专题02配方法的六种常见应用-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题02配方法的六种常见应用 【解题策略】 配方法的应用有两个大的方面:二次三项式的配方和用配方法解一元二次方程,其依据是完全平方公式；另外还广泛应用于求最值、求待定系数的值等,是一个重要的数学方法. 题型01配方法在识别方程中的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·广西河池·期末）关于的方程是一元二次方程的条件是（    ） A．且 B． C．且 D． 【例1-2】证明：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 【例1-3】（22-23八年级下·全国·单元测试）关于x的方程，当m取何值时，此方程是一元二次方程？并求出此方程的解． 【变式演练】 【变式1-1】关于x的方程（m2﹣3m+2）+5x﹣6m＝0是一元二次方程，则m＝ ． 【变式1-2】已知关于的方程 当时，解这个方程； 试证明：无论为何实数，这个方程都是一元二次方程． 【变式1-3】求证:无论m为何值,关于x的方程(m²-4m +5)x²+2x-7=0是一元二次方程. 题型02配方法在解方程中的应用 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）一元二次方程配方为，则的值为（    ） A． B．13 C．18 D．19 【例2-2】（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）一元二次方程配方后可变形为，则k的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【例2-3】（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则n的值是 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·河南南阳·期末）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·吉林白城·期末）把方程化成的形式，则m的值是 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）用配方法解方程，可以将其变形为（为常数）的形式，则 ． 题型03配方法在求二次三项式中的待定系数中的应用 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（    ） A． B．或6 C．或 D． 【例3-2】（22-23九年级上·湖南邵阳·期末）方程的左边是一个完全平方式，则m等于（　 ） A． B．或4 C．或 D．4 【例3-3】（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）对二次三项式进行配方，得， (1)______，______． (2)求：当x为何值时，此二次三项式的值为7？ 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）已知关于x的方程的左边是完全平方式，则a为（　　） A． B．3 C． D．不能确定 【变式3-2】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知关于的方程的左边是一个完全平方式，则的值为 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的二次三项式． (1)若有两个相等的实数根，求的值； (2)嘉琪将其变形为的形式，用含的式子表示． 题型04配方法在求二次三项式最大（小）值中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）请同学们借助所学知识确定代数式有最大值还是最小值，是多少（    ） A．有最小值是2 B．有最大值是2 C．有最小值是6 D．有最大值是6 【例4-2】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值. 解： ∵∴ ∴代数式的最小值为4. (1)求代数式的最小值； (2)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为18m，设较小矩形的宽为（如图）.当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【例4-3】（22-23九年级上·广东揭阳·期中）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵，∴，∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：； (2)求的最小值． 【变式演练】 【变式4-1】当a＝ 时，多项式a2+2a+2有最小值为 ． 【变式4-2】（23-24九年级上·河南鹤壁·阶段练习）阅读理解：求代数式的最小值． 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是． 仿照应用解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)某居民小区要在一块一边靠墙墙长的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【变式4-3】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 题型05配方法在求多个未知数的值中的应用 【典例分析】 【例5-1】（22-23九年级上·贵州黔南·期中）不论x，y取何值，代数式的值（　　） A．总不小于 B．总不大于 C．总大于2 D．总小于2 【例5-2】（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）若，则 ，若，则 ． 【例5-3】（2023九年级上·江苏·专题练习）实数x和y满足，则 ． 【变式演练】 【变式5-1】若（x，y是实数），则M的值一定是(   ) A．0 B．负数 C．正数 D．整数 【变式5-2】已知实数x满足，则的值为（    ） A．6 B． C．或6 D．1或 【变式5-3】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知a，b，c是的三边长，且． (1)求a，b，c的值． (2)判断的形状． 题型06配方法在比较两个二次三项式大小中的应用 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ∵，， ∴，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求y的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【例6-3】（22-23九年级上·湖南邵阳·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．解：， ，∴   ，即的最小值是  试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求的最小值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【变式演练】 【变式6-1】（22-23九年级上·甘肃武威·阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式最值； (2)已知，求的值； (3)比较代数式与的大小． 【变式6-2】（2023九年级上·江苏·专题练习）阅读下列材料：“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．试利用“配方法”解决下列问题： 简单应用： （1）填空： ； 深入探究： （2）已知，求的值； 灵活应用： （3）比较代数式与的大小，并说明理由． 【变式6-3】先阅读后解题： 若，求和的值． 解：等式可变形为： 即 因为，， 所以， 即，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长是________； （3）在实数范围内，请比较多项式与的大小，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02配方法的六种常见应用 【解题策略】 配方法的应用有两个大的方面:二次三项式的配方和用配方法解一元二次方程,其依据是完全平方公式；另外还广泛应用于求最值、求待定系数的值等,是一个重要的数学方法. 题型01配方法在识别方程中的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·广西河池·期末）关于的方程是一元二次方程的条件是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解一元二次方程，根据形如，这样的方程叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：∵程是一元二次方程， ∴， ∴且； 故选C 【例1-2】证明：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 【答案】见详解 【分析】根据一元二次方程的定义可进行求解． 【详解】解：由关于x的方程可知： ， ∵， ∴， ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键 【例1-3】（22-23八年级下·全国·单元测试）关于x的方程，当m取何值时，此方程是一元二次方程？并求出此方程的解． 【答案】当时，此方程是一元二次方程，此方程的解为：，； 【详解】∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，解得：， ∴原方程可化为， 解得：，， ∴当时，此方程是一元二次方程，此方程的解为：，； 【点睛】本题考查一元二次方程的定义求参数及解一元二次方程，解题的关键是根据定义列等式与不等式及配方法解一元二次方程 【变式演练】 【变式1-1】关于x的方程（m2﹣3m+2）+5x﹣6m＝0是一元二次方程，则m＝ ． 【答案】-1 【分析】根据一元二次方程的定义：一元二次方程必须满足：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0，列出关于m的方程+1=2且m2-3m+2≠0，然后解方程求得m值． 【详解】解：由题意得：+1=2且m2-3m+2≠0 由+1=2得m=±1， 当m=1时，m2-3m+2=0不合题意． 当m=-1时，m2-3m+2=6≠0，∴m=-1． 故答案为-1 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点 【变式1-2】已知关于的方程 当时，解这个方程； 试证明：无论为何实数，这个方程都是一元二次方程． 【答案】；证明见解析. 【分析】（1）当a=2时，化简原方程，再解方程即可；（2）利用配方法证明≠0，由此即可证得结论． 【详解】当时，原方程化简为： 解得：. ∵ ∴ 故这个方程都是一元二次方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及解法，解决第（2）问时，证明二次项系数≠0是解题的关键． 【变式1-3】求证:无论m为何值,关于x的方程(m²-4m +5)x²+2x-7=0是一元二次方程. 【答案】无论 m 为何值,关于x的方程(m²-4m +5)x²+2x-7=0是一元二次方程 【详解】证明:∵m²-4m+5=(m-2)²+1>0，∴.m²-4m+5≠0. ∴.无论 m 为何值,关于x的方程(m²-4m +5)x²+2x-7=0是一元二次方程 题型02配方法在解方程中的应用 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）一元二次方程配方为，则的值为（    ） A． B．13 C．18 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，得出答案，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B 【例2-2】（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）一元二次方程配方后可变形为，则k的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】 本题考查了运用配方法解一元二次方程，灵活运用完全平方公式进行配方是解答本题的关键．先移项，再利用完全平方公式配方即可； 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选：A． 【例2-3】（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则n的值是 【答案】6 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法则对等式左边进行配方即可得到本题答案． 【详解】解： 移项，可得 配方，可得，即 ∴n的值是6， 故答案为：6． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·河南南阳·期末）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法，将转化为的形式即可，灵活掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 故选： 【变式2-2】（23-24九年级上·吉林白城·期末）把方程化成的形式，则m的值是 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m的值． 【详解】 ． ∴． 故答案为：11 【变式2-3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）用配方法解方程，可以将其变形为（为常数）的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方形式，即可得出的值． 【详解】解：， ， ，即， ， 故答案为： 题型03配方法在求二次三项式中的待定系数中的应用 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（    ） A． B．或6 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据完全平方式的结构，而，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程的左边可以写成一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故选B． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数 【例3-2】（22-23九年级上·湖南邵阳·期末）方程的左边是一个完全平方式，则m等于（　 ） A． B．或4 C．或 D．4 【答案】B 【分析】根据完全平方式的结构，而，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得， 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数 【例3-3】（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）对二次三项式进行配方，得， (1)______，______． (2)求：当x为何值时，此二次三项式的值为7？ 【答案】(1) (2)当时，此二次三项式的值为7 【分析】（1）根据完全平方公式配方变形求解即可； （2）令，利用配方法求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为： （2）解：根据题意得， 即， ， ∴ ∴当时，此二次三项式的值为7． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式及配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）已知关于x的方程的左边是完全平方式，则a为（　　） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵关于x的方程的左边是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故选A 【变式3-2】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知关于的方程的左边是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，根据题意，可得，解方程即可求解，掌握完全平方和（差）公式的形式及变形是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 当时，， ∴，整理得，，符合题意； 当时，， ∴，整理得，，符合题意； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 【变式3-3】（23-24九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的二次三项式． (1)若有两个相等的实数根，求的值； (2)嘉琪将其变形为的形式，用含的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，配方法的应用： （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得； （2）解： ， ∴ 题型04配方法在求二次三项式最大（小）值中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）请同学们借助所学知识确定代数式有最大值还是最小值，是多少（    ） A．有最小值是2 B．有最大值是2 C．有最小值是6 D．有最大值是6 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用；根据配方法得出，即可求解． 【详解】解：， ∴代数式有最小值是2， 故选：A． 【例4-2】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值. 解： ∵∴ ∴代数式的最小值为4. (1)求代数式的最小值； (2)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为18m，设较小矩形的宽为（如图）.当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)当时，矩形面积的又最大值，最大值为 【分析】（1）结合例题，根据完全平方公式即可求解； （2）根据题意可得较大矩形的宽为，长为，即可求得矩形的面积，结合例题，根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． （2）解：∵较小矩形的面积较大矩形的面积， 故设较小矩形的宽为，则较大矩形的宽为， 则长为，且， 即， 故矩形的面积为， ∵， ∵， 故， ∴， ∴当时，矩形面积的又最大值，最大值为． 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【例4-3】（22-23九年级上·广东揭阳·期中）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵，∴，∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：； (2)求的最小值． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】（1）根据完全平方式的特征求解即可； （2）先配方，再求最值． 【详解】（1）解：． 故答案为：；1． （2）解：， ∵， ∴当即时， 原式有最小值． 【点睛】本题主要考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值”是解本题的关键 【变式演练】 【变式4-1】当a＝ 时，多项式a2+2a+2有最小值为 ． 【答案】 -1 1 【分析】利用配方法将多项式a2+2a+2，转化为（a+1）2+1，然后利用非负数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵a2+2a+2＝（a+1）2+1， ∴当a＝﹣1时，多项式a2+2a+2有最小值，最小值是1． 故答案为：﹣1，1． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值 【变式4-2】（23-24九年级上·河南鹤壁·阶段练习）阅读理解：求代数式的最小值． 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是． 仿照应用解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)某居民小区要在一块一边靠墙墙长的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）依据题意，由，从而可以判断得解； （2）由，从而可以得其最大值； （3）先根据矩形的面积公式列出关系式，再根据配方法求最值． 【详解】（1）解：由题意，， 当时，代数式的最小值为． （2）由题意，， 当时，代数式的最大值为． （3）由题意可得，花园的面积为：， 当时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是，的长是， 即当时，花园的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键． 【变式4-3】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)多项式的最小值为 (3)的周长为12 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，，， 故的周长为 题型05配方法在求多个未知数的值中的应用 【典例分析】 【例5-1】（22-23九年级上·贵州黔南·期中）不论x，y取何值，代数式的值（　　） A．总不小于 B．总不大于 C．总大于2 D．总小于2 【答案】A 【分析】通过配方可把代数式变形为，由非负数的知识可知该代数式的值总不小于． 【详解】解：∵ = = 又∵，， ∴， 即代数式的值总不小于． 故选：A． 【点睛】本题灵活运用配方法和非负数概念，考查了计算、推理能力和数学整体思想 【例5-2】（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）若，则 ，若，则 ． 【答案】 7 【分析】把看作一个整体，利用直接开平方法求解，注意舍去负值；把原式化为，再利用非负数的性质求出x、y即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或（舍去）； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：7，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法—直接开平方法和配方法的应用，掌握解答的方法是关键 【例5-3】（2023九年级上·江苏·专题练习）实数x和y满足，则 ． 【答案】 【分析】将已知等式左边第三项拆项后，重新结合利用完全平方公式变形后，利用两非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x与y的值，代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：，， 则， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 【变式演练】 【变式5-1】若（x，y是实数），则M的值一定是(   ) A．0 B．负数 C．正数 D．整数 【答案】C 【分析】先将整式M进行变形为（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1，然后根据二次方的非负性，即可得出答案． 【详解】解：M＝3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+14 ＝（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）+2（x2﹣4xy+4y2）+1 ＝（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1 ∵，，， ∴（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1＞0，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用和非负数的性质，将整式M变为（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2+1，是解题的关键 【变式5-2】已知实数x满足，则的值为（    ） A．6 B． C．或6 D．1或 【答案】A 【分析】设x2+x＝t，则原方程化为t2﹣5t﹣6＝0，利用因式分解法解得t1＝6，t2＝﹣1，所以x2+x＝6或x2+x＝﹣1，然后利用x2+x≥－确定x2+x的值即可． 【详解】解：设x2+x＝t， 原方程化为t2﹣5t﹣6＝0， ∴(t﹣6)(t+1)＝0， 解得t1＝6，t2＝﹣1， 即x2+x＝6或x2+x＝﹣1， ∵x2+x＝x2+x+－ ＝(x+)2－≥－， ∴x2+x＝﹣1不符合题意，舍去， ∴x2+x＝6， 故选：A． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的，也考查了配方法的应用． 【变式5-3】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知a，b，c是的三边长，且． (1)求a，b，c的值． (2)判断的形状． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】（1）根据完全平方公式可得，再根据平方的非负性，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， ， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，以及勾股定理逆定理的内容 题型06配方法在比较两个二次三项式大小中的应用 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的即可求出答案． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型 【例6-2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ∵，， ∴，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求y的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)30 (2) 【分析】（1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 的最大值为30； （2） ， ； 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方法． 【例6-3】（22-23九年级上·湖南邵阳·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．解：， ，∴   ，即的最小值是  试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求的最小值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题目给的方法将原式配方成，即可判断； （2）利用作差法结合配方法解答即可； 【详解】（1）， ∵， ∴的最小值是3，即y的最小值是3； （2）∵ ， ， ∴， ∴； 【变式演练】 【变式6-1】（22-23九年级上·甘肃武威·阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式最值； (2)已知，求的值； (3)比较代数式与的大小． 【答案】(1)有最小值2 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方式的特征求解； （2）先配方，再求最值； （3）作差后配方比较大小． 【详解】（1）解： 故当，即时，代数式最小值为2； （2）∵，则， ∴，即，， ∴，， ∴； （3）， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键 【变式6-2】（2023九年级上·江苏·专题练习）阅读下列材料：“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．试利用“配方法”解决下列问题： 简单应用： （1）填空： ； 深入探究： （2）已知，求的值； 灵活应用： （3）比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】（1），3；（2）1；（3），理由见解析 【分析】（1）根据配方法的方法配方即可； （2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值； （3）将两式相减，再配方即可作出判断． 【详解】解：（1）． 故答案为：，3； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3） ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方 【变式6-3】先阅读后解题： 若，求和的值． 解：等式可变形为： 即 因为，， 所以， 即，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长是________； （3）在实数范围内，请比较多项式与的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2）7；（3），理由见解析． 【分析】（1）利用分组分解法进行配方即可解题； （2）根据题意进行分组配方，解得，再利用三角形三边关系解得的值即可解题； （3）利用作差法解题． 【详解】解：（1） 因为，， ； （2） 因为，， 、、都是正整数， ， 故答案为：7； （3） ． 【点睛】本题考查配方法，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$