精品解析：安徽省马鞍山中加双语学校2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题

马鞍山中加双语学校2023－2024学年高一上学期第一次月考 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2．请将答案填写在答题卡上，写在试卷和草稿纸上无效 第Ⅰ卷（客观题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分解因式化简集合，利用集合的交集定义计算可得答案． 【详解】， 则 故选：C 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次方程的解法，属于基础题． 2. 下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A. 矩形的两条对角线垂直 B. 对任意a，b，都有a2 + b2 ≥ 2（a﹣b﹣1） C. x， |x| + x = 0 D. 至少有一个x，使得x2 ≤ 2成立 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可. 【详解】A选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A错误. C,D选项是特称量词命题，故错误. B选项是全称量词命题，用反证法证明， 因为 所以对,,故B正确. 故选:B. 3. 集合，则的真子集的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先解出集合，再根据集合中的描述写出集合，即可得到真子集的个数. 【详解】解不等式得， 所以， 所以， 所以的真子集有个. 故选：C 4. 若为实数，且，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD. 【详解】因为，所以，，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 当时，，故D错误. 故选：A 5. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数特征得到不等式，求出且，得到定义域. 【详解】由题意得且，解得且， 故的定义域为. 故选：B 6. 已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据不等式的解集得出，求出解集即可． 【详解】解：一元二次不等式的解集为或， 则的解集为， 则可化为； 解得， 所以所求不等式的解集为． 故选：C． 7. 已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】，, ，， 令， ， 当且仅当，即时取等号，此时， 的最大值为. 故选：D. 8. 已知时，，若，且，满足：，对任意的，均有成立，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解方程得到，然后将恒成立转化为，最后求最值即可. 【详解】由得， 即， 即， 因为，，所以，即， 可转化为， 因为，所以， 所以，故实数的最大值为. 故选：A. 二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的，错选0分，漏选2分，全部选对5分 9. 下列各组函数中是同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据函数的三要素：定义域、值域、对应关系即可求解. 【详解】对于A，与，两函数的定义域为， 对应关系相同，所以两个函数是相同函数，故A可选； 对于B，的定义域为，函数 的定义域为，所以两函数不是同一函数，故B不选； 对于C，的定义域为，的 定义域为，两函数的定义域不同，故C不选； 对于D，与，两函数的定义域为， 对应关系相同，两函数是同一函数，故D可选. 故选：AD 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是 B. 最小值为 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D. 【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，， 所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵， 即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误． 故选：BC． 11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 12. 已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项. 【详解】当时，，即，此时，符合题意， 当时，，即， 由可得或， 因为，所以或，可得或， 因为，所以， 所以实数的取值范围为或， 所以选项ABC正确，选项D不正确； 故选：ABC. 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 命题.写出该命题的否定______． 【答案】，使得 【解析】 【分析】利用命题的否定，写出结果即可. 【详解】命题，则该命题的否定是：，使得， 故答案为：，使得 14. 在即将举行的中加秋季运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有21人，报名径赛的学生有18人，田赛和径赛都报名的有5人，另外还有4个人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共有学生人数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设出集合，结合集合的运算，即可求解. 【详解】设该班级的总人数构成全集，报名田赛的学生构成集合，报名径赛的学生构成集合，既不报名田赛也不报名径赛构成集合， 则， 则人. 故答案为：. 15. 已知，，当时，恒成立，则的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题中条件，先讨论，根据不等式恒成立求出；再讨论，根据不等式恒成立，求出，结合题意，得到，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为， （1）当时，；不等式恒成立，可化为在上恒成立，即在上恒成立， 因为在上显然单调递增，所以， 因此只需； （2）当时，；不等式恒成立，可化为在上恒成立，即在上恒成立， 因为在上显然单调递增，所以， 因此只需； 综上，只能， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 16. 若不等式的解集为，不等式解集为，且，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】不等式转化为，求出不等式的解集，从而得到集合，根据，可得，通过讨论的范围，求出，从而确定的取值范围. 【详解】由题可知，因为，所以，解得：，即， 因为，所以， 当时，，则，即，不符合题意，舍去； 当时，不等式转化为，解得：，所以，因为，则，解得：； 当时，不等式转化为， 若，则，不符合题意，舍去； 当，则，不符合题意，舍去； 当，则，不符合题意，舍去； 综上：，所以的取值范围为， 故答案为： 四．解答题（共6题，70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知集合，. （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先求出集合A，B和，再利用交集运算即得结果； （2）先根据充分不必要条件得到集合A，B的包含关系，再列关系计算即可. 【详解】（1）∵或，∴， 当时，，因此，； （2）∵是的充分不必要条件，∴，且， 又，或. ∴，解得. 因此，实数的取值范围是. 18. 已知关于的不等式， （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）将代入不等式，根据一元二次不等式的解法即可求解. （2）根据关于的不等式的解集为．又因为 ，利用判别式法求解. 【详解】（1）将代入不等式，可得，即 所以和1是方程的两个实数根， 所以不等式的解集为 即不等式的解集为． （2）因为关于的不等式的解集为． 因为 所以，解得， 故的取值范围为． 19. 已知命题，命题． （1）当为假命题时，求实数的取值范围； （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案； （2）利用分类讨论的解题思想，可得答案. 【小问1详解】 由为假命题，则为真命题， 令，开口向上，对称轴，易知 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，当为真命题时，；当为假命题时， 当为真命题时，，解得； 当为假命题时，.解得， 故当为真命题，为假命题时，； 当为假命题，为真命题时，； 所以和中有且只有一个是真命题时，或. 20. 已知函数 （1）若的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式，此时不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 因为的解集为，可得，解得， 所以，则， 因为，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的取值范围为. 【小问2详解】 解：由且，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 21. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】（1）米 （2）平方米 【解析】 【分析】（1）设草坪的宽为米，长为米，得到，列出不等式，求得的范围，进而求得宽的最大值； （2）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：设草坪的宽为米，长为米，由面积均为400平方米，可得， 因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以， 可得，解得， 又因为，所以，所以宽的最大值为米. 【小问2详解】 解：记整个的绿化面积为平方米， 由题意可得 （平方米） 当且仅当时，即米时，等号成立， 所以整个绿化面积的最小值为平方米. 22. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可； （2）根据二次函数的性质，结合一元二次方程根的判别式、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以， 所以 ， 所以关于的不等式的解集为； 【小问2详解】 当时，， 因为对于一切实数恒成立， 所以， 因为存在，使得成立， 所以，即，而所以有， 因为，， 所以， 当且仅当时取等号，即当取等号， 的最小值为 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系，以及利用基本不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山中加双语学校2023－2024学年高一上学期第一次月考 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息 2．请将答案填写在答题卡上，写在试卷和草稿纸上无效 第Ⅰ卷（客观题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A. 矩形的两条对角线垂直 B. 对任意a，b，都有a2 + b2 ≥ 2（a﹣b﹣1） C. x， |x| + x = 0 D. 至少有一个x，使得x2 ≤ 2成立 3. 集合，则的真子集的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 4. 若为实数，且，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 7. 已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知时，，若，且，满足：，对任意的，均有成立，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的，错选0分，漏选2分，全部选对5分 9. 下列各组函数中是同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是 B. 最小值为 C. 的最大值是 D. 的最小值是 11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 12. 已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　） A. B. C. D. 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 命题.写出该命题的否定______． 14. 在即将举行的中加秋季运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有21人，报名径赛的学生有18人，田赛和径赛都报名的有5人，另外还有4个人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共有学生人数为______． 15. 已知，，当时，恒成立，则的最小值是_____________． 16. 若不等式的解集为，不等式解集为，且，则的取值范围为______． 四．解答题（共6题，70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知集合，. （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 已知关于的不等式， （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求的取值范围． 19. 已知命题，命题． （1）当为假命题时，求实数的取值范围； （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 20. 已知函数 （1）若的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式． 21. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 22. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $