第04讲 二次函数的应用（1大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（沪科版）

第04讲 二次函数的应用（1大知识点+8大典例+变式训练） 题型一 图形问题(实际问题与二次函数) 题型二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型三 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型四 销售问题(实际问题与二次函数) 题型五 投球问题(实际问题与二次函数) 题型六 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型七 增长率问题(实际问题与次函数) 题型八 其他问题(实际问题与二次函数) 知识点01 二次函数的应用 （1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. （2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. （3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. （4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 【典型例题一 图形问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级下·吉林长春·开学考试）正方形的边长为4，当边长增加x时，面积增加y，求y与x之间的函数关系式． 2．（22-23九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平移抛物线y=x2﹣2x+3，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，求平移后的抛物线的解析式． 3．（22-23九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 4．（22-23九年级下·江西上饶·期中）我校各班积极参与班级文化墙建设，某广告公司准备为年级设计一幅周长为12m的矩形广告牌，表彰年级优秀学生，广告设计费为每平方米400元，设矩形一边长为x(m)，面积为S(m2). （1）求S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围. （2）为获得最多的广告设计费，广告牌的长，宽各应多少米？ 广告设计费最多是多少？ 5．（22-23九年级上·广东东莞·期中）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． (1)喷头离地面的高度是多少？ (2)水流喷出的最大高度是多少？ (3)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 【典型例题二 图形运动问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，点P在线段上，点P从点A开始沿边以的速度向点B移动；E是的中点，点Q从点E开始，沿以的速度向点C移动，如果点分别从点A、E同时出发． (1)请探究的面积与运动时间之间的函数关系式，并求出t的取值范围； (2)画出此函数的图像． 2．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． (1)若两点的距离为时，求的值？ (2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 3．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． (1)当t为何值时，P、Q两点的距离为？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形的面积最小？最小面积是多少？ 4．（23-24九年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 5．（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ 【典型例题三 拱桥问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·北京·期中）图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？ 2．（2024·陕西商洛·二模）根据以下素材，探索解决下列问题． 素材1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．以矩形长的中点为原点O，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为P． 素材2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好． (1)求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离B处水平距离的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯的大小忽略不计） 3．（23-24九年级下·陕西渭南·阶段练习）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度为米，棚顶最高点距离地面高度为米．以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若借助横梁在大棚正中建一个米高的门（到地面的距离为米），求横梁的长度是多少米？（结果保留根号） 4．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．          (1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 5．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）在郑州北四环外的惠济桥村，藏着一座郑州最古老的石拱桥，据史书记载和考古证实，惠济桥已有1000多年的历史，始建于隋唐，延续至宋元，历代多次重修，现存石桥为明代建筑，作为南唐大运河上的一座著名石桥，惠济桥既是隋唐大运河通济渠上的珍贵遗存，也是古城郑州千年变迁的重要见证．如图，惠济桥的中间桥拱截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到水面的距离为． (1)求抛物线的解析式． (2)为方便通行船只，在距离水面高处的地物线桥拱处设置一台照明灯，求这台照明灯距离桥拱的中轴线（y轴）的距离． (3)现有一艘小船高，宽，这艘小船能否通过该拱桥？通过计算说明你的结论． 【典型例题四 销售问题(实际问题与二次函数)】 1．（2024·辽宁锦州·二模）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． (1)如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ (2)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 2．（2024·广东汕头·一模）某企业设计了一款工艺品，每件成本是50元，为了合理定价，投入市场进行式销，据调查，销售单价是100元时，每天销售量是50件，而销售单价每降低 1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，设销售单价元，销售利润元． (1)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (2)该企业要使每天的销售利润不低于4000元，求出销售单价的取值范围？ 3．（2024·吉林长春·二模）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：    (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少? 4．（2024·云南楚雄·三模）2023年“五一”假期，昆明校场路蓝花楹主题公园成为热门网红打卡地后，公园开始售卖蓝花楹主题雪糕，每根成本价为3元，经调查，每天的销售量（根）与每根的售价（元）之间的函数关系式如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)设每天的总利润（元），若每根雪糕的售价为整数，则售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？ 5．（2023·江苏淮安·二模）某商店购入一批产品进行销售，进价为10元/件，计划采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y件与售价x元/件满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/件） 10 11 12 13 14 y（件） 900 850 800 750 700 (1)求y与x的函数关系式； (2)若线上售价保持比线下每件少2元，且线上的月销量都是700件．当线下售价为多少时，线上与线下的月总利润最大？最大利润是多少？ 【典型例题五 投球问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（h是物体离起点的高度，是初速度，g是重力系数，取，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以的初速度把球向上抛出． (1)1.2秒时球离起点的高度是多少？ (2)几秒后球离起点的高度达到？ 2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）一高尔夫选手某次击出一个高尔夫球的高度和经过的水平距离可用公式来估计． (1)当球的水平距离达到时，求上升的高度是多少? (2)当球的高度达到16m时，球的水平距离是多少? (3)求球的高度能达到的最大值． 3．（2024·河南信阳·三模）亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为． (1)请求出和的值； (2)“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标； (3)若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________． 4．（2024·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，从原点的正上方8个单位处向右上方发射一个小球，小球在空中飞行后，会落在截面为矩形的平台上（包括端点），把小球看作点，其飞行的高度与飞行的水平距离满足关系式．其中，，． (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)若落在平台上的小球，立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与形状相同的拋物线，在轴有两个点、，且，，从点向上作轴，且．若沿抛物线下落的小球能落在边（包括端点）上，求抛物线最高点纵坐标差的最大值是多少？ 5．（2024·陕西汉中·一模）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图①，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图②． 已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离 米． (1)请求出抛物线的函数表达式； (2)点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离． 【典型例题六 喷水问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2 是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是 1 米，当喷射出的水流与喷涨架的水平距离为米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为 米处有一棵高度为米的小树 ，垂直水平地面且 点到水平地面的距离为3米．    (1)计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响? (2)求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶流下，呈抛物线型落到院中地面上点．以地面为轴，过点且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似看作二次函数的部分图象．已知屋檐高为，雨水落点距屋檐的水平距离为． (1)求该二次函数的表达式； (2)若墙面与屋檐下端的水平距离为，现计划在院中安装一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的顶部中心到墙面的水平距离． 3．（2024·陕西西安·三模）某公园有一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离x米和对应的竖直高度y米， 整理如下： 水平距离x（米） 1 2 3 4 5 竖直距离y（米） 5 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线；猜想y与x之间满足我们学过的哪类函数关系，并求y与x之间的函数表达式； (2)此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的位置）向左平移了1米，求喷水管需要向下平移多少米? 4．（2024·四川成都·一模）为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置高2米，点处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与的水平距离为1米处时，喷出的水柱可以达到最大高度3米． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？ 5．（23-24九年级下·北京海淀·阶段练习）根据材料提供的信息，解决下面问题． 在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）． 图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧． 图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面． 图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度． 如图4，安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．    (1)在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式； (2)若喷泉跨度的最小值为，求喷水管高度的最大值； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，直接写出此时安全通道的宽度？ 【典型例题七 增长率问题(实际问题与次函数)】 1．（22-23九年级·上海·假期作业）某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式． 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，写出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式． 4．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 5．（2023·山东临沂·一模）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【典型例题八 其他问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子．假设果园增种棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为个，那么请你求出当果园增种多少棵橙子树时，橙子的总产量最多，并求出此时的总产量． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）跳伞运动员跳离飞机，在未打开降落伞前，下降的高度与下降的时间之间的关系式为． (1)请完成下表； 下降高度 200 500 下降时间 (2)如果跳伞运动员从的高空跳伞，为确保安全，必须在离地面之前打开降落伞．求运动员在空中不打开降落伞的时间至多有几秒？ 3．（2024·河南信阳·二模）“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)野兔一次跳跃的最远水平距离为2.8m，最大竖直高度为0.98m，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围） (2)若在野兔起跳点2米处有一个高度为0.65米的树桩，请问野兔是否能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演? 4．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）窑洞（如图1）是黄土高原的产物，是陕北地方劳动人民的象征，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息，它除了坚固及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点.小明家的窑洞（如图2）的门窗上面部分可以看成一个抛物线，下面部分是矩形，已知矩形的长，宽，门窗最高点D与地面垂直距离为，以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，小明想对家里的窑洞门窗进行装饰，准备在门窗上面的抛物线上悬挂两个灯笼，使它们离地面的高度相等，且均为，请求出两个灯笼的水平距离.（结果保留根号） 5．（2024·河南周口·三模）水花消失术一直是跳水比赛的热门话题．当一名运动员在10米跳台进行跳水时，其身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线．如图，这是一名运动员的运行路线图，O为起跳点，A为入水点．以O为原点，建立平面直角坐标系，其高度与离起跳点O的水平距离之间的函数关系如图所示．当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员达到最高点，当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员离水面的高度为． (1)求抛物线的表达式，并求该运动员离水面的最大高度． (2)当运动员完成所有的动作，入水时必须伸直手臂，垂直入水，使溅起的水花尽量小一些，一般情况下，当运动员离水面高度不小于时已调整好垂直姿势入水，则压水花成功．当该运动员离起跳点O的水平距离为时，已调整好垂直姿势入水，问该运动员是否成功压住水花，并说明理由． 【变式训练1 图形问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级下·四川达州·期中）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，求矩形花园的最大面积． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知正方形的周长是C厘米，面积是S平方厘米． (1)求S关于C的函数关系式； (2)当平方厘米，求正方形的边长． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 4．（2024·新疆吐鲁番·三模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 5．（2024·山西运城·三模）阅读与思考 下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划利用一张如图1所示的的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题． 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大． (1)当_________时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________ (2)请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围． (3)在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 【变式训练2 图形运动问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·四川凉山·期中）如图，在中，，动点P以的速度从A向B移动（不与B重合），动点Q以的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问经过几秒后，四边形的面积最小？并求出最小值. 2．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）如图所示，中，，点P从点A开始沿边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒P、Q之间距离等于cm？ 3．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动，如果点，分别从点，同时出发，    (1)写出的面积关于出发时间的函数解析式及的取值范围； (2)四边形的面积随出发时间如何变化？写出函数解析式及的取值范围． 5．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，E、F分别是边长为的正方形的边上的点，，直线交的延长线于G，过线段上的一个动点H作垂足分别为M、N，设，矩形的面积为y．    (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，矩形的面积最大，最大面积为多少？ 【变式训练3 拱桥问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·山西临汾·期末）图1是一座拱桥，拱桥的拱形呈抛物线形状，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，在拱桥中，水面宽12米，点是抛物线上一点． (1)求该拱桥抛物线的解析式． (2)若水位上涨1米，求上涨后拱桥内水面的宽度 2．（2024·陕西宝鸡·一模）悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，如图2，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求主索抛物线的函数表达式； (2)距离点P水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 3．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）水清，岸绿，景美的沁阳滨河公园有一座美丽的抛物线形彩虹桥．某校综合实践活动小组通过测量，测得该桥跨度为40米，最高点到地面的距离为6米，支撑桥的是一些等距立柱．    (1)按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)若两根支撑柱，的高度均为4米，求这两根支撑柱之间的水平距离． 4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图1是汝南北城古桥，斑驳的桥面上书写着历史的痕迹．古桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．    (1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式（无需写出取值范围）； (2)一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 5．（2024·贵州·模拟预测）“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 【变式训练4 销售问题(实际问题与二次函数)】 1．（2024·甘肃临夏·一模）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？ 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）我市某商场根据民众健康要代理销售某种进价为600元/台的家用“空气清洁器”．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台． (1)试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式； (2)请计算当售价x（元台）定为多少时，该商场每月销售这种“空气清洁器”所获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段图象． (1)当时，求出此时y与x的函数关系式； (2)求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 4．（23-24九年级下·广东茂名·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． (1)求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式：（不需要求自变量取值范围） (2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ (3)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为，当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元． (1)求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式； (2)若A、B两城生产这批产品的总成本的和为w（万元），求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式； (3)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件． 【变式训练5 投球问题(实际问题与二次函数)】 1．（2024·甘肃临夏·一模）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？ 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）我市某商场根据民众健康要代理销售某种进价为600元/台的家用“空气清洁器”．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台． (1)试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式； (2)请计算当售价x（元台）定为多少时，该商场每月销售这种“空气清洁器”所获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段图象． (1)当时，求出此时y与x的函数关系式； (2)求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 4．（23-24九年级下·广东茂名·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． (1)求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式：（不需要求自变量取值范围） (2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ (3)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为，当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元． (1)求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式； (2)若A、B两城生产这批产品的总成本的和为w（万元），求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式； (3)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件． 【变式训练6 喷水问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）某幢建筑物，从二米高的窗口A用水管向外喷水（米），喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如图，如果抛物线的最高点M离墙2米，离地面12米，求水流落地点B到墙的距离． 2．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）从某幢建筑物高的窗口处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点离墙，离地面．求水的落地点与点的距离． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，某幢建筑物从米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离是多少米？ 4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）2023年11月23日，第十批搭载着25位在韩中国人民志愿军烈士遗骸及相关遗物的空军专机运飞机从韩国仁川起飞，进入中国领空后，空军两架歼战斗机护航，向志愿军烈士致以崇高敬意．11时32分，专机缓缓降落在桃仙国际机场，机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，如图①，在这次“过水门”仪式中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的一条抛物线的一部分．如图②，两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点F处相遇，此时相遇点F距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，飞机从水柱抛物线的正下方经过． (1)求“过水门”水柱抛物线的解析式； (2)飞机的尾翼长16米，当飞机尾翼刚好经过水柱正下方时，尾翼与抛物线的最高点的距离为1米，求此时尾翼右端（如图所示）与水柱的水平距离为多少米？ 5．（23-24九年级上·河南商丘·期末）要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为处达到最高，且最高为，水柱落地处离广场中央，建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)求水管的长度； (3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？ 【变式训练7 增长率问题(实际问题与次函数)】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 2．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 3．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 4．（2023·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 5．（2023·江苏宿迁·一模）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度/℃ …… －4 －2 0 2 4 4.5 …… 植物每天高度增长量/mm …… 41 49 49 41 25 19.75 …… 这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种． （1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式； （2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果． 【变式训练8 其他问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．设每平方米种植x株（x为整数，且） (1)平均每株产量为__________千克（用x的代数式表示）； (2)已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄，问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）为了落实劳动教育，某学校邀请专家指导学生进行农作物的种植，经过试验，其平均单株产量千克与每平方米种植的株树数（，为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为5千克：以同样的栽培条件，每平方米种植的株树每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求与的函数表达式； (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 3．（23-24九年级上·山东滨州·期中）如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)写出滚动的距离S（单位：）关于滚动的时间t（单位：）的函数解析式．（提示：本题中，距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） (2)如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 4．（23-24九年级上·山东青岛·期末）公路上正在行驶的甲车，发现前方30m处沿同一方向行驶的乙车后，为了行驶安全，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． (1)当甲车减速至6m/s时，它行驶的路程是多少？ (2)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，当时间t在什么范围时，两车间的距离不超过米？ 5．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）某中学航模组设计并制作了一种火箭模型，已知此火箭模型升空的高度与飞行时间满足函数表达式． (1)求火箭模型升空的最大高度； (2)求点火后，第几s火箭模型升空的高度为； (3)求火箭模型发射塔的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数的应用（1大知识点+5大典例+变式训练） 题型一 图形问题(实际问题与二次函数) 题型二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型三 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型四 销售问题(实际问题与二次函数) 题型五 投球问题(实际问题与二次函数) 题型六 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型七 增长率问题(实际问题与次函数) 题型八 其他问题(实际问题与二次函数) 知识点01 二次函数的应用 （1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. （2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. （3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. （4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 【典型例题一 图形问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级下·吉林长春·开学考试）正方形的边长为4，当边长增加x时，面积增加y，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】根据增加的面积新正方形的面积边长为4的正方形的面积，求出即可． 【详解】解：由题意得： ． 故与之间的函数表达式为． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，解决本题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长． 2．（22-23九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平移抛物线y=x2﹣2x+3，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，求平移后的抛物线的解析式． 【答案】y=x2+3x+2或y=x2+x﹣2 【分析】利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式． 【详解】解：∵点B在y轴上，且△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），  ∴点B的坐标为（0，2）或（0，﹣2）， 根据题意设平移后抛物线解析式为y=x2+bx+c， 将（﹣2，0）、（0，2）代入得： ， 解得： ， ∴此时抛物线解析式为y=x2+3x+2； 将（﹣2，0）、（0，﹣2）代入得： ， 解得： ， ∴此时抛物线解析式为y=x2+x﹣2， 综上，平移后抛物线解析式为y=x2+3x+2或y=x2+x﹣2 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换, 等腰直角三角形. 3．（22-23九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米， ， ， ， y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∴当时，y取得最大值，此时， 即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答． 4．（22-23九年级下·江西上饶·期中）我校各班积极参与班级文化墙建设，某广告公司准备为年级设计一幅周长为12m的矩形广告牌，表彰年级优秀学生，广告设计费为每平方米400元，设矩形一边长为x(m)，面积为S(m2). （1）求S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围. （2）为获得最多的广告设计费，广告牌的长，宽各应多少米？ 广告设计费最多是多少？ 【答案】（1）s=-x2+6x（0<x<6）；（2）长3米，宽3米，3600元 【分析】（1）设矩形一边长为xm，则另一边长为 m，根据面积得出S与x的二次函数关系式； （2）利用配方法求最值即可． 【详解】解：（1）设矩形一边长为xm，面积为Sm2，则另一边长为m， 则其面积S=x•=x（6-x）=-x2+6x（0<x<6）． （2）S=-x2+6x=-（x-3）2+9， ∵a=-1＜0，S有最大值， 当x=3时，S最大值=9． ∴设计费最多为9×400=3600（元）． 答：广告牌的长3米，宽3米，广告设计费最多是3600元． 故答案为（1）s=-x2+6x（0<x<6）；（2）长3米，宽3米，3600元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，由矩形面积等于长乘以宽列出函数关系式，利用函数关系式求最值，运用二次函数解决实际问题． 5．（22-23九年级上·广东东莞·期中）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． (1)喷头离地面的高度是多少？ (2)水流喷出的最大高度是多少？ (3)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 【答案】(1) (2) (3)当米时，水流不落在池外 【分析】（1）喷头离地面的高度是二次函数与的交点，由此即可求解； （2）水流喷出的最大高度是二次函数的顶点坐标的纵坐标，由此即可求解； （3）水池的半径是当二次函数时，自变量的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，当时，， ∴喷头离地面的高度是米． （2）解：， ∴二次函数的顶点坐标是， ∴水流喷出的最大高度是米． （3）解：原二次函数变形得，，即，解方程得，，， ∵， ∴，即当米时，水流不落在池外． 【点睛】本题主要考查二次函数一实际问题的综合应用，掌握二次函数图像的特点是解题的关键． 【典型例题二 图形运动问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，点P在线段上，点P从点A开始沿边以的速度向点B移动；E是的中点，点Q从点E开始，沿以的速度向点C移动，如果点分别从点A、E同时出发． (1)请探究的面积与运动时间之间的函数关系式，并求出t的取值范围； (2)画出此函数的图像． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）的面积，把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可． （2）根据五点作图法，先列表再描点连线，即可作答． 本题考查了二次函数与几何运动内容，画二次函数的图象，解决本题的关键是找到所求的三角形的面积的等量关系，注意求自变量的取值应从线段长度为非负数考虑． 【详解】（1）解：由题意，得 ∴． ∵，点P、Q运动的速度均为， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴列表如下： 0 1 2 3 6 18 16 0 画出函数 的图象，如图 2．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． (1)若两点的距离为时，求的值？ (2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)或2 (2)当为时，的面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用： （1）分别用t的代数式表示出线段的长度，利用勾股定理列出方程即可求解； （2）设的面积为，利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵两点的距离为， ∴， 解得：或2； （2）解：设的面积为，根据题意得： ， ∴当时，S取得最大值，最大值为9， 即当为时，的面积最大，最大面积为． 3．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． (1)当t为何值时，P、Q两点的距离为？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1)1 (2)2或1.5 (3)点P运动时间时，四边形的面积最小，最小面积是 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，勾股定理： （1）根据题意可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据三角形的面积公式可得到关于t的方程，即可求解； （3）根据四边形的面积为，进而求出四边形的面积最小值． 【详解】（1）解： 根据题意得：， ∵P、Q两点的距离为，且， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）；， 即当t为1时，P、Q两点的距离为； （2）解：根据题意得：， ∵的面积为 ∴， 解得：或1.5， 即当t为2或1.5时，的面积为； （3）解：根据题意得：， ∴的面积为， ∴四边形的面积为， ∵， ∴当时，四边形的面积取得最大值，最大值为． 即点P运动时间时，四边形的面积最小，最小面积是． 4．（23-24九年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，面积最大，最大值为． 【分析】（1）根据题意得出，，则即可； （2）当时，列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可； 本题考查了列函数关系式，解一元二次方程，二次函数的最值等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：，，则， ∴； （2）当时， ∴，解得，， ∴的值为或； （3）， ∴当时，面积最大，最大值为． 5．（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ 【答案】(1)， (2)； (3)的最大面积是． 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出、的长度是解题的关键． （1）根据题意表示出、的长即可； （2）根据三角形的面积公式列式整理即可得解； （3）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， 即； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，当时，随的增大而增大， 而， ∴当时，， 即的最大面积是． 【典型例题三 拱桥问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·北京·期中）图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？ 【答案】 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为(a≠0). ∵图象经过点（2，-2）， ∴-2=4a， 解得：. ∴. 当y=-3时，. 答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般． 2．（2024·陕西商洛·二模）根据以下素材，探索解决下列问题． 素材1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．以矩形长的中点为原点O，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为P． 素材2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好． (1)求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离B处水平距离的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯的大小忽略不计） 【答案】(1) (2)补光灯悬挂部分的长度应是 【分析】本题考查了二次函数的应用： （1）根据图象，利用待定系数法即可求解； （2）当时，得，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图中的坐标系以及题意可得，点P的坐标为，点B的坐标为， 抛物线的顶点坐标为点， 可设抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得：． 抛物线的函数表达式为． （2）， 当时，， ， 补光灯悬挂部分的长度应是． 3．（23-24九年级下·陕西渭南·阶段练习）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度为米，棚顶最高点距离地面高度为米．以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若借助横梁在大棚正中建一个米高的门（到地面的距离为米），求横梁的长度是多少米？（结果保留根号） 【答案】(1) (2)横梁的长度是米为米 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据题意可得，，顶点坐标为，设二次函数解析式为：，由此即可求解； （2）当时计算对应的横坐标，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，，顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为：，把代入得， 即， 解得，， ∴； （2）解：到地面的距离为米，且二次函数解析式为， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴横梁的长度是米为米． 4．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．          (1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将代入得出关系式即可； 对于（2），由题意可得米，将代入关系式，再结合题意求出答案； 对于（3），由题意可知顶点坐标为设顶点式，将点代入用含有k的代数式表示a，再根据抛物线与钢柱有交点得出不等式，进而求出范围． 【详解】（1）解： 由题意可得顶点F的坐标是． 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过原点O， ∴将代入得，，解得， ∴； （2）解： 由题意可得米， 将代入， 解得， ∴6根钢柱总长 (米)； （3）解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为． ∴抛物线解析式为. ∵抛物线经过点， ∴， 解得． 当时，． ∵抛物线与钢柱有交点， ∴． 将代入， 可得，， ∴， ∴． 【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与不等式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键． 5．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）在郑州北四环外的惠济桥村，藏着一座郑州最古老的石拱桥，据史书记载和考古证实，惠济桥已有1000多年的历史，始建于隋唐，延续至宋元，历代多次重修，现存石桥为明代建筑，作为南唐大运河上的一座著名石桥，惠济桥既是隋唐大运河通济渠上的珍贵遗存，也是古城郑州千年变迁的重要见证．如图，惠济桥的中间桥拱截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到水面的距离为． (1)求抛物线的解析式． (2)为方便通行船只，在距离水面高处的地物线桥拱处设置一台照明灯，求这台照明灯距离桥拱的中轴线（y轴）的距离． (3)现有一艘小船高，宽，这艘小船能否通过该拱桥？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)距离水面高处照明灯距离桥拱的中轴线（y轴）的距离是 (3)这艘小船能通过该拱桥 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，运用待定系数法求二次函数的解析式以及由函数值求自变量的值的运用． （1）抛物线的解析式为，根据D点的坐标由待定系数法就可以求出结论； （2）当时代入(1)的解析式，求出x的值即可求出结论． （3）方法同(2)，把 时代入(1)的解析式，，求出x的值，进一步求出的值，最后用和比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得， 抛物线的解析式为 （2）在中， 令， 得， 解得， 距离水面高处照明灯距离桥拱的中轴线（y轴）的距离是 （3）这艘小船能通过该拱桥．理由如下： 在中， 令， 得， 解得， ， ， 这艘小船能通过该拱桥． 【典型例题四 销售问题(实际问题与二次函数)】 1．（2024·辽宁锦州·二模）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． (1)如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ (2)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)60元 (2)当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用． （1）根据题意用每千克得利润乘以销售量等于总利润列出一元二次方程，求解即可． （2）根据题意列出w关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶由题意得∶， 解得或， ∵3 ∴ ∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元． （2）由题意得，， ∵， ∴w有最大值， ∵． ∴当时，（元）． ∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元 2．（2024·广东汕头·一模）某企业设计了一款工艺品，每件成本是50元，为了合理定价，投入市场进行式销，据调查，销售单价是100元时，每天销售量是50件，而销售单价每降低 1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，设销售单价元，销售利润元． (1)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (2)该企业要使每天的销售利润不低于4000元，求出销售单价的取值范围？ 【答案】(1)时，有最大值，最大值为4500元 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）根据题意可得，将其化为顶点式即可； （2）当时，求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：依题意得 ∵ ，抛物线开口向下 ∴时，有最大值，最大值为4500元； （2）当时， 解得 ∴当时，每天的销售利润不低于4000元． 3．（2024·吉林长春·二模）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：    (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1)， (2)当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利润为，则，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得：代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，，解得：， ∴自变量的取值范围为：． （2）解：设利润为， 则， ∴当时，， 答：当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元． 4．（2024·云南楚雄·三模）2023年“五一”假期，昆明校场路蓝花楹主题公园成为热门网红打卡地后，公园开始售卖蓝花楹主题雪糕，每根成本价为3元，经调查，每天的销售量（根）与每根的售价（元）之间的函数关系式如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)设每天的总利润（元），若每根雪糕的售价为整数，则售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每根雪糕的售价定为9元时或者10元时，获利最大，最大利润是420元 【分析】本题考查了二次函数的性质与应用，一次次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （2）由题意得出，结合二次函数的性质，得对称轴为直线，当或者10时，有最大值，代入求值，即可作答． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将代入，得 ， 解得， 所以与的函数关系式为． （2）解：由题意，可知： ， ∵， ∴该拋物线开口向下， ∴对称轴为直线 ∵为整数， ， ∴当或者10时，有最大值， 最大值为， 答：每根雪糕的售价定为9元时或者10元时，获利最大，最大利润是420元． 5．（2023·江苏淮安·二模）某商店购入一批产品进行销售，进价为10元/件，计划采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y件与售价x元/件满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/件） 10 11 12 13 14 y（件） 900 850 800 750 700 (1)求y与x的函数关系式； (2)若线上售价保持比线下每件少2元，且线上的月销量都是700件．当线下售价为多少时，线上与线下的月总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润是10600元． 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质解答． （1）根据线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元件，）满足一次函数的关系和表格中的数据，利用待定系数法可以求得与的函数关系式； （2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和的函数关系式，再利用二次函数的性质，求线上和线下月利润总和达到最大，并求出此时的最大利润． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 把，代入解析式得， 解得， 与的函数关系式为； （2）解：设总利润为元， ， ，， 当时，取得最大值，此时， 答：当时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润是10600元． 【典型例题五 投球问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（h是物体离起点的高度，是初速度，g是重力系数，取，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以的初速度把球向上抛出． (1)1.2秒时球离起点的高度是多少？ (2)几秒后球离起点的高度达到？ 【答案】(1)秒时球离起点的高度是； (2)秒或秒后球离起点的高度达到． 【分析】本题为二次函数实际应用问题，解答时注意将相应的函数值或自变量值代入函数关系式中求解即可． （1）把代入即可求解； （2）把代入求t即可． 【详解】（1）解：由题意，将分别代入函数关系式， 得， 当时，代入解得， ∴秒时球离起点的高度是； （2）解：当时，， 解得． 故秒或秒后球离起点的高度达到． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）一高尔夫选手某次击出一个高尔夫球的高度和经过的水平距离可用公式来估计． (1)当球的水平距离达到时，求上升的高度是多少? (2)当球的高度达到16m时，球的水平距离是多少? (3)求球的高度能达到的最大值． 【答案】(1)当球经过的水平距离为时，球的高度是； (2)当球的高度达到16m时，球的水平距离是或； (3)球的高度能达到的最大值为． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能根据已知求出相应的和的值． （1）当时，，即得当球经过的水平距离为时，球的高度是； （2）在中，令求得的值，即可求解； （3）配成顶点式，利用二次函数的性质，即可得答案． 【详解】（1）解：当时， ， 答：当球经过的水平距离为时，球的高度是； （2）解：在中，令得： ， 解得或， ∴当球的高度达到16m时，球的水平距离是或； （3）解：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：球的高度能达到的最大值为． 3．（2024·河南信阳·三模）亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为． (1)请求出和的值； (2)“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标； (3)若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数对称轴的计算，二元一次方程组的计算，不同自变量的取值函数最值的计算方法时解题的关键． （1）根据二次函数对称轴，顶点坐标即可求解； （2）联立方程解二元一次方程组即可求解； （3）根据二次函数图象的对称轴，分类讨论，当时，取到最大值；当时，取到最大值；由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为， ∵小球达到的最高的的坐标为， ∴， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：根据题意联立方程组得， ， 解得，（不符合题意，舍去）或， ∴； （3）解：已知二次函数的顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大； ∵时的最大值为， ∴当时取到最大值，且，即， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）； ∴； 当时，随的增大而减小， ∴当时取得最大值，且，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 4．（2024·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，从原点的正上方8个单位处向右上方发射一个小球，小球在空中飞行后，会落在截面为矩形的平台上（包括端点），把小球看作点，其飞行的高度与飞行的水平距离满足关系式．其中，，． (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)若落在平台上的小球，立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与形状相同的拋物线，在轴有两个点、，且，，从点向上作轴，且．若沿抛物线下落的小球能落在边（包括端点）上，求抛物线最高点纵坐标差的最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)抛物线最高点纵坐标差的最大值是． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）将代入，即可求解； （2）将，分别代入，计算即可求解； （3）设抛物线的解析式为，若抛物线经过点，时，求得最大值为，抛物线经过点，时，求得最大值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：由题意得，， ∴当抛物线经过点时，， 解得； 当抛物线经过点时，， 解得； ∴的取值范围为； （3）解：由题意得，，，， 设抛物线的解析式为， 若抛物线经过点，时， 有， 解得， ∵， ∴此时抛物线的最大值为； 若抛物线经过点，时， 有， 解得， ∵， ∴此时抛物线的最大值为； ∴抛物线最高点纵坐标差的最大值是． 5．（2024·陕西汉中·一模）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图①，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图②． 已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离 米． (1)请求出抛物线的函数表达式； (2)点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离． 【答案】(1) (2)此时石头到轴的距离为米 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）将代入，进而得出，根据对称轴为，进而求得的值，即可求解； （2）根据题意，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，将代入得，， ， 抛物线的顶点横坐标为20， ， ， 抛物线的函数表达式为． （2）由题意可得：， 解得，（舍去）， 此时石头到y轴的距离为5米． 【典型例题六 喷水问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2 是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是 1 米，当喷射出的水流与喷涨架的水平距离为米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为 米处有一棵高度为米的小树 ，垂直水平地面且 点到水平地面的距离为3米．    (1)计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响? (2)求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握建模的数学思想是解题关键． （1）设该抛物线的解析式为，将点代入即可求出解析式；求出当时的函数值，即可判断； （2）由题意得直线的解析式为：，确定水流的高度与斜坡铅垂高度差的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得： ∴ 当时， ∴水流能浇灌到树后面的草坪，小树不会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响 （2）解：由题意得， ∴直线的解析式为： 水流的高度与斜坡铅垂高度差， ∴水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值为 2．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶流下，呈抛物线型落到院中地面上点．以地面为轴，过点且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似看作二次函数的部分图象．已知屋檐高为，雨水落点距屋檐的水平距离为． (1)求该二次函数的表达式； (2)若墙面与屋檐下端的水平距离为，现计划在院中安装一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的顶部中心到墙面的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意知，抛物线过点，，用待定系数法即可求解； （2）将代入所求函数解析式中，求得x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线过点，， 将，分别代入， 得， 解得， 该二次函数的表达式为； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得（舍去）， ， 洗手池的顶部中心到墙面的水平距离为． 3．（2024·陕西西安·三模）某公园有一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离x米和对应的竖直高度y米， 整理如下： 水平距离x（米） 1 2 3 4 5 竖直距离y（米） 5 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线；猜想y与x之间满足我们学过的哪类函数关系，并求y与x之间的函数表达式； (2)此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的位置）向左平移了1米，求喷水管需要向下平移多少米? 【答案】(1)画图见解析，y与x满足二次函数关系，抛物线的表达式为 (2)喷水管需要向下平移米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，二次函数作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法． （1）先描点、然后连线，作出函数图象；用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出原抛物线的落水点为，根据题意得出新抛物线的落水点为，即，设喷水管需要向下平移h米，得出新抛物线的表达式为， 将代入求出结果即可． 【详解】（1）解：描点、连线如图； 猜想y与x满足二次函数关系； 设y与x之间的函数表达式为， 观察图象可知，顶点坐标为，代入得， 将代入，，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：抛物线与x轴相交，令，即：． 解得：， （不合题意，舍去）， ∴原抛物线的落水点为， ∴新抛物线的落水点为，即， 设喷水管需要向下平移h米， 则新抛物线的表达式为， 将代入得，， 解得：， 答：喷水管需要向下平移米． 4．（2024·四川成都·一模）为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置高2米，点处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与的水平距离为1米处时，喷出的水柱可以达到最大高度3米． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？ 【答案】(1)； (2)该圆形喷水池的半径至少设计为米合理． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的应用． （1）设水流所在抛物线解析式为：，把代入解析式，求出的值即可得到答案； （2）令，得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：喷出的水流距柱子1米处时达到最大高度3米， 抛物线的顶点坐标为， 设水流所在抛物线解析式为：， 米， ， 将代入得：， 解得：， 水流所在抛物线解析式为； （2）解：当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：该圆形喷水池的半径至少设计为米合理． 5．（23-24九年级下·北京海淀·阶段练习）根据材料提供的信息，解决下面问题． 在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）． 图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧． 图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面． 图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度． 如图4，安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．    (1)在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式； (2)若喷泉跨度的最小值为，求喷水管高度的最大值； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，直接写出此时安全通道的宽度？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为． (2)喷水管的高度最大值为； (3)此时安全通道的宽度为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可知抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，代入即可求解； （2）设抛物线解析式为：，代入时，，即可求抛物线解析式，从而求的值； （3）求出当时，点落在上，点落在上时两个点的横坐标即可求解． 【详解】（1）解：点坐标为，点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的最高点为3， 顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为过点， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同， 设喷泉跨度的最小值为时，抛物线的函数表达式为，， 当时，，得，解得：或（舍去）， 则， 由，得， 即：喷水管的高度最大值为； （3）解：由题意得：当点落在上， 当时，， 解得：或（舍去）， 当点落在上时， 当时，， 解得：或（舍去）， 则，． 即：此时安全通道的宽度为． 【典型例题七 增长率问题(实际问题与次函数)】 1．（22-23九年级·上海·假期作业）某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式． 【答案】 【分析】设每月增长率都为，所以5月份的营收为万元，6月份的营收为万元． 【详解】解：因为月份的营收为万元，月份起，每月增长率都为，所以月份的营收为万元，月份的营收为万元． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键． 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 【答案】见解析． 【分析】根据增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式． 【详解】依题意，得：， 此函数是二次函数. 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果． 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，写出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【答案】y＝5000x2＋10000x＋5000． 【分析】根据增长率第2年的销量=第1年的销量+增加百分率x×第1年的销量=(1+x)×第1年的销量，第3年的销售量y=第2年的销量+增加百分率x×第2年的销量=(1+x)×第2年的销量=(1+x)2×第1年的销量即可． 【详解】解：由题意可知y＝500(1＋x)2＝5000x2＋10000x＋5000， ∴y＝5000x2＋10000x＋5000． 【点睛】本题考查增长率问题，利用增长率求函数解析式，掌握增长率的公式是解题关键． 4．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 5．（2023·山东临沂·一模）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【答案】(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 【典型例题八 其他问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子．假设果园增种棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为个，那么请你求出当果园增种多少棵橙子树时，橙子的总产量最多，并求出此时的总产量． 【答案】当果园增种棵橙子树时，橙子的总产量最多，此时的总产量为个 【分析】平均每棵树结个橙子，假设果园增种棵橙子树，假设果园增种棵橙子树，平均每棵树结个橙子，可知现在有棵树，平均每颗产量为，由此即可求解． 【详解】解：有棵橙子树，平均每棵树结个橙子，假设果园增种棵橙子树，假设果园增种棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为个， ∴， ∴当时，总产量为有最大值，其最大值为， ∴当果园增种棵橙子树时，橙子的总产量最多，此时的总产量为个． 【点睛】本题主要考查二次函数与实际问题的综合，分析题目意思，找出数量关系，列方程，掌握二次函数图像的性质特征是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）跳伞运动员跳离飞机，在未打开降落伞前，下降的高度与下降的时间之间的关系式为． (1)请完成下表； 下降高度 200 500 下降时间 (2)如果跳伞运动员从的高空跳伞，为确保安全，必须在离地面之前打开降落伞．求运动员在空中不打开降落伞的时间至多有几秒？ 【答案】(1)见解析 (2)秒 【分析】本题主要考查了二次函数的应用， （1）分别将和代入求解即可； （2）根据题意得到，解方程即可． 【详解】（1）将代入得， 解得，负值舍去 将代入得， 解得，负值舍去 ∴完成表格如下： 下降高度 200 500 下降时间 10 （2）根据题意得， 解得 ∴运动员在空中不打开降落伞的时间至多有秒． 3．（2024·河南信阳·二模）“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)野兔一次跳跃的最远水平距离为2.8m，最大竖直高度为0.98m，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围） (2)若在野兔起跳点2米处有一个高度为0.65米的树桩，请问野兔是否能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演? 【答案】(1) (2)野兔能成功越过木桩． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，结合“野兔一次跳跃的最远水平距离为2.8m，最大竖直高度为0.98m，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，”得出，以及，，得出对称轴为直线，结合最大竖直高度为0.98m，得顶点坐标为，再设，代入化简计算，即可作答． （2）依题意，代入，因为，则比较得出答案，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，由，和，可知， 对称轴为直线． ∴当时，y有最大值0.98． 即顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为． 由题知函数图象过原点， 把，代入，得， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）解：依题意，将代入， 得． ∵， ∴野兔能成功越过木桩． 4．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）窑洞（如图1）是黄土高原的产物，是陕北地方劳动人民的象征，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息，它除了坚固及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点.小明家的窑洞（如图2）的门窗上面部分可以看成一个抛物线，下面部分是矩形，已知矩形的长，宽，门窗最高点D与地面垂直距离为，以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，小明想对家里的窑洞门窗进行装饰，准备在门窗上面的抛物线上悬挂两个灯笼，使它们离地面的高度相等，且均为，请求出两个灯笼的水平距离.（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）由题意知拋物线顶点D坐标，设二次函数解析式为：，把代入求解； （2）当时计算对应的横坐标，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意知拋物线顶点D坐标， 则抛物线的函数表达式为：， 把代入得：， ， ； （2）由题意知：， 解得，  ，             两灯笼的水平距离：米． 5．（2024·河南周口·三模）水花消失术一直是跳水比赛的热门话题．当一名运动员在10米跳台进行跳水时，其身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线．如图，这是一名运动员的运行路线图，O为起跳点，A为入水点．以O为原点，建立平面直角坐标系，其高度与离起跳点O的水平距离之间的函数关系如图所示．当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员达到最高点，当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员离水面的高度为． (1)求抛物线的表达式，并求该运动员离水面的最大高度． (2)当运动员完成所有的动作，入水时必须伸直手臂，垂直入水，使溅起的水花尽量小一些，一般情况下，当运动员离水面高度不小于时已调整好垂直姿势入水，则压水花成功．当该运动员离起跳点O的水平距离为时，已调整好垂直姿势入水，问该运动员是否成功压住水花，并说明理由． 【答案】(1)，． (2)该运动员能成功压住水花．理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的表达式为，把和代入，进行解方程，即可作答． （2）把代入，解出，结合距离为，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题得对称轴为直线，设抛物线的表达式为， 当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员离水面的距离为，所以抛物线经过点， 把和代入， 得解得 抛物线的表达式为． 该运动员离水面的最大距离为． （2）解：该运动员能成功压住水花． 理由：由（1）可知，当时， 所以该运动员离水面的距离为，故该运动员能成功压住水花． 【变式训练1 图形问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级下·四川达州·期中）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，求矩形花园的最大面积． 【答案】最大面积为144． 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的实际应用，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据条件设长为x，宽为，然后表示出矩形面积，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设长为x，宽为 面积为． ∵ ∴二次函数开口向下， ∴当时，最大面积为144． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知正方形的周长是C厘米，面积是S平方厘米． (1)求S关于C的函数关系式； (2)当平方厘米，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)正方形的边长为厘米． 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）由正方形周长求出边长，然后求出面积的表达式； （2）当，求出边长． 【详解】（1）解：因为正方形的周长是C厘米， 所以边长为厘米， 所以； （2）解：当平方厘米，代入得， ，即， 所以边长为厘米， 所以正方形的边长为厘米． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式． （1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案； （2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形， 在中，，，， ∴ ； （2）解：正方形的面积为：， ∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 4．（2024·新疆吐鲁番·三模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)时，花园的面积能达到 (3)时，的最大值为 【分析】对于（1），先表示，再根据面积公式求出函数关系式，然后确定自变量的取值范围； 对于（2），令，求出解即可； 对于（3），先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：由题意可知为米，则 ∴ 因为墙长. ∴， 自变量的取值范围是； （2）此花园面积能达到，理由如下：， 解得（舍），， 时，花园的面积能达到 ； （3）， ∵，， 当随的增大而减小， ∴时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程，求二次函数的极值，确定自变量的取值范围是解题的关键． 5．（2024·山西运城·三模）阅读与思考 下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划利用一张如图1所示的的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题． 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大． (1)当_________时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________ (2)请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围． (3)在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 【答案】(1)5；2000 (2)， (3)函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等 【分析】本题考查数形结合以及正方体面积，读懂题意是解答本题的关键． （1）根据函数图象解答即可； （2）根据题意先得出底面边长，再解答即可； （3）根据题意结合数学观点解答即可． 【详解】（1）解：由函数图象可得：当时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为； （2）解：剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，纸箱底为正方形， ，； （3）解：根据题意可得：函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等． 【变式训练2 图形运动问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·四川凉山·期中）如图，在中，，动点P以的速度从A向B移动（不与B重合），动点Q以的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问经过几秒后，四边形的面积最小？并求出最小值. 【答案】当经过时，S取得最小值，最小值为． 【分析】根据等量关系“四边形的面积的面积的面积”列出函数关系求最小值即可． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为，四边形的面积为， 则有： ． ∵， ∴当时，S取得最小值，最小值为． 【点睛】本题考查动点问题与二次函数的最值问题，根据四边形的面积等于两个三角形的面积之差列出等式，转化为二次函数最值问题是解题的关键． 2．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）如图所示，中，，点P从点A开始沿边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒P、Q之间距离等于cm？ 【答案】经过秒或2秒P、Q之间距离等于cm 【分析】设经过x秒钟，P、Q之间距离等于cm，根据点P从A点开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，表示出和的长可列方程求解． 【详解】解：设经过x秒P、Q之间距离等于cm， 可得：， 整理得， 解得：，． 答：经过秒或2秒P、Q之间距离等于cm 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语得出等量关系是解决问题的关键． 3．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 【答案】(1)； (2)当秒时，S有最小值． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先表示出第t秒钟时的长，根据三角形的面积公式即可得到的面积的函数关系式，再用矩形的面积减去的面积即可得到结果； （2）先把配方为顶点式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：第t秒钟时，，故，， 故． ∵． ∴； （2）解：， ∵， ∴当秒时，S有最小值． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动，如果点，分别从点，同时出发，    (1)写出的面积关于出发时间的函数解析式及的取值范围； (2)四边形的面积随出发时间如何变化？写出函数解析式及的取值范围． 【答案】(1) (2)四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化， 【分析】（1）根据题意，用表示出线段、，求解即可； （2）四边形的面积为减去的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动， ∴，， ∴的面积关于出发时间的解析式为． （2）解：四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化， ． 【点睛】此题考查了二次函数与图形的应用，解题的关键是理解题意，用表示出线段、． 5．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，E、F分别是边长为的正方形的边上的点，，直线交的延长线于G，过线段上的一个动点H作垂足分别为M、N，设，矩形的面积为y．    (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，矩形的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】(1)（0<x≤4）； (2)，即点在点位置时，矩形有最大面积． 【分析】（1）由，得到，由，，得到，继而表示出，利用矩形的面积公式即可得解； （2）直接将（1）中的函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）四边形是正方形， ，，， ，     ，，     ，， ∵，则有，， 故， ； （2）将化为顶点式，即为， 点H在线段FG上运动，易得函数自变量取值范围为， 故可知当，即点在点位置时，矩形有最大面积． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，运用锐角三角得到线段长，利用面积公式得到函数表达式并运用二次函数的性质求解最值是解题的关键． 【变式训练3 拱桥问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·山西临汾·期末）图1是一座拱桥，拱桥的拱形呈抛物线形状，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，在拱桥中，水面宽12米，点是抛物线上一点． (1)求该拱桥抛物线的解析式． (2)若水位上涨1米，求上涨后拱桥内水面的宽度 【答案】(1)； (2)拱桥内水面的宽度为米． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，已知函数值求自变量的值，正确求得解析式是关键． （1）设交点式，再将点的坐标代入计算即可； （2）将代入关系式，求出x的值，进而得出答案. 【详解】（1）解：设该抛物线表达式为， ∵点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线表达式为； （2）解：当时，， 解得：，， 可知， 答：拱桥内水面的宽度为米． 2．（2024·陕西宝鸡·一模）悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，如图2，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求主索抛物线的函数表达式； (2)距离点P水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 【答案】(1)主索抛物线的函数表达式为 (2)四根吊索的总长度为 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）设抛物线的表达式为，根据待定系数法求解即可； （2）将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题． 【详解】（1）由图可知，点C的坐标为． 设该抛物线的函数表达式为． 又点P坐标为， ，     ， ∴主索抛物线的函数表达式为； （2）由题意，当时，， 此时吊索的长度为． 由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为． 当时，，此时吊索的长度为． 由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为． ， ∴四根吊索的总长度为 3．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）水清，岸绿，景美的沁阳滨河公园有一座美丽的抛物线形彩虹桥．某校综合实践活动小组通过测量，测得该桥跨度为40米，最高点到地面的距离为6米，支撑桥的是一些等距立柱．    (1)按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)若两根支撑柱，的高度均为4米，求这两根支撑柱之间的水平距离． 【答案】(1) (2)m 【分析】 本题考查了二次函数的应用，运用二次函数解决实际问题建立坐标系得出点的坐标是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，解方程求出值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为： 将代入解析式， 得： 解得： 该抛物线的解析式为：． （2）令，有解得： 这两根立柱之间的距离是． 4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图1是汝南北城古桥，斑驳的桥面上书写着历史的痕迹．古桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．    (1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式（无需写出取值范围）； (2)一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】(1)； (2)工人不会碰到头，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键． （1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点，先设抛物线的顶点式，再根据图象过原点，求出的值即可； （2）先求出工人距原点的距离，再把距离代入函数解析式求出的值，然后和1.68比较即可． 【详解】（1）解：如图②，由题意得：水面宽是，桥拱顶点到水面的距离是， 结合函数图象可知，顶点，点， 设二次函数的表达式为， 将点代入函数表达式， 解得：， 二次函数的表达式为， 即； （2）解：工人不会碰到头，理由如下： 小船距点，小船宽，工人直立在小船中间， 由题意得：工人距点距离为， 将代入， 解得： ， 此时工人不会碰到头． 5．（2024·贵州·模拟预测）“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 【答案】(1)； (2)支柱的长度是米； (3)不能并排行驶这样的三辆汽车，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）根据题目可知．，的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解； （2）设点的坐标为可求出支柱的长度； （3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，作垂直交抛物线于，求出则可求解． 【详解】（1）解：根据题目条件，、、的坐标分别是、、． 将、的坐标代入，得 解得，． 所以抛物线的表达式是； （2）解：可设，于是． 从而支柱的长度是米； （3）解：设是隔离带的宽，是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则点坐标是， 过点作垂直交抛物线于，则， 根据抛物线的特点，可知一条行车道不能并排行驶这样的三辆汽车． 【变式训练4 销售问题(实际问题与二次函数)】 1．（2024·甘肃临夏·一模）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？ 【答案】定价为115元利润最大 【分析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 本题是营销问题，基本等量关系：利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：依题意得： 整理得：． ， 当时，二次函数有最大值7225， 定价是115元时，利润最大． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）我市某商场根据民众健康要代理销售某种进价为600元/台的家用“空气清洁器”．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台． (1)试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式； (2)请计算当售价x（元台）定为多少时，该商场每月销售这种“空气清洁器”所获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价x定为1000元时，所获得的利润W最大，最大利润是80000元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台”，进行列式化简，即可求解； （2）结合（1）以及“进价为600元/台”条件，正确列式计算，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， 答：月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式为； （2）解：由题意得： ， ∵，故函数有最大值， 当时，, 答：当售价定为1000元时，所获得的利润W（元）最大，最大利润是80000元． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段图象． (1)当时，求出此时y与x的函数关系式； (2)求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 【答案】(1) (2)该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用—销售盈利问题，待定系数法进行求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）先根据利润等于单件利润乘上数量，得，根据二次函数的性质，即开口向下，当，有最小值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设y与x的函数关系式为 在时，经过， 则有 解得 ∴； （2）解：设利润为，依题意 当时，， ∵，随的增大而增大， 当时，有最大值，且为； 当，得 ∵ ∴开口向下，当， 有最小值， 且为 ∵ ∴该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 4．（23-24九年级下·广东茂名·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． (1)求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式：（不需要求自变量取值范围） (2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ (3)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为70元 (3)80元 【分析】 本题二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键． （1）根据销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，列出函数关系式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量列出一元二次方程进行求解即可； （3）设总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）由题意，得： 解得：或； ∵使顾客获得更多的实惠， ∴； 答：销售单价应定为70元． （3）设总利润为，由题意，得：， ∴， ∴当时，有最大值为元； 答：为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为，当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元． (1)求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式； (2)若A、B两城生产这批产品的总成本的和为w（万元），求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式； (3)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件． 【答案】(1) (2) (3)A城生产20件，B城生产80件 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可直接进行代入求解； （2）由（1）及题意可直接进行求解； （3）由（2）及根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴； （2）解：根据题意得：， ∴w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式为； （3）解：∵， ∵， ∴当时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时， 答：A城生产20件，B城生产80件． 【变式训练5 投球问题(实际问题与二次函数)】 1．（2024·甘肃临夏·一模）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？ 【答案】定价为115元利润最大 【分析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 本题是营销问题，基本等量关系：利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：依题意得： 整理得：． ， 当时，二次函数有最大值7225， 定价是115元时，利润最大． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）我市某商场根据民众健康要代理销售某种进价为600元/台的家用“空气清洁器”．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台． (1)试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式； (2)请计算当售价x（元台）定为多少时，该商场每月销售这种“空气清洁器”所获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价x定为1000元时，所获得的利润W最大，最大利润是80000元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台”，进行列式化简，即可求解； （2）结合（1）以及“进价为600元/台”条件，正确列式计算，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， 答：月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式为； （2）解：由题意得： ， ∵，故函数有最大值， 当时，, 答：当售价定为1000元时，所获得的利润W（元）最大，最大利润是80000元． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段图象． (1)当时，求出此时y与x的函数关系式； (2)求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 【答案】(1) (2)该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用—销售盈利问题，待定系数法进行求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）先根据利润等于单件利润乘上数量，得，根据二次函数的性质，即开口向下，当，有最小值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设y与x的函数关系式为 在时，经过， 则有 解得 ∴； （2）解：设利润为，依题意 当时，， ∵，随的增大而增大， 当时，有最大值，且为； 当，得 ∵ ∴开口向下，当， 有最小值， 且为 ∵ ∴该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 4．（23-24九年级下·广东茂名·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． (1)求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式：（不需要求自变量取值范围） (2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ (3)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为70元 (3)80元 【分析】 本题二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键． （1）根据销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，列出函数关系式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量列出一元二次方程进行求解即可； （3）设总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）由题意，得： 解得：或； ∵使顾客获得更多的实惠， ∴； 答：销售单价应定为70元． （3）设总利润为，由题意，得：， ∴， ∴当时，有最大值为元； 答：为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为，当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元． (1)求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式； (2)若A、B两城生产这批产品的总成本的和为w（万元），求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式； (3)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件． 【答案】(1) (2) (3)A城生产20件，B城生产80件 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可直接进行代入求解； （2）由（1）及题意可直接进行求解； （3）由（2）及根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴； （2）解：根据题意得：， ∴w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式为； （3）解：∵， ∵， ∴当时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时， 答：A城生产20件，B城生产80件． 【变式训练6 喷水问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）某幢建筑物，从二米高的窗口A用水管向外喷水（米），喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如图，如果抛物线的最高点M离墙2米，离地面12米，求水流落地点B到墙的距离． 【答案】5米 【分析】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．设抛物线的顶点式求解析式是解题关键．由题意可以知道，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出x的值，这样就可以求出的值． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，， 解得：，， 因为点B在x的正半轴，故， 所以水流落地点B离墙的距离是5米． 2．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）从某幢建筑物高的窗口处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点离墙，离地面．求水的落地点与点的距离． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用；由题意可知顶点，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出的值，这样就可以求出的值． 【详解】解：依题意，顶点， 设抛物线的解析式为，将点代入，得 ， ， 抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：舍去，， ∴，即水的落地点与点的距离为． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，某幢建筑物从米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离是多少米？ 【答案】3米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得顶点坐标为，则可把抛物线解析式设为顶点式，再利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出当时，x的值，据此可得答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得． ∴抛物线的解析式为：． 当时，则，解得：（舍去），． 答：水流下落点B离墙的距离是3米． 4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）2023年11月23日，第十批搭载着25位在韩中国人民志愿军烈士遗骸及相关遗物的空军专机运飞机从韩国仁川起飞，进入中国领空后，空军两架歼战斗机护航，向志愿军烈士致以崇高敬意．11时32分，专机缓缓降落在桃仙国际机场，机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，如图①，在这次“过水门”仪式中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的一条抛物线的一部分．如图②，两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点F处相遇，此时相遇点F距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，飞机从水柱抛物线的正下方经过． (1)求“过水门”水柱抛物线的解析式； (2)飞机的尾翼长16米，当飞机尾翼刚好经过水柱正下方时，尾翼与抛物线的最高点的距离为1米，求此时尾翼右端（如图所示）与水柱的水平距离为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】此题考查二次函数的应用，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）由题意得，，设抛物线解析式为，把点坐标代入解析式求出即可； (2)根据题意求出，令，解方程求出，再求即可． 【详解】（1）解：由题意得米， ， 米， ∴，， 设抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴过水门”水柱抛物线的解析式； （2）解：∵米，米， ∴米， 当时，， 解得， ∴米, ∵米, ∴米, ∴(米)。 即尾翼右端 (如图所示) 与水柱的水平距离为米． 5．（23-24九年级上·河南商丘·期末）要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为处达到最高，且最高为，水柱落地处离广场中央，建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)求水管的长度； (3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？ 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是： （1）根据题意和函数图象可以求得该抛物线的解析式； （2）将代入（1）中的函数解析式即可解答本题； （3）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值，再根据，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：设， 点在此抛物线上， ，得， 即抛物线的解析式为； （2）当时，， 答：水管的长度是； （3）当时， ， 解得，，（舍去）， 当，才不会淋湿衣裳． 【变式训练7 增长率问题(实际问题与次函数)】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 【答案】，y是x的函数 【分析】根据题意可得一年后的产量是，再经过一年后的产量是，由此求解即可． 【详解】解：这种产品的原产量是，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量， 即① ①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数． 【电锯】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍． 2．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【答案】(1)5% (2)能突破，理由见解析 【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论． 【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%； （2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元， 理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元）， ∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【答案】(1)； (2)40米． 【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为； （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得 ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 4．（2023·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【答案】（1）20%；（2）6125000（元） 【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可； （2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值． 【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0， 由题意得：， 解得：x=0.2或x=-2.2（舍）， 答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%； （2）设多改造a户，最高投入费用为w元， 由题意得：， ∵a=-50，抛物线开口向下， ∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元， 答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解． 5．（2023·江苏宿迁·一模）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度/℃ …… －4 －2 0 2 4 4.5 …… 植物每天高度增长量/mm …… 41 49 49 41 25 19.75 …… 这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种． （1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式； （2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果． 【答案】（1）；（2）－1℃；（3）． 【详解】解：（1）选择二次函数，设， 得，解得 ∴关于的函数关系式是． （2）由（1），得， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为50． 即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大． （3）由题意得：y＞25， 即：-x2-2x+49＞25， ∴． 【变式训练8 其他问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．设每平方米种植x株（x为整数，且） (1)平均每株产量为__________千克（用x的代数式表示）； (2)已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄，问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【答案】(1) (2)每平方米种植6株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产量为312千克． 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键需要找出和存在的关系，以及熟练掌握顶点式二次函数表达式． （1）根据题意，找出数量关系式，即可求解； （2）利用总产量平均的产量种植的株数，列关于的二次函数，将其转化为顶点式，根据为整数，即可求出种多少株最大产量，以及最大产量多少. 【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.8千克， ∴平均每株产量为， 故答案为：； （2）解：设每平方米番茄产量为千克， 根据题意得： ∵，为整数， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴（千克）， 答：每平方米种植6株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产量为312千克． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）为了落实劳动教育，某学校邀请专家指导学生进行农作物的种植，经过试验，其平均单株产量千克与每平方米种植的株树数（，为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为5千克：以同样的栽培条件，每平方米种植的株树每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求与的函数表达式； (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【答案】(1) (2)每平方米种植6株时，能获得最大的产量，最大产量为18千克 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式； （2）设每平方米产量为w千克，由产量每平方米种植株数单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴（，且x为整数）； （2）解：设每平方米产量为w千克， ． ∴当时，w有最大值18千克． 答：每平方米种植6株时，能获得最大的产量，最大产量为18千克． 3．（23-24九年级上·山东滨州·期中）如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)写出滚动的距离S（单位：）关于滚动的时间t（单位：）的函数解析式．（提示：本题中，距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） (2)如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 【答案】(1)； (2)钢球从斜面顶端滚到底端用． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）先求出，然后得到，再由即可得到答案； （2）根据（1）计算的结果把代入求解即可． 【详解】（1）解：由题知， ． ， 即． （2）把代入中，得． 解得，（舍去）． ∴钢球从斜面顶端滚到底端用． 4．（23-24九年级上·山东青岛·期末）公路上正在行驶的甲车，发现前方30m处沿同一方向行驶的乙车后，为了行驶安全，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． (1)当甲车减速至6m/s时，它行驶的路程是多少？ (2)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，当时间t在什么范围时，两车间的距离不超过米？ 【答案】(1)当甲车减速至时，它行驶的路程是米； (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式及配方法求二次函数最值是解题关键． （1）二次函数图象过原点，可设二次函数解析式为，一次函数解析式为，利用待定系数法求出各系数，再将代入解析式求值即可； （2）乙车行驶速度是，时间是，行驶路程为，设两车之间的距离为，则，依据两车间的距离不超过25.5米列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：二次函数图象过原点，可设二次函数解析式为， 代入，，可得： ， 解得：， 即二次函数解析式为：； 设一次函数解析式为， 代入，得： ， 解得：， 即一次函数解析式为：， 当时，代入一次函数解析式，解得， 此时，， 当甲车减速至时，它行驶的路程是米； （2）解：乙车行驶速度是，时间是，行驶路程为， 设甲、乙之间的距离为（单位：米）， 则 ， ， 解得：， ． 5．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）某中学航模组设计并制作了一种火箭模型，已知此火箭模型升空的高度与飞行时间满足函数表达式． (1)求火箭模型升空的最大高度； (2)求点火后，第几s火箭模型升空的高度为； (3)求火箭模型发射塔的高度． 【答案】(1)火箭模型升空的最大高度为米； (2)求点火后，第和火箭模型升空的高度为 (3)火箭模型发射塔的高度为 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）化为顶点式，进而即可求解； （2）将，代入，解方程，即可求解； （3）令，解得：，即可求解． 【详解】（1）解： ∴当时，取得最大值为， 答：火箭模型升空的最大高度为米； （2）解：将，代入， 即， 解得：或， 答：第和火箭模型升空的高度为； （3）解：令，解得：， 答：火箭模型发射塔的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$