1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 课件 -2023-2024学年北师大版九年级数学下册

第一章 直角三角形的边角关系 1.2 30°,45°,60°角的三角函数值 1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义. 2. 能够进行含有30°，45°，60°角的三角函数值的计算 3.能够根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应的锐角的度数. 学习目标 如图所示，在 Rt△ABC中，∠C=90°. b A B C a ┌ c 新课引入 问题 观察一副三角尺，回答下列问题. （1）这副三角尺包含有几个锐角？它们分别等于多少度？ 3个，分别等于30°，45°，60°. 30° 60° 45° 45° 一、30°，45°，60°角的三角函数值 新知学习 （2）用手中的三角板推出30°， 45°，60°角的三角函数值. 30° 60° 45° 45° 方法一：度量法 是否还有其他方法呢？我们一起探究一下吧！ （3）观察30°角的直角板，当看到30°能想到我们之前学过的知识，30°所对的直角边是斜边的一半，那么这里对边和斜边的比就是我们学的sin30°，你能自己独立求出其他的三角函数值吗？与同伴进行交流. 30° 60° 45° 45° 解：设 30° 所对的直角边长为 a，那么斜边长为 2a，则另一条直角边长为 ∴sin 30°= cos 30° = tan 30° = sin 60° = cos 60°= tan 60° = 30° 60° a 2a 方法二：设参法 45° 45° 设两条直角边长为 a，则斜边长为 ∴sin 45° = cos 45° = tan 45° = =1. a a 请同学们运用上述方法求出45°角的正弦值、余弦值和正切值; 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： sinα cosα tanα 30° 45° 60° 三角函 数 角α 三角 函数值 1 45° 45° 60° 30° a a a 2a 归纳 若∠A为锐角，则 sinA=cos(90°-A) cosA=sin(90°-A) tanA与tan(90°-A)互为倒数. sinα cosα tanα 30° 45° 60° 三角函数 角α 三角 函数值 1 通过这张表你还可以看出哪些内在联系？这些数值有什么特点？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ . 增大（或减小） 减小（或增大） 例1 计算: (1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°. 温性提示:sin260°可表示为(sin60°)2,cos260°可表示为(cos60°)2 解: (1)原式 (2)原式 (2)由 得 cosa= ∴锐角a=60°. 例2.求适合下列条件的锐角a: (1) sina-1=0 ; (2) ; (3)3tana= (1)由 sina-1=0 得 sina= 1 得sina= ∴锐角a=45°. (3)由3tana= 得 tana= ∴锐角a=30°. 解:在Rt△ABC中，∠C=90° ∠A=30 ,AC= 2 ， cos 30° = AB=4. tan 30° = BC=2. 例3.已知在Rt△ABC中，∠C= 90°，∠A=30°，AC=2 ,求AB和BC的长. A B C 二 特殊三角函数值的运用 例4 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m). ∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m. ∠AOD OD=2.5m, A C O B D 解:如图,根据题意可知, ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). 在Rt△OCD中 1.用特殊角的三角函数填空: =________=________; =________=________; 1 =________; =________; sin60° cos30° sin45° cos45° tan45° tan60° 随堂练习 2. 将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是(　　) A. cm B. cm C. cm D．2 cm B O 3. 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO = OB，求 α 的度数. A B O 解： 在Rt△AOB中， ∴ α = 60°. ∵ tanα = 4. 如图，在 中， ， ， ，点 是 的中点，连接 ，若 ，则 的长为( @12@ ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> D 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： sinα cosα tanα 30° 45° 60° 三角函 数 角α 三角 函数值 1 45° 45° 60° 30° a a a 2a 课堂小结 $$