10.2 事件的相互独立性-2023-2024学年高一数学教材配套教学精品课件（人教A版2019必修第二册)

10.2 事件的相互独立性 高一下学期 1 1、理解两个随机事件相互独立的概念； 2、掌握相互独立事件同时发生的概率计算公式，并能通过计算公式解决实际问题； 3、理解互斥事件与相互独立事件的区别. 重点：两个随机事件相互独立的概念 难点：通过计算公式求实际问题中的概率、互斥事件与相互独立事件的区别 学习目标 概率的性质 性质1 对任意的事件，都有____________ 性质2 必然事件的概率为___，不可能事件的概率为___， 即____________________. 性质3 如果事件与事件互斥，那么_______________. 推广 ___________________________________. 性质4 若与互为对立事件,则_________，_________. 性质5 如果，那么 性质6 设是任意两个事件，_____________________. 特例 1 0 复习回顾 探究1：下面两个随机试验各定义了一对随机事件和，你觉得事件发生与否会影响发生的概率吗？分别计算，你有何发现？ 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币， 设“第一枚硬币正面朝上”，“第二枚硬币反面朝上”. 试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差 异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设“第一次摸到球的标号小于3”，“第二次摸到球的标号小于3”. ●对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件发生与否不影响事件发生的概率. ●对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件发生与否也不影响事件发生的概率. 新知探究 解：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”， 则样本空间为，包含4个等可能的样本点. 而，，所以. 由古典概型概率计算公式，得，. 于是，积事件的概率恰好等于与的乘积. 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币， 设“第一枚硬币正面朝上”，“第二枚硬币反面朝上”. 复习回顾 试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差 异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设“第一次摸到球的标号小于3”， “第二次摸到球的标号小于3”. 解：样本空间为， 而， ， ， 所以，. 于是也有，积事件的概率恰好等于与的乘积. 新知探究 一、事件的相互独立性 1、定义：对任意两个事件与，如果成立，则称事件与相互独立，简称为独立. ●事件是否发生不影响事件发生的概率，事件是否发生不影响事件发生的概率，则事件与事件相互独立，从而有 ●相互独立的定义，既可以用来判断两个事件是否独立，也可以在相互独立的条件下求积事件的概率 ●公式变形：， ●容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立. 新知生成 例1：一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件与事件是否相互独立？ 解：因为样本空间，且， ， ， 所以 此时因此，事件与事件不独立. 典例精析 【2021年·新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”， 乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”， 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”， 则下列正确的是( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 B 习题演练 掷一枚骰子一次，判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件． (1)事件: “出现的点数为奇数”；事件:“出现的点数为偶数”. M＝{1,3,5}，N＝{2,4,6}，MN＝ϕ P(MN)≠P(M)P(N) M、N 互斥但不相互独立 M＝{2,4,6}，N＝{3,6}，MN＝{6} P(MN)=P(M)P(N) M、N 相互独立但不互斥 注：若P(A)>0，P(B)>0，则事件A、B相互独立与事件A、B互斥不能同时成立 (2)事件：“出现偶数点”；事件：“出现3点或6点”． 习题演练 探究2：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系，如果事件与事件相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例， 试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差 异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设“第一次摸到球的标号小于3”，“第二次摸到球的标号小于3”.验证与，与，与是否独立，你有何发现？ 新知生成 试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差 异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设“第一次摸到球的标号小于3”，“第二次摸到球的标号小于3”.验证与是否独立？ 验证？ 解：“第一次摸到球的标号小于3” “第二次摸到球的标号3” “第二次摸到球的标号3” 且与互斥 又与独立， 由事件的独立性定义，与相互独立. 自行验证与，与是否独立 新知探究 判断两个事件是否相互独立的方法 (1)定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件. (2)定量法：通过计算是否成立可以准确判断两个事件是否相互独立. (3)转化法：事件与事件是否相互独立，与事件与,与，与是否具有独立性可互相转化. 归纳总结 2、设样本空间含有等可能的样本点，且 请验证三个事件两两独立， 但. 教材P252 1、分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第1枚正面朝上”，“第2枚正面朝上”，“2枚硬币朝上的面相同”，中哪两个相互独立？ 解： 所以两两独立. 追问：吗？ 对于三个事件，若有， ， ， 且， 则三个事件相互独立 ＊三个事件两两独立不一定相互独立， 事件两两独立 新知生成 例2：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，求下列事件的概率： (1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶. 解：设“甲中靶”，“乙中靶”，则“甲脱靶”，“乙脱靶” 由于两个人射击结果互不影响，与相互独立，与，与都相互独立. 由已知可得，. (1)“两人都中靶”， (2)“恰好有一人中靶”，且与互斥， 典例精析 例2：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，求下列事件的概率： (1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶. 解：设“甲中靶”，“乙中靶”，则“甲脱靶”，“乙脱靶” 由于两个人射击结果互不影响，与相互独立，与，与都相互独立. 由已知可得，. (3)“两人都脱靶”， 典例精析 例2：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，求下列事件的概率： (1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶. 解：设“甲中靶”，“乙中靶”，则“甲脱靶”，“乙脱靶” 由于两个人射击结果互不影响，与相互独立，与，与都相互独立. 由已知可得，. (4)法1：“至少有一人中靶”，且与两两互斥， 所以 典例精析 例2：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，求下列事件的概率： (1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶. 解：设“甲中靶”，“乙中靶”，则“甲脱靶”，“乙脱靶” 由于两个人射击结果互不影响，与相互独立，与，与都相互独立. 由已知可得，. (4)法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”， 所以“至少有一人中靶”的概率为 典例精析 3、天气预报报道：元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3. 假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： (1)甲、乙两地都降雨的概率； (2)甲、乙两地都不降雨的概率； (3)至少一个地方降雨的概率 解：设事件A=“甲地降雨”，事件B=“乙地降雨”， 且，，事件彼此相互独立. (1) (2) (3) 教材P252 例3：甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两队活动中猜对3个成语的概率. 解：设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件， 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件. 根据独立性假定，得 设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则， 且与互斥，与，与分别相互独立， 所以 典例精析 练习：已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是　　　.  解析：事件“甲、乙、丙至少有一人解决该问题”的反面为“甲、乙、丙均不能解决该问题” ∴甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率为1－(1－0.5)(1－0.4)(1－0.3)=0.79 ∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率， ∴a≤0.79，∴a的最大值是0.79. 0.79 习题演练 练习：甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛.比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛.每场比赛实行三局两胜制，即最先赢得两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束.假定每场比赛、每局比赛结果互不影响. (1)若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为，求甲获得本场比赛胜利的概率； (2)若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为，，，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大. 解：设甲在第i局获胜为事件Ai（i＝1，2，3），事件B＝“甲获得本场比赛胜利”， 则B＝A1A2∪（A2A3）∪（A1A3）， 所以P（B）＝×＋××＋××＝. 习题演练 解：若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲与丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场， 此时，甲恰好连胜两场的概率P1＝××2＝； 若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场， 此时，甲恰好连胜两场的概率P2＝××2＝； 若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场， 此时，甲恰好连胜两场的概率P3＝××2＝. 因为P1＜P2＜P3，所以甲在第二场与丁比赛时，甲恰好连胜两场的概率最大. (2)若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为，，，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大. 习题演练 一、事件的相互独立性 1、定义：对任意两个事件与，如果成立，则称事件与相互独立，简称为独立. ●事件是否发生不影响事件发生的概率，事件是否发生不影响事件发生的概率，则事件与事件相互独立，从而有 ●相互独立的定义，既可以用来判断两个事件是否独立，也可以在相互独立的条件下求积事件的概率 ●公式变形：， ●必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立；互斥不独立. ●若与独立，则与，与，与也独立 课堂小结 1、下列事件，是相互独立事件的是（　A　） A.一枚硬币抛掷两次，事件为“第一次为正面”，事件为“第二次为反面” B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，事件为“第一次摸到白球”， 事件为“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子，事件为“出现点数为奇数”，事件为“出现点数为偶数” D.事件为“人能活到20岁”，事件为“人能活到50岁” 解析：把一枚硬币抛掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故选项A中的两个事件是相互独立事件；选项B中不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立；对于选项C，其结果具有唯一性，A，B应为对立事件；选项D中事件B受事件A的影响. A 当堂检测 2、甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________ 0.88 3、三个元件，，正常工作的概率分别为，，，它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图，则电路不发生故障的概率为____________． 解：设，，正常工作为事件，，， 则，，， 设电路不发生故障为事件，则， 所以 当堂检测 4、红队队员甲、乙、丙与蓝队队员进行围棋比赛，甲对，乙对，丙对各一盘.已知甲胜、乙胜、丙胜的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员获胜的概率. 解：记甲胜、乙胜、丙胜分别为事件， 则甲不胜、乙不胜、丙不胜分别为事件. 根据各盘比赛结果相互独立，可得红队至少两名队员获胜的概率为 当堂检测 5、甲乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：(1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有1个人译出密码的概率. 解：记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，则为相互独立事件，且 (1) (2) (3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件互为互斥事件， 所以 当堂检测 $$