2.2 课时2 二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象与性质课件2023-2024学年北师大版九年级数学下册

第二章 二次函数 2.2 课时2 二次函数y=ax 与y=ax +c的图象与性质 1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.(难点) 2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.(重点) 3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系. 学习目标 (2)描点. (3)连线. (1)列表. 探究一:画二次函数y=2x2的图象. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2x2 … … 18 8 2 0 2 8 18 1 2 3 4 5 x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 y O -1 -2 -3 -4 -5 y=2x2 二次函数y=ax2的图象与性质 获取新知 问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状? 二次函数y=2x2的图象是一条抛物线, 并且抛物线开口向上. 问题2 图象的对称轴是什么? y轴就是它的对称轴. 1 2 3 4 5 x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 y O -1 -2 -3 -4 -5 y=2x2 想一想 问题3 图象的顶点坐标是什么? 原点 (0,0). 问题4 当x取何值时,y的值最小? 最小值是什么? x=0时,ymin=0. 当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大. 问题5 当x<0时,随着x值的增大, y值如何变化?当x>0时呢? 1 2 3 4 5 x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 y O -1 -2 -3 -4 -5 y=2x2 1 2 3 4 5 x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 y O -1 -2 -3 -4 -5 y=2x2 问题6 二次函数y=2x2与y=x2有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 开口方向相同:向上 对称轴相同:y轴 顶点相同:原点 开口大小不同 开口方向:向上;对称轴:y轴;顶点坐标:(0,0) 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 开口方向、对称轴、顶点坐标相同,开口大小不同 二次函数 , y=x2 ,y=2x2的图象有什么相同和不同之处? 当a>0时,a的值越大,开口越小. 探究二:在同一直角坐标系中,画出函数 的图象如图所示,观察其开口大小与a的值有什么关系? x y O -2 2 -2 -4 -6 4 -4 -8 当a<0时,a的绝对值越大,开口越小. 总结:在二次函数y=ax2中,a的绝对值越大,开口越小. 二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质如下表: 函数 y=ax2 图象 开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 a>0 向上 |a|越大, 开口越小 (0,0) y轴(直线x=0) 左减 右增 当x=0时, y最小值=0 a<0 向下 |a|越小, 开口越大 (0,0) y轴(直线x=0) 左增 右减 当x=0时, y最大值=0 归纳总结 例1 若点A(x1,y1),B(x2,y2)是二次函数y=-3x2图象上的两点,且x1>x2>0,那么y1与y2的大小关系是_. y2>y1 例题讲解 探究三: 画出二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的图象,观察图象,看一看它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? (1)列表: x -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2 y =2x2+1 y = 2x2-1 9 5.5 3 1 3 5.5 9 7 3.5 1 -1 1 3.5 7 二次函数y=ax2+c的图象与性质 (2)描点 (3)连线 4 x y O -2 2 2 4 6 -4 8 10 -2 y = 2x2+1 y = 2x2-1 y=2x2+1的图象是轴对称图形 开口:向上 对称轴:y轴 顶点坐标:(0,1) y=2x2-1的图象是轴对称图形 开口:向上 对称轴:y轴 顶点坐标:(0,-1) 可以发现,把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度,就得到抛物线 ;把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度,就得到抛物线 y=2x2-1. 下 y=2x2+1 上 4 x y O -2 2 2 4 6 -4 8 10 -2 y = 2x2+1 y = 2x2-1 二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到: 当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到; 当c < 0 时,向下平移个单位长度得到. 二次函数y=ax2 与y=ax2+c(a ≠ 0)的图象的关系 上下平移规律: 平方项不变,常数项上加下减. 二次函数 y=ax2+c的性质 y=ax2+c a>0 a<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 y轴 y轴 (0,c) 当x=0时,y最小值=c 当x=0时,y最大值=c 当x<0时,y随x的增大而减小;x>0时,y随x的增大而增大. 当x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大. (0,c) 1.画抛物线y=ax2+c的图象有些方法? 2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么?c决定什么?它的对称轴是什么?顶点坐标怎样表示? 第一种方法:平移法,两步即第一步画y=ax2的图象,再向上(或向下)平移︱c ︱单位. 第二种方法:描点法,三步即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小;c决定顶点的纵坐标. 对称轴为y轴;顶点坐标为(0,c). 例2 根据下列条件分别求a的取值或取值范围: (1)函数y=(a-2)x2,当x>0时,y随x的增大而减小, 当x<0时,y随x的增大而增大; (2)函数y=(3a-2)x2有最大值; (3)抛物线y=(a+2)x2与抛物线y=- x2的形状相同; (4)函数y=axa2+a的图象是开口向上的抛物线. 解:(1)由题意得a-2<0,解得a<2. (2)由题意得3a-2<0,解得a< . (3)由题意得|a+2|= ,解得a1=- ,a2=- . (4)由题意得a2+a=2,解得a1=-2,a2=1, 由题知a>0,∴a=1. 1. 在同一坐标系中画出y1=2x2,y2=-2x2和y3= x2的图象,正确的是图中的( ) D 随堂练习 2.下列各组抛物线中能够互相平移彼此得到对方的是( ) A.y=2x2与y=3x2 B.y= x2+2与y=2x2+ C.y=2x2与y=x2+2 D.y=x2与y=x2-2 D 3.对于二次函数y=3x2+2,下列说法错误的是( ) A.最小值为2 B.图象与x轴没有公共点 C.当x<0时,y随x的增大而增大 D.图象的对称轴是y轴 C 4.(1)抛物线y=2x2+3可以由抛物线y=2x2向 平移_个 单位得到. (2)抛物线y=- x2+1向 平移 个单位后,会得到抛物线y=- x2. (3)抛物线y=-2x2-5的开口方向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 . 上 3 下 1 向下 y轴 (0,-5) 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2 +c的图象、性质及关系 抛物线 y=ax2(a≠0) y= ax2 +c 开口方向 对称轴 顶点 增减性 最值 关系 y=ax2向上(下)平移|c|个单位 a>0,开口向上, a<0,开口向下 y轴 原点(0,0) 最大(小)值是0 最大(小)值是c (0,c) a>0时,在对称轴左侧递减,在对称轴右侧递增;a<0时,在对称轴左侧递增,在对称轴右侧递减 课堂小结 $$