精品解析：安徽省合肥市瑶海区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024期末八年级数学质量检测卷 试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式不是最简二次根式的是( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式：分母没有根号；被开方数不能再进行开方；满足以上两个条件为最简二次根式，逐个选项分析判断即可. 【详解】A. 不是最简二次根式； B. 是最简二次根式； C. 是最简二次根式； D. 最简二次根式； 故选A 【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的要求是解题关键. 2. 用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（　　） A. （x﹣2）2=3 B. 2（x﹣2）2=3 C. 2（x﹣1）2=1 D. 2（x﹣1）2= 【答案】C 【解析】 【详解】解：2x2﹣4x=-1， x2﹣2x=， x2﹣2x+1=+1， ∴， 即． 故选C． 3. 下列线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，判断线段能否组成直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．根据勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】A、 ， 不能构成直角三角形，故本选项错误； B、， 不能构成直角三角形，故本选项错误； C、， 不能构成直角三角形，故本选项错误； D、， 能构成直角三角形，故本选项正确； 故选：D 4. 某校在评选“交通安全在我心”优秀宣传小队的活动中，分别对甲、乙两队的5名学生进行了交通安全知识考核，其中甲、乙两队学生的考核成绩如下图所示，下列关系完全正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，折线统计图，掌握相关计算公式是解答本题的关键． 根据算术平均数和方差的计算公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， 由折线统计图可得， ， ∴， 故选：A． 5. 已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定；熟练掌握菱形和矩形的判定是解题的关键． 根据邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形、据对角线相等的平行四边形是矩形，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：如图： A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形；A选项正确； B、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形菱形；B选项正确； C、∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形；C选项正确； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 不能证明四边形是矩形，D选项错误， 故选：D． 6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是步，则列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的边长是x步，则圆的直径为（x+6）步，利用圆的面积减去正方形的面积等于耕地面积，列出方程即可． 【详解】∵正方形的边长是x步， ∴圆的直径为（x+6）步， ∴, 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，利用圆的面积与正方形的面积差为耕地面积是解题的关键． 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是确定a、b、c的值，再求出判别式的结果. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 且， ∴整数a的最大值为0． 故选：B． 8. 如图，在△ABF中，点C在中位线DE上，且CECD，连接AC，BC，∠ACB＝90°，若BF＝20，则AB的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线可求出DE的长，然后求出CD的长，再根据直角三角形斜边的中线求解即可． 【详解】∵DE是△ABC的中位线，BF＝20， ∴DEBF＝10， ∵CECD， ∴CDDE＝8， ∵∠ACB＝90°，D是AB中点， ∴AB＝2CD＝16， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形斜边的中线的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 9. 如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长为8，宽为4，则折痕的长度为（　　） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过F点作于H． 设，则．在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x为5，即可求出，．又易证，从而可求，最后再次利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过F点作于H， 由折叠的性质可知，． 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 10. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 所以四边形AOLP是正方形， 边长AO=AB+AC=3+4=7， 所以KL=3+7=10，LM=4+7=11， 因此矩形KLMJ的面积为10×11=110． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：________(填，，或). 【答案】. 【解析】 【分析】把根号外的数移入根号内，再比较即可． 【详解】解：= ， ， ∵ ， ∴． 故答案为. 【点睛】本题考查实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解题的关键． 12. 如果是方程的一个根，那么代数式的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程，得到，再代入代数式，即可求出答案． 【详解】解：把代入方程， 得到， 所以， 所以代数式； 故答案为：5． 13. 如图，平行四边形中，于点E，G为线段上一点且满足，，连并延长交于点F，则的度数为 ____． 【答案】45°##45度 【解析】 【分析】连接，结合平行四边形的性质，根据已知条件证明≌，进而得出是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在平行四边形中，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴． 故答案为：45°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，构造全等三角形是解题的关键． 14. 如图，在中，，是边上的一点，，，分别是，上的点，且，． (1)设，则__(用含的式子表示)； (2)若，，则的长为_____． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）依题意得，设，则，，，然后根据得，即，则，据此可得的度数； （2）过点作交的延长线于，设则，证和全等得，则，再证得，然后在中由勾股定理构造关于的方程，解方程求出即可得的长． 【详解】解：（1）， ， 设， ， ， ， 为的一个外角， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）过点作交的延长线于，如下图所示： 则， ， 由（1）可知：当时，，， ， 设则 ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ，， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得： (不合题意，舍去)， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，理解等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造全等三角形． 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】2﹣ 【解析】 【分析】先乘除，最后加减，根据二次根式的运算公式进行运算即可． 【详解】原式＝ ＝2﹣3+2 ＝2﹣ 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算公式是解题的关键． 16. 解方程：． 【答案】=-1，=2． 【解析】 【分析】利用因式分解法求解可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴x+1=0或x-2=0， 解得：=-1，=2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 四、解答题（本大题共7小题，满分74分） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）计算出，由此即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，，结合，得出关于的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：根据题意得： ， ， ， 无论为何值，该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：设、是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， 该方程两个实数根的差为2， ， ， ，即， ， 解得：或， 的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 18. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法，所画的图形的顶点均在格点上． （1）在图①中画一个，使其面积为2． （2）在图②中画一个，使其面积为4． （3）在图③中画一个四边形ABEF，使其面积为5． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点C，连接AC、BC，利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形； （2）在（1）的基础上作点A关于BC的对称点D即可； （3）在（2）的基础上增加一个面积为的三角形即可． 【详解】（1）取格点C，连接AC、BC， 如图所示，△ABC即为所求： ∵AC=，BC=，AB=， 由于， ∴, ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， ∴； （2）如图所示，△ABD即为所求； （3）如图所示，四边形ABEF即为所求； ． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，连接、． （1）求证：； （2）点H、G分别是、上的点，若，，试判断四边形是什么图形，并证明你的结论． 【答案】（1）见详解 （2）四边形是矩形 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出即可． （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，求出，求出，根据平行四边形的判定和矩形的判定得出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 四边形是矩形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 20. 有一个长、宽分别为和的矩形水池，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与平行，另两条与平行，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的． （1）设道路的宽为，则正方形的面积为______．（用含x的代数式表示） （2）根据题中所给的信息列方程求道路的宽． 【答案】（1） （2）道路的宽为1米 【解析】 【分析】（1）根据设道路的宽为米以及道路的宽为正方形边长的，进行列式计算，即可作答． （2）首先设道路的宽为米，根据道路的宽为正方形边长的，得出道路与正方形的面积进而得出答案； 此题主要考查了一元二次方程的应用，①根据已知表示出阴影部分的面积是解题关键；②读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设道路的宽为米． ∵道路的宽为正方形边长的 ∴正方形边长米 ∴则正方形的面积为 故答案为：． 【小问2详解】 解：设道路的宽为米． 列方程， 整理得， 解得，（舍去）． 答：道路的宽为1米； 21. 2023年9月18日，我校隆重举行“叩问苍穹 征途永志——与英雄航天员共话航天志”主题活动．此次活动中，执行神舟十五号飞行任务的英雄航天员张陆老师与同学们一起谈论理想、爱国和坚持．同学们踊跃举手，畅所欲言的场景，大家一定还记忆犹新．为了获悉学生对航天知识的了解程度，活动前学校从七、八两个年级各随机抽取40名学生，进行了航天知识问卷测试，获得学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级40名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； b．八年级成绩在这一组的是： 70 70 71 72 74 75 75 75 75 76 77 78 79 c．七、八两个年级成绩平均分、中位数如下： 年级 平均分 中位数 七 73.8 72.5 八 73.8 m 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）在七年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为．在八年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为．比较，的大小，并说明理由； （3）假设八年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）74.5 （2），理由见解析 （3）60人 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图，求中位数，以及中位数的意义，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义结合根据频数直方图即可得出答案； （2）根据中位数的意义，可得，，即可求解； （3）根据样本估计总体，用200乘以分数高于80分的占比即可求解． 【小问1详解】 ∵第一组有3人，第二组有12人，第三组有13人， ∴中位数； 【小问2详解】 ，理由如下： 由于七年级抽取的40名学生的平均分是73.8，中位数是72.5， 因此，所抽取的40名学生的得分在73.8及以上的人数少于一半，也就是的值小于等于20， 由题意得， 所以； 【小问3详解】 （人）， 答：估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数为60人． 22. 农历五月初五端午节是中华民族传统的节日，这一天人们通过龙舟竞渡、吃粽子、喝雄黄酒等风俗，来纪念爱国诗人屈原．城郊的盼盼食品加工厂计划在端午节前用21天的时间生产袋装粽子进行销售，已知每袋粽子需要斤馅料和斤糯米，而工厂设备每天能生产馅料450斤或者糯米300斤，但因人手有限，工厂每天只生产馅料或糯米这两种原料中的一种． （1）若这21天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋装粽子，则总共生产这种粽子多少袋？ （2）为保证粽子的最佳风味，工厂原计划把生产的粽子在10天内全部售完．据统计，每袋粽子的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．工厂按售价25元销售了2天，余下8天进行降价促销，第10天结束后仍有未售出的粽子若干，工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市，最终获利40500元，则工厂促销时每袋应降价多少元？ 【答案】（1）总共生产了9000袋粽子 （2）工厂促销时每袋应降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． （1）设总共生产了袋粽子，利用这21天生产的馅料和糯米恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【小问1详解】 解：设总共生产了袋粽子， 依题意得，， 解得， 经检验是原方程的解， 答：总共生产了9000袋粽子； 【小问2详解】 解：设促销时每袋应降价元， 依题意得，前10天的利润为：， 第10天结束后将还未售出的粽子以15元袋的价格全部打包卖给了市区某大型超市的利润：， ， 解得，． 要促销， ， 即促销时每袋应降价4元． 23. 已知，BG=6，点C是线段BG上的动点，分别以BC，CG为边在BG的同侧作正方形ABCD与正方形CGFE，连接BD，AF交于点M． （1）如图1，若CG=2，连接AC，CF． ①求ACF的面积； ②求AM的值． （2）如图2，若CG=n，连接EM，试判断BD-ME的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由． 【答案】（1）①8；② （2）不变， 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质求∠ACF＝90°，再根据勾股定理即可求解；②连接MC，证AM=MF=，再由AF＝即可求解； （2）延长FE交BD于点H，证△ADM≌△FHM（ASA），得MD=MH，HF=AD进而表示CG=n，BC=6-n，BD=，DE=DC-EC=6-n-n=6-2n，ME=MD=即可求解； 【小问1详解】 解：①∵四边形ABCD与四边形CGFE都是正方形，BG＝6，CG＝2 ∴AB＝BC＝4，CG＝GF＝2，∠ABC＝∠G=90° ∴∠BAC＝∠ACB=45°，∠GCF＝∠CFG=45° ∴∠ACF＝180°-∠ACB-∠GCF＝90° 在Rt△ABC中，AC＝＝＝ Rt△CGF中，CF＝＝＝ ②由①知△ACF是直角三角形，∠ACF=90° 连接MC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD垂直平分AC ∴AM=MC ∴∠MAC=∠MCA ∵∠ACF=90° ∴∠MAC+∠AFC=90°，∠ACM+∠FCM=90° ∴∠AFC=∠FCM ∴MC=MF ∴AM=MF= 在Rt△ACF中，AF＝＝ ∴AM= 【小问2详解】 的值不会变化， 理由如下： 延长FE交BD于点H， 由②知，AM=MF， ∴点M为AF的中点 ∵四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形 ∴AD∥BC，EF∥BC ∴AD∥EF， ∴∠DAM=∠HFM 又∵∠AMD=∠FMH ∴△ADM≌△FHM（ASA） ∴MD=MH，HF=AD 又∵AD=DC，EC=EF ∴DC=HF ∵DC=DE+EC，HF=EF+HE ∴DE=HE ∵∠HDE=45° ∴∠DHE=∠HDE=45° ∵点M为HD的中点 ∴EM⊥HD ∴ME=MD ∵CG=n， ∴BC=6-n ∴BD= DE=DC-EC=6-n-n=6-2n ∴ME=MD= ∴BD-ME=． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，三角形的全等证明，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024期末八年级数学质量检测卷 试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式不是最简二次根式的是( ). A. B. C. D. 2. 用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（　　） A. （x﹣2）2=3 B. 2（x﹣2）2=3 C. 2（x﹣1）2=1 D. 2（x﹣1）2= 3. 下列线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 某校在评选“交通安全在我心”优秀宣传小队的活动中，分别对甲、乙两队的5名学生进行了交通安全知识考核，其中甲、乙两队学生的考核成绩如下图所示，下列关系完全正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是矩形 6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一”其大意为：有一块圆形田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是步，则列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 如图，在△ABF中，点C在中位线DE上，且CECD，连接AC，BC，∠ACB＝90°，若BF＝20，则AB长为（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 9. 如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长为8，宽为4，则折痕的长度为（　　） A. 5 B. C. D. 10. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：________(填，，或). 12. 如果是方程的一个根，那么代数式的值为_________． 13. 如图，平行四边形中，于点E，G为线段上一点且满足，，连并延长交于点F，则的度数为 ____． 14. 如图，在中，，是边上的一点，，，分别是，上的点，且，． (1)设，则__(用含式子表示)； (2)若，，则的长为_____． 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、解答题（本大题共7小题，满分74分） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的差为2，求的值． 18. 图①、图②、图③都是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法，所画的图形的顶点均在格点上． （1）在图①中画一个，使其面积为2． （2）在图②中画一个，使其面积为4． （3）在图③中画一个四边形ABEF，使其面积为5． 19. 如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，连接、． （1）求证：； （2）点H、G分别是、上的点，若，，试判断四边形是什么图形，并证明你的结论． 20. 有一个长、宽分别为和的矩形水池，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与平行，另两条与平行，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的． （1）设道路的宽为，则正方形的面积为______．（用含x的代数式表示） （2）根据题中所给的信息列方程求道路的宽． 21. 2023年9月18日，我校隆重举行“叩问苍穹 征途永志——与英雄航天员共话航天志”主题活动．此次活动中，执行神舟十五号飞行任务的英雄航天员张陆老师与同学们一起谈论理想、爱国和坚持．同学们踊跃举手，畅所欲言的场景，大家一定还记忆犹新．为了获悉学生对航天知识的了解程度，活动前学校从七、八两个年级各随机抽取40名学生，进行了航天知识问卷测试，获得学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级40名学生成绩频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； b．八年级成绩在这一组的是： 70 70 71 72 74 75 75 75 75 76 77 78 79 c．七、八两个年级成绩的平均分、中位数如下： 年级 平均分 中位数 七 73.8 72.5 八 73.8 m 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）在七年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为．在八年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为．比较，的大小，并说明理由； （3）假设八年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数． 22. 农历五月初五端午节是中华民族传统的节日，这一天人们通过龙舟竞渡、吃粽子、喝雄黄酒等风俗，来纪念爱国诗人屈原．城郊的盼盼食品加工厂计划在端午节前用21天的时间生产袋装粽子进行销售，已知每袋粽子需要斤馅料和斤糯米，而工厂设备每天能生产馅料450斤或者糯米300斤，但因人手有限，工厂每天只生产馅料或糯米这两种原料中的一种． （1）若这21天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋装粽子，则总共生产这种粽子多少袋？ （2）为保证粽子的最佳风味，工厂原计划把生产的粽子在10天内全部售完．据统计，每袋粽子的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．工厂按售价25元销售了2天，余下8天进行降价促销，第10天结束后仍有未售出的粽子若干，工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市，最终获利40500元，则工厂促销时每袋应降价多少元？ 23. 已知，BG=6，点C是线段BG上的动点，分别以BC，CG为边在BG的同侧作正方形ABCD与正方形CGFE，连接BD，AF交于点M． （1）如图1，若CG=2，连接AC，CF． ①求ACF的面积； ②求AM的值． （2）如图2，若CG=n，连接EM，试判断BD-ME的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$