1.4.2充要条件课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2　充要条件 安徽淮南第四中学 2023.9 情 境 导 入 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭,时间到了,只有张三、李四准时赴约,王五打电话说:“临时有急事,不能去了.”主人听了,随口说了句:“该来的没有来.”张三听了脸色一沉,起来一声不吭地走了.主人愣了片刻,又道了句:“不该走的又走了.”李四听了大怒,拂袖而去. 问题　(1)张三为什么走了? (2)李四为什么走了?   知识点一　逆命题 　将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换,就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题. 1.“若x＞2,则x2-3x+2＞0”的逆命题是( ) A.若x2-3x+2＜0,则x≥2, B.若x≤2, x2-3x+2≤0 C. 若x2-3x+2≤0,则x≥2, D.若x2-3x+2＞0,则x＞2, 2.命题“如果a+b=0，那么a、b 互为相反数”的逆命题为____命题.（填 “真”或“假”） 真 知识点二 充要条件 命题真假 如果“若p ,则q ”和它的逆命题“若q,则p ”均是真命题 推出关系 既有p⇒q,又有q⇒p，记作_p⇔q 条件关系 p既是q 的充分条件，也是q 的必要条件 结论 p 是 q的__________条件，简称为______条件 充分必要 充要 对充要条件的两点说明 (1)p是q 的充要条件意味着“p成立，则q一定成立”；p不成立，则q一定 不成立. (2)p是q 的充要条件,q 也是p的充要条件 　1.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里? 提示:(1)p是q的充要条件说明p是条件,q是结论.(2)p的充要条件是q,说明q是条件,p是结论. 2.在△ABC中,AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 当B＝90°或C＝90时,△ABC为直角三角形,但不能推出AB2＋AC2＝BC2,故选A. 题型一 充要条件的判断 例1　判断下列各题中,p是 q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)p:｜x｜＝｜y｜,q:x3＝y3; 解　(1)因为｜x｜＝｜y｜时,x＝±y,不一定有x3＝y3,而x3＝y3时一定有x＝y,必有｜x｜＝｜y｜,所以p是q的必要不充分条件. (2)p:△ABC中,AB＞AC,q:△ABC中,∠C＞∠B; 解 由三角形中大边对大角,大角对大边的性质可知p是q的充要条件. (3)p:A⊆B,q:A∪B＝B; 解　若A⊆B,则一定有A∪B＝B,反之,若A∪B＝B,则一定有A⊆B,故p是q的充要条件. (4)p:两个三角形全等,q:两个三角形面积相等. 解　若两三角形全等,则面积一定相等,若两三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等即可),却不一定有两三角形全等,故p是q的充分不必要条件. 题型二 充要条件的证明 例2　求证:△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(这里a,b,c是△ABC的三边边长) 证明　必要性:因为△ABC是等边三角形,所以a＝b＝c, 所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2,所以必要性成立; 充分性:由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得, 2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc,即(a-b)2＋(b-c)2＋(c-a)2＝0,所以a＝b＝c,所以△ABC是等边三角形,所以充分性成立. 综上,△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc. 通性通法 充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真; (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的. 提醒　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向. 　证明:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0. 所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根. 设方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1, x2, 必要性:因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根,所以Δ＝b2-4ac＞0, 所以ac＜0. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0. 题型三 充分、必要及充要条件的应用 例3 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1＋m(m＞0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解　p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1＋m(m＞0). 因为p是q的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件, 即{x｜1-m≤x≤1＋m}⫋{x｜-2≤x≤10}, 又m＞0,所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3} 1.(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解　p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1＋m(m＞0). 因为p是q的充分不必要条件,设p代表的集合为A,q代表的集合为B, 所以A⫋B. 即实数m的取值范围为{m｜m≥9} 2.(变设问)本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. 解　p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1＋m(m＞0). 若p是q的充要条件, 方程组无解. 故不存在实数m,使得p是q的充要条件. 1.“x2＋(y-2)2＝0”是“x(y-2)＝0”的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由x2＋(y-2)2＝0,得x＝0且y＝2,x(y-2)＝0.反之,x(y-2)＝0,即x＝0或y＝2,x2＋(y-2)2＝0不一定成立.故选B. 2.设A,B,C是三个集合,则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 由A∩B＝A∩C,不一定有B＝C,反之,由B＝C,一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件.故选B. 3.(多选)使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的充分不必要条件是(　　) A.x≥0 B.x＜0或x＞2 C.x∈{-1,3,5} D.x≤0或x＞2 解析:　从集合的角度出发,在选项中判断哪个是题干的真子集,只有B,C满足题意,选项A为题干成立的既不充分也不必要条件,D为题干成立的充要条件. 由x∈B,可得x∈(A∪B);反之,因为A⊆B,A∪B＝B,所以由x∈(A∪B)可得x∈B,故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件. 5.实数a,b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A.ab＝0 B.ab＞0 C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2＞0 由“a,b中至少有一个不为零”可知,a,b都不为0,或a,b中有一个为0.选项A中,由ab＝0,可得a＝0或b＝0或a,b均为0,不满足条件. 选项B中,由ab＞0,可得a,b都不为0,不满足条件. 选项C中,由a2＋b2＝0,可得a＝b＝0,不满足条件. 选项D中,a2＋b2＞0⇔a,b中至少有一个不为零,满足条件. $$