数列,由时, 可得,, 所以当,,即 , 解得 ,又, 所以 ,解得 或 (舍) 综上: ,即实数a的取值范围是. 故选: C. 7．答案：A 解析：充分性：， 因为的对称轴为，所以在单调递增， 所以的最小值为， 因为，所以， 所以，即数列是递增数列， “”是“数列是递增数列”的充分条件， 必要性：显然，当时，为递增数列， “”是“数列是递增数列”的不必要条件， 综上，“”是“数列是递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 8．答案：D 解析：根据二次函数的性质：， 当时，，当时，，当时，， 所以， 故当或10时，取得最小值. 故选：D. 9．答案：BC 解析:对于A,,,,是摆动数列,不符合题意; 对于B,,,,符合题意; 对于C,,,,当时,,符合题意; 对于D,,,,当时,,不符合题意; 故选:BC. 10．答案：CD 解析：对于A，数列1，，，，…为递减数列，故不符合题意； 对于B，数列，，，…为周期数列，且，故不符合题意； 对于C，数列-1，，，，…为递增数列，故符合题意； 对于D，数列1，，，…，为递增数列，故符合题意. 故选：CD. 11．答案：BC 解析：由题意得，由数列与函数的关系可知，数列的图象是分布在二次函数图象上的离散的点，如图所示，故A错， 从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，只有第2项为1，从第3项往后各项为负数项，所BC正确，D错误， 故选：BC 12．答案： 解析：因为数列是递增数列，所以对于任意，，则，化为，恒成立.因为数列单调递减，所以恒成立. 13．答案：9 解析：，当时，最大，其值为9. 14．答案：8 解析：，其对应的二次函数为，对称轴为，但n为正整数，所以离最近的整数为8，所以在第8项取最大值.故答案为：8. 15．答案：（1）（2） 解析：（1）①，∴②， 由①②可得，由①也满足上式，∴③， ∴④，由③④可得， 即，∴，∴． （2）由（1）可知，则， 记， ∴， ∴， ∴，即单调递减， ∴的最大值为． 16．答案：因为所以所以. 又数列是递增数列， 所以， 即即， 又，所以， 故k的取值范围为. 解析： 17．答案：(1)(,且),.结合函数的单调性,可知；. 数列中的最大项为,最小项为. (2). 对任意的,都有成立,并结合函数的单调性, . 即实数的取值范围为. 解析： 18．答案：(1)令,即, 整理得,解得. 令,即,整理得,解得. 所以数列从第1项到第9项递增,从第10项起递减. (2)由(1)知最大. 解析： 19．答案：（1）因为（且），又， 所以. 结合函数的单调性， 可知. 所以数列中的最大项为，最小项为. （2），已知对任意的，都有成立，结合函数的单调性，可知，即. 解析： 学科网（北京）股份有限公司 $$