第三部分 21.2.1 配方法-【假期成才路·暑假】2024年八年级数学假期总复习与衔接（人教版）

第三部分九年级上册新课预习 的等式，从而求出待定字母或与此字母有关的 3.方程(m+2)xm+3m.x+1=0是关于x的一 代数式的值，这种方法叫根的定义法 元二次方程，则m的取值是 A.m≠±2 B.m=2 旬主网陈上 C.m=-2 D.m=±2 1.下列方程中，属于一元二次方程的是( 4.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x十 A.x2+2x=x2-1 a2-1=0有一个根为x=0,则a的值为 B是+-2=0 5.已知x=a是一元二次方程.x2-2024.x-3=0 C.ax2+bx+c=0 的-个根，求a2-2023a027-1的值 D.(3.x-1)2=2(x-1) 2.方程5.x2=6.x-8化为一元二次方程的一般 形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分 别为 ( A.5,6,-8 B.5,-6.-8 C.5,-6,8 D.6,5,-8 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 3.降次思想：一元二次方程一般通过降次转化 第1课时 直接开平方法 为两个一元一次方程来解.直接开平方法是降次的 种方法 基础净 典例探宽 1.直接开平方法：如果x2=a(a≥0)，那么 x=士a,这种方法叫做直接开平方法，其实质 ★考点1：直接开平方的条件 为求非负数（或可化为非负数）的平方根。 【例1】下列方程中，不能用直接开平方法 2.直接开平方法解一元二次方程的类 求解的是 A.x2-3=0 型有： B.(x-1)2-4=0 (1).x2=a(a≥0)，可得x1=√a,x2=-a; C.x2+2x=0 (2)(x十a)2=b(b≥0)，可得x1=-a+Vb, D.(x-1)2=(2x+1) x2=-a-√6： 解析：利用平方根的定义能对A、B、D中方 (3)(a.x+b)2=n(a≠0，n≥0)，可得1 程直接开平方求得其根，但C中方程结构不符 nb.rn-b 合直接开平方法的要求. 【规律与方法】直接开平方法的实质是求 41 假期成才路·八年级数学(J) 非负数的平方根. ★考点2：用直接开平方法解一元二次方程 旬主网练 【例2】用直接开平方法解下列方程. 1.下列方程中，不能用直接开平方法求解的是 (1)x2-16=0:(2)3.x2-27=0. (3)(x-2)2=9:(4)(2y-3)2=16: A.2.x2-9=0 (5)4(.x-2)2-64=0: B.x2=2x (6)4(3.x-1)2-9(3.x+1)2=0. C.(2x-1)2-4=0 解：(1)移项，得x2=16,根据平方根的定 D.(x+3)2=9(2x-1)月 义，得x=士4，即x1=4,x2=-4 2.方程2x2=1的解为 ( (2)移项，得3.x2=27,两边同除以3，得x Ax=士号 Bx=土2 =9,根据平方根的定义，得x=士3，即=3,2 =-3. D.x=2 (3)根据平方根的定义，得x一2=士3， 3.如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，则 即x1=5,x2=-1. 的取值范围是 (4)根据平方根的定义，得2y一3=±4， 4.用配方法将方程x2-4x一2=0变形为 即n一名为=2 (x-2)2=m,则m= 5.用直接开平方法解下列方程： (5)移项，得4(x-2)=64, (2)3.x2=0: ∴.(x-2)2=16. x-2=士4， ∴.01=6，x2=-2 (6)移项，得4(3.x-1)2=9(3x十1)2， 即[2(3.x-1)]2=[3(3.x+1)]2, ∴.2(3.x-1)=±3(3.x+1). (3)(2x-2)2=6: .3.x+5=0或15.x+1=0, ==品 【规律与方法】如果一元二次方程的一边 是未知数的平方，另一边是一个非负数的常数， (4)(2x-1)2=(1+√2)2. 那么可以用直接开平方法求解；如果一元二次 方程的一边是含未知数的代数式的平方，另一 边也是一个含同一未知数的代数式的平方，同 样可以用直接开平方法求解. ·42· 第三部分九年级上册新课预习 ∴.x1=2,x2=-8. 第2课时 配方法 (2)移项，得2x2-3.x=一1， 基础净 两边同时除以2，得x2-3 2 1.通过配成完全平方形式来解一元二次方 配方，得2是+()=是+(-。 程的方法叫做配方法。 2.用配方法解一元二次方程a.x2+bx十c 0(a≠0)的步骤： 一化：方程两边同时除以二次项系数，将二 次项系数化为1： 2 二移：常数项右移： 【规律与方法】(1)“配方”即配一次项系 三配：方程两边都加上一次项系数一半的 数一半的平方，对一次项系数为偶数的情况尤 平方，将原方程化为(x十m)2=n的形式： 其适合：(2)完全平方式中常数项的符号与原一 四解：开平方求解。 次项系数的符号是一致的，如十x+} 典例爆究上 e+r-是x+品=(- ★考点1：配方使二次三项式成为完全平 ★考点3：用配方法判断代数式值的符号 方式 【例3】试说明无论m为何值时，关于x 【例1】在以下空格中填上适当式子使等 的方程(m2-8m+17)x2+2m.x+1=0都是一 式成立： 元二次方程 (1)x2+10.x+( )=(x+ 02： 解析：根据题意，需证明m2一8m十17≠0. (2).x2-3 + 利用配方法可解决此问题」 解：因为m2-8m+17=m2-8m+16-16 (3)x2+m.x+ =(x+ +17=(m一4)2+1≥1≠0，所以无论m为何值， 【规律与方法】通过配方使一个式子成为 该方程都是一元二次方程。 完全平方式的关键是当二次项系数为1，在方程 【规律与方法】对二次项系数为1的二次 两边都加上一次项系数一半的平方. 三项式配方时，在加上一次项系数一半的平方 ★考点2：用配方法解一元二次方程 时，还必须减去一次项系数一半的平方 【例2】用配方法解方程： (1)x2+6.x-16-0:(2)2.x2-3x+1=0. 有主网踝 解：(1)移项，得x2+6x=16 1.一元二次方程x2一6x一5=0配方可变形为 配方，得2+6x+(}=16+(, () 即(x+3)2=25,.x+3=±5， A.(x-3)2=14 B.(x-3)2=4 即x+3=5或x+3=-5, C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4 ·43· 假期成才路·八年级数学(R) 2.用配方法解下列方程时，配方有错误的是 (3)4y2-4y+1=25: ( A.2m2+m-1=0化为m+)=是 B.x2-6.x+4=0化为(x-3)2=5 C.3y2-4y+1=0化为（号）=司 (4)4.x2-4x+1=9. D2x-3-2-0化为-)-器 3.一元二次方程a2-4a一7=0的解为 4.若x2+u.x+25是完全平方式，则a= 21.2.2公式法 5.用配方法解方程： (3)△<0台方程无实数根， 2-号x-1=0: 注意：(1)准确找出a,b,c,方程必须化为一 元二次方程的一般形式：(2)此判别式只适用于 一元二次方程，若无法确定是否为一元二次方 程，则应分类讨论 3.当△≥0时，方程a.x2+bx+c=0(a≠0) 的实数根可写为x-二b生ac,这个式子 2a (2)x2-4.x=-3: 叫做一元二次方程az2+bx十c=0的求根公式. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接 代入求根公式，这种方法叫做公式法 4.用公式法解一元二次方程的步骤是： 基础图净 (1)化成一般形式： (2)找出系数a,b,c的值： 1.一元二次方程a.x2十bx+c=0(a≠0，a, (3)计算？-4ac的值： b,c都为常数)的根的判别式：把式子子一4ac叫 (4)当2-4ac≥0时，用公式求出原方程 做方程a.x2+bx十c=0(a≠0)根的判别式，通常 用希腊字母“△”表示，即△=一4ac. 的根。 2.一元二次方程的根与根的判别式的 典例探究 关系： (1)△>0台方程有两个不相等的实数根 ★考点1：利用根的判别式判断一元二次方程 △ (2)△=0曰方程有两个相等的实数根 根的情况 ≥0台方程有两个实数根： 【例1】不解方程，判断下列一元二次方程根 ·44参考答案 19.(1)这辆汽车的往、返速度不相同，理由如下： 这辆汽车从甲地到乙地的速度为120÷2=60(km/h), 第三部分 九年级上册新课预习 这辆汽车从乙地返回甲地的速度为120÷(5一2.6) =50(km/h). 第二十一章一元二次方程 .60>50. 这辆汽车的往，返速度不相同： 21.1一元二次方程 (2)当0≤x≤2时，设y与x的函数关系式为y= 自主训练 kx+b(k≠0) 1.D2.C3.B4.-1 b=0 将(0,0)，(2,120)代入y=kx+b得： 5.解：由题意，将x=a代入方程x2一2024x一3=0， 2k+b=120 得a2-2024a-3=0, b=0 解得： .a2-3=2024a,a2-2024a=3, 1k=60 ∴.当0≤x≤2时，y与x的函数关系式为y=60x, .a2-2023a- 2-3-1 2024 若y=120-60=60,则60.x=60, =a2-2023a 2024a-1 解得：x=1: 2024 当2.6≤x≤5时，设y与x的函数关系式为y= =a2-2023a-a-1, m.x十n(m≠0)， =a2-2024a-1 将(2.6,120)，(5,0)代人y=m.x十n =2 得，/26m+n=120 ∴a2-2023a-a3 2024 一1的值为2. 15m+b=0 解得： m=-50 21.2解一元二次方程 n=250· .当2.6≤x≤5时y与x的函数关系式为 21.2.1配方法 y=-50.x+250, 若y=120-60=60,则一50.x+250=60, 第1深时直接开平方法 解得：x=3.8. 自主训练 答：这辆汽车从甲地出发1小时或3.8小时时离乙 1.B2.B3.m>04.6 地的路程为60km. 5.(1).m= 6-6 20.解：(1)有5种方案： 6 (2)=x2=0 方案1：M型号40套，N型号40套： (3)x1=√2十3，=√2一√3 方案2：M型号39套，N型号41套； 方案3：M型号38套，V型号42套； -一2 (40)=1+2 2 方案4：M型号37套，N型号43套： 第2课时配方法 方案5：M型号36套，N型号44套： 自主训练 (2)由题意，得 1.A2.D3.a1=2+1Π，a2=2-1Π4.±10 y=45(80-x)+50.x=5.x+3600. 5.(1).=而+1 3 =二0+1 .k=5>0, 3 (2).=3,.2=1 y随x的增大而增大 (3)y1=3,2=-2(4).x1=2,.x=-1 .当x=44时，y大=3820元. 21.2.2公式法 .选择方案5所获利润最大. 21.解：(1)由题意，得 自主训练 小明骑车的速度为：20÷1=20km/时， 1.C2.D3.2-9817 9+179-17 小明在南亚所游玩的时间为：2一1=1小时 (2)妈妈的速度为60km/时. 4.一1或2 直线CD的解析式为y=60x一110. 5.(1)x1=1十2，x=1-√② ·59·