专题1.16 一元二次方程（挑战常考综合（压轴）题分类专题）（专项练习）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.16 一元二次方程（挑战常考综合（压轴）题分类专题） （专项练习） 【题型目录】 第一部分【综合类】 【题型1】一元二次方程与分式方程综合（3个题） 【题型2】根的判别式进行求值与证明综合（3个题） 【题型3】根的判别式与几何图形综合（3个题） 【题型4】根的判别式与函数综合（3个题） 【题型5】根的判别式与韦达定理综合（3个题） 【题型6】韦达定理与几何图形综合（3个题） 【题型7】韦达定理与函数综合（3个题） 【题型8】增长率问题与营销问题综合（3个题） 【题型9】营销与函数问题综合（3个题） 第二部分【压轴类】 【题型1】用换元法解可化为一元二次方程的分式方程与无理方程（2个题） 【题型2】根的判别式与韦达定理（2个题） 【题型3】根的判别式、韦达定理解决几何问题（2个题） 【题型4】韦达定理解决函数问题（分类讨论思想）（2个题） 【题型5】一元二次方程与一次函数问题（数形结合思想）（3个题） 第一部分【综合类】 【题型1】一元二次方程与分式方程综合（3个题） 1．（2024·西藏日喀则·二模）解分式方程： 2．若解分式方程产生增根，则m的值是多少？ 3．（21-22八年级下·广西梧州·期中）已知关于x的一元二次方程：的一个解与分式方程的解相同． （1）求的值； （2）求这个一元二次方程的另一个解． 【题型2】根的判别式进行求值与证明综合（3个题） 4．（2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． （1）当时，求方程的解； （2）若该方程有实数根，求的取值范围． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知：关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求k的值； （2）求证：方程有两个不相等的实数根． 6．（2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 【题型3】根的判别式与几何图形综合（3个题） 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值． 8．（23-24八年级下·广西贺州·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程恒有实数根； （2）若以方程两根为等腰三角形的两边，且其中一个根为4，求此三角形的周长． 9．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度． （1）如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； （2）如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 【题型4】根的判别式与函数综合（3个题） 10．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图像分别交轴、轴于点，，交反比例函数的图象于，两点，连接，． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）将直线向下平移个单位长度，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求出的值． 11．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，其中． （1）求反比例函数表达式； （2）若把一次函数的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b的值． 12．（2024·江苏连云港·一模）一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中． （1）求反比例函数表达式； （2）结合图像，直接写出时，x的取值范围； （3）若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值． 【题型5】根的判别式与韦达定理综合（3个题） 13．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． （1）若该一元二次方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围． （2）若该一元二次方程有一个根为，求方程的另一个根． 14．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. （1）当时，解这个方程； （2）试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； （3），是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 15．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． （1）求和的值； （2）若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【题型6】韦达定理与几何图形综合（3个题） 16．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）关于x的方程， 的两个实数根为 （1）若等腰三角形，其中两边的长度为 且另一边的边长为6，求 的周长； （2）若 求m的值 17．（2023·江西新余·一模）已知平行四边形的两邻边的长m，n分别是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k为何值时，四边形是菱形； （3）当k为何值时，四边形的两条对角线的长相等，且都等于，求出这时四边形的周长和面积． 18．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？ （2）若，求m的值． 【题型7】韦达定理与函数综合（3个题） 19．（2021·四川德阳·一模）（1）解方程； （2）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数的图像上，求满足条件的k的值． 20．（2024·浙江杭州·一模）已知反比例函数与一次函数（，k是常数）的图象交于点，． （1）当时，求的值． （2）若，求的值． 21．（22-23八年级上·上海青浦·期中）若和是关于的方程的两个不相等实数根，且是非负整数． （1）求的值； （2）反比例函数图象过点（其中），求的值． 【题型8】增长率问题与营销问题综合（3个题） 22．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件32元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件60的价格出售．经统计，四月份的销售量为256件，六月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物四月份到六月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，七月份的销售量将与六月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达10800元？ 23．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ （3）该商场月份销售量为件，月和月的月平均增长率为，若前三个月的总销量为件，求该季度的总利润． 24．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【题型9】营销与函数问题综合（3个题） 25．（23-24八年级上·上海·期末）小王准备投资销售一种进价为每公斤40元的坚果．通过试营销发现：当销售单价在每公斤40元到90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（元/公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图像如图所示． （1）求y与x之间的函数解析式，并写出定义域； （2）如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元？ 26．（22-23八年级下·安徽六安·期中）六安瓜片是中国十大名茶之一，在世界所有茶叶中，六安瓜片由单片生叶制成，是唯一无芽无梗的茶叶，并被列入国家非物质文化遗产目录.某茶庄以600元的价格收购一批六安瓜片，物价部门规定销售单价不低于成本且不得超过成本的2倍，经试销过发现，日销量与销售单价（元）满足一次函数关系式，部分对应数据如表： （元） 600 800 … 100 80 … （1）根据表格提供的数据，求出关于的函数关系式； （2）在销售过程中，每日还需支付其他费用9000元，当销售单价为多少时，该茶庄日利润为7000元？ （3）在（2）的条件下，店员甲说售价越高，则利润越大，甲的说法正确吗？如果正确，请给出理由；如果不正确，请给出反例. 27．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的关系可以近似地看作一次函数（利润=售价-制造成本） （1）写出每月的利润（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？ 第二部分【压轴类】 【题型1】用换元法解可化为一元二次方程的分式方程与无理方程（2个题） 28．用换元法解分式方程： 解：设=m，则原方程可化为m﹣=2；去分母整理得：m2﹣2m﹣3=0 解得：m1=﹣1，m2=3即：=﹣1或=3；解得：x=或x=﹣ 经检验：x=或 x=﹣是原方程的解．故原方程的解为：x1=，x2=﹣． 请同学们借鉴上面换元法解分式方程的方法，先解下列方程，然后再化简求值： 已知a是方程的根，并求代数式的值？ 29．（23-24九年级上·广西南宁·期中）阅读理解以下内容，解决问题 解方程：． 解：∵， ∴方程即为：， 设，原方程转化为： 解得，，， 当时，即，∴，； 当时，即，不成立． ∴综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． （1）该题主要运用了以下哪些数学思想___________（多选）； A．方程思想           B．数形结合思想    C．整体思想 （2）已知方程：，若设，请利用“换元法”将原方程化为关于的方程； （3）仿照上述方法，解方程：． 【题型2】根的判别式与韦达定理（2个题） 30．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）关于x的一元二次方程中，a，b，c是的三条边，其中． （1）求证此方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根是，，且，求． 31．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于的方程有实数根． （1）若方程的两根之和为整数，求的值； （2）若方程的根为有理根，求整数的值． 【题型3】根的判别式、韦达定理解决几何问题（2个题） 32．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程有两个实数根，其中． （1）若，求的值； （2）一次函数的图像上有两点，若，求m的值； （3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为和，求该直角三角形的面积． 33．（2023·四川南充·一模）关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中． （1）求证此方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根是、，且，求． 【题型4】韦达定理解决函数问题（分类讨论思想）（2个题） 34．（2024·四川成都·二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）连接，，点P为反比例函数图象第一象限上一点，连接，，若，求点P的坐标； （3）已知为x轴上一点，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数的图象于点E，F，若，求t的值． 35．（22-23九年级上·四川成都·期末）已知在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． （1）求的值； （2）将反比例函数的图像中轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到新的函数图象如图所示，新函数记为函数． ①如图，直线与函数的图像交于，两点，点横坐标为，点横坐标为，且，，点在轴上，连接，．当最小时．求点的坐标； ②已知一次函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，直接写出的取值范围． 【题型5】一元二次方程与一次函数问题（数形结合思想）（3个题） 36．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴，轴分别交于点，． （1）求的值及反比例函数的解析式； （2）将线段沿轴向右平移得到，当点在反比例函数图象上时，求四边形的面积． （3）点是点关于原点的对称点，以为边长作等边，点是平面上一点，若以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 37．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于C点，过点A作轴，垂足为点D，，，点B的坐标为． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出使成立的x的取值范围； （3）形如（a为常数，）的解集为：或，过点M作垂直于x轴的直线，直线与双曲线交于点，与直线交于点，若时，求n的取值范围． 38．（2023九年级上·全国·专题练习）正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积是16． （1）求的值和直线的解析式； （2）求正方形的边长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解：去分母，得：， ∴， ∴， 解得：或， 经检验是增根，是原方程的解， ∴分式方程的解为． 2．m=1或m=-2. 【分析】方程两边都乘以最简公分母x（x+1）化分式方程为整式方程，然后把增根代入进行计算即可求出m的值． 【详解】方程两边都乘以x（x+1）得， 2x2-m-1=（x+1）2， 若分式方程产生增根，则x（x+1）=0， 解得x=0或x=-1， 把代入整式方程，得解得； 把代入整式方程，得解得 ∴m=1或m=-2. 【点拨】本题考查了分式方程的增根的问题，增根就是使分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，把分式方程化为整式方程代入求解即可． 3．(1) (2) 【分析】（1）先求出分式方程的解，然后代入求解即可； （2）将（1）中k的值代入，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：由 得 解得： 经检验，是原方程的解 把代入解方程得： 解得：； （2）∵ ∴一元二次方程为： 即 ∴， ∴这个一元二次方程的另一个解为． 【点拨】本题主要考查解分式方程及利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题关键． 4．(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为， 配方，得， 解得； （2）解：∵该方程有实数根， ∴， 解得， 即若该方程有实数根，的取值范围是． 5．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入一元二次方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可； （2）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）证明： ， 方程有两个不相等的实数根． 6．(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程： （1）求出判别式的符号，判断即可； （2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∴或， ∴， ∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍， ∴或， 解得或（舍去）， ∴a的值为4． 7．(1)见解析 (2)k的值为12或3 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与直角三角形结合等，熟练掌握一元二次方程相关定义与性质是解决问题的关键． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【详解】（1）由题意得： ∴方程有两个不相等的实数根 （2）∵，即 解得： 当为直角边时，，解得： 当为斜边时，，解得：（不合题意，舍） 综上：k的值为12或3 8．(1)见解析 (2)三角形的周长为9 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，等腰三角形的定义，构成三角形的条件： （1）利用判别式求解即可； （2）把代入原方程求出m的值，进而解方程求出方程的两个角，再根据等腰三角形的定义和构成三角形的条件求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ∴无论m取何值，方程总有实数根． （2）解：将代入，得， 解得 ∴原方程为， 解得， ∴此三角形的三边为：①4，4，1，此时三角形的周长为； ②1，1，4，此时三边不符合三角形三边关系，舍去． 综上所述，此三角形的周长为9． 9．(1) (2)原方程有两个不相等的实数解，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理； （1）根据是等边三角形，得出，进而解一元二次方程，即可求解； （2）根据勾股定理得出，进而计算一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 即， 解得：； （2）解：原方程有两个不相等的实数解 理由：∵是以为斜边的直角三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴原方程有两个不相等的实数解 10．(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合； （1）根据待定系数法求解即可； （2）结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的的范围即可； （3）设出平移后直线的解析式结合一元二次方程的根的判别式，即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图象上，   ∴，   ∴反比例函数解析式为：， ∵在反比例函数图象上，   ∴，， ∵，在一次函数的图象上， ∴，解得：，   ∴一次函数解析式为：； （2）根据图像，不等式的解集为：或； （3）设直线向下平移个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立两个函数得：， 整理得：， ，   ∴， 或， 因为点，   ∴不符合题意舍去．   ∴． 11．(1) (2)或． 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意是解本题的关键； （1）把代入可得，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把一次函数的图象向下平移b个单位，平移后的解析式为，再结合一元二次方程根的判别式可得答案． 【详解】（1）解：把代入可得： ∴， ∴； ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）∵把一次函数的图象向下平移b个单位， ∴平移后的解析式为， ∴， ∴， 整理得：， ∵与反比例函数的图象只有一个交点， ∴有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴或， 解得：， ∴或． 12．(1) (2)或 (3)1或9 【分析】（1）将代入得，，则，将代入得，可得，，进而可得反比例函数表达式； （2）联立，整理得，，可求满足要求的解或，将代入得，，则，然后数形结合求不等式的解集即可； （3）由题意知，平移后的解析式为，联立得，，整理得，，由图像只有一个交点，可得，计算求解然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴反比例函数表达式为； （2）解：联立，整理得，， ∴， 解得，或， 经检验，或是原分式方程的解， 将代入得，， ∴， ∴由图像可知，的解集为或； （3）解：由题意知，平移后的解析式为， 联立得，，整理得，， ∵图像只有一个交点， ∴， 解得，或， ∴b的值为1或9． 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，图像法求不等式的解集，一次函数的平移，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，不等式的解集，一次函数的平移，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 13．(1) (2) 【分析】本题重点考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的根与系数关系． （1）根据题意可得根的判别式，列出不等式求解即可； （2）根据根与系数的关系可得，把代入，求出方程的另一个根． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，； （2）解：设是一元二次方程的两根， 根据一元二次方程根与系数的关系可知，， ∵， ∴． 即一元二次方程的另一个根为 14．(1)， (2)方程有两个实数解．理由见详解 (3)的值为1或2 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先计算根的判别式的值得到△，利用根的判别式的意义即可解答； （3）先利用公式法解方程得或，由于，所以或，当，则，利用整除性得当时，；当时，；当时，． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， ， 或， ∴，； （2）解：方程有两个实数解． 理由如下： ， 当时，，方程有两个相等的实数解； 当时，，方程有两个不相等的实数解； 综上所述，方程有两个实数解； （3）依题意，解方程得或， ， 或， 当时，， 、为正整数， 当时，；当时，； 当时，， 综上所述，的值为1或2． 15．(1)； (2) 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算： （1）根据题目已知定义计算即可； （2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1） ； ； （2）是一元二次方程的根， ， 根据根与系数的关系得， ． 16．(1)的周长为或 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一元二次方程根的定义，等腰三角形的定义； （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于，据此建立关于的不等式，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可分别表示出与的值，利用条件可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：∵的两个实数根为 ∴ 解得： 当时，， 则 解得： ∵等腰三角形其中两边的长度为 且另一边的边长为6， ∴周长为 当，则有一个根为， ∴ 解得：或（舍去） ∴原方程为 解得: ∴的周长为， 综上所述，的周长为或 （2）∵的两个实数根为 ∴ 又∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴或 由（1）可得，当时， 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或 17．(1) (2) (3)四边形的周长是4，面积是． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质和判定的综合运用．一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是应用； （1）根据题意求出且，，求出不等式组的解集即可； （2）由菱形的性质可得，可得，再检验即可； （3）先得出四边形是矩形，根据勾股定理和根与系数的关系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周长和面积． 【详解】（1）解：∵平行四边形的两邻边的长m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴且，， 解得：， 即k的取值范围是； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：， 经检验符合题意； （3）∵四边形是平行四边形，且四边形的对角线相等， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：， 即， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， 把代入方程得：， 解方程得：，或，， ∴矩形的周长是，面积是． 即此时四边形的周长是4，面积是． 18．(1)当时，四边形为菱形 (2)m的值为1 【分析】（1）由邻边相等的平行四边形为菱形，得出根的判别式等于0，求出m的值即可； （2）根据根与系数的关系结合题意列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，平行四边形ABCD是菱形， ∵、的长是关于x的方程的两个实数根， ，即， 解得：， ∴当时，四边形ABCD为菱形； （2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根， ，， ∵， ，即， 整理得： 解得：，， ， ∴不合题意， ∴m的值为1． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和根的判别式是解题的关键． 19．（1），；（2） 【分析】（1）利用公式法求解； （2）根据“x1、x2为横坐标、纵坐标的点（x1，x2）恰有点在函数y=x+6的图象上”，得到x1和x2的关系式，根据根与系数的关系，列出关于k的方程，解之，结合（1）中k得取值范围，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ∵a=1，b=-1，c=-1， ∴， ∴， ∴，； （2）根据题意得： x2=x1+6，x2-x1=6， 整理得：（x1+x2）2-4x1x2=36， ∴x1+x2=2（k-3），x1x2=k2-4k-1， 则4（k-3）2-4（k2-4k-1）=36， 整理得：-2k+1=0， 解得：k=（符合题意）， 即满足条件的k的值为． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确掌握根与系数的关系和代入法． 20．(1) (2)0 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系： （1）将一次函数与反比例函数关系式联立，整理出一元二次方程，则是该方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解； （2）将与联立，整理得，根据得出，进而可得点，关于原点对称，推出． 【详解】（1）解：当时，一次函数为， 令，整理得， ∵反比例函数与一次函数的图象交于点，， ∴是方程的两个根， ∴； （2）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，， ∴是方程的两个根， 方程整理得， ∵， ∴， ∴， ∴一次函数为（，k是常数）， ∴点，关于原点对称， ∴． 21．(1) (2) 【分析】（1）根据和是关于的方程的两个不相等实数根，可得，求出k的取值范围，再根据是非负整数即可确定的值； （2）根据根与系数的关系可得，进一步可得的值． 【详解】（1）解：∵和是关于的方程的两个不相等实数根， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵是非负整数， ∴； （2）原方程化为：， ∴和是关于的方程的两个不相等实数根， ∴， ∵反比例函数图象过点（其中）， ∴． 【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键． 22．(1)该款吉祥物四月份到六月份销售量的月平均增长率为； (2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达10800元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物四月份到6月份销售量的月平均增长率为，根据四月份的销售量为256件，六月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达10800元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物四月份到六月份销售量的月平均增长率为，则六月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物四月份到六月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达10800元． 23．(1)元 (2)元 (3)元 【分析】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建列方程是关键． （1）先求出每件的利润，再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润； （2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． （3）列出方程判断其根的判别式即可得到其利润能否达到元． 【详解】（1）解：由题意，得 元． 答：降价前商场每月销售该商品的利润是元； （2）解：设每件商品应降价元，由题意，得， 化简为 解得， ∵要更有利于减少库存， ∴ 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元 （3）解：由题意，得 化简为 解得（舍） ∴月件，每件利润元；月件，每件利润元；月件，每件利润元 ∴总利润为元． 24．(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． （1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润求出即可． 【详解】（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）设当商品降价元时，商品获利4250元，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商场获利4250元． 25．(1) (2)60元或70元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴y与x之间的函数解析式为 （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∴如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤60元或70元． 26．(1)关于的函数关系式为 (2)当销售单价为800元时，该茶庄日利润为7000元 (3)店员甲的说法不正确 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出关于的函数关系式； （2）利用该茶庄日利润=每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （3）店员甲的说法不正确，设利润为w元，代入和求出w的值，比较后即可得出店员甲的说法不正确． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 把代入得，解得， ∴关于的函数关系式为； （2）解：由题意得： 整理得： 解得：， ∵， ∴， ∴当销售单价为800元时，该茶庄日利润为7000元； （3）解：店员甲的说法不正确，设利润为w元， 当时，， 当时，， 当时，， ∴店员甲的说法不正确； 【点拨】本题考查一元二次方程实际问题，理清题意是解题关键． 27．(1) (2)当销售单价为28元或40元时，厂商每月获得的利润为440万元 【分析】（1）根据利润=销售量×（销售单价-成本），代入代数式求出函数关系式； （2）令利润，求出的值． 【详解】（1）解：由题意得， ； 每月的利润（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式为：． （2）当时， ， 解得：，． 答：当销售单价为28元或40元时，厂商每月获得的利润为440万元． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用和根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是读懂题意，根据题意列出函数关系和方程． 28．x1=4，x2=﹣； ，-1 【分析】先仿照题例，设=m，将原方程化为m2﹣m﹣2=0，然后解这个整式方程，再还元求得原方程的解，另外要注意求代数式的值时，注意a的取值之合理性． 【详解】解： 设=m，则原方程可化为 m2﹣m﹣2=0， 解这个整式方程得： m1=2，m2=﹣1 即：=2或=﹣1； 解得：x=4或x= 经检验：x=4或 x=是原方程的解． 故原方程的解为：x1=4，x2=． 因为a是方程的根， 所以，a=4或a= = = = = 则①当a=4时，原式=； ②当a=时，原式= 即：所求代数式的值为2或﹣1 【点拨】此题是换元法解分式方程，换元法解分式方程是难点，关键是换元之后把方程化成整式方程，要将所解整式方程的解还原回来，求出原分式方程的解，并要进行验根． 29．(1)A，C (2) (3) 【分析】 本题主要考查了换元法解方程， （1）根据题意可得运用了方程思想，整体思想； （2）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可； （3）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可． 解题的关键是运用整体思想-换元法解方程． 【详解】（1） 解：由题意得，本题运用了整体思想和方程思想； 故选：A，C； （2）设， 则， 可化为：， 即， 故答案为：； （3）设，则， 原方程可化为：， 整理得， ， 或， 或， 当时，， ， ， 解得（经检验是此方程的解，符合题意）， 当时，（无解，不符合题意）， 检验，当时，左边右边， 是原方程的解， 故原方程的解为：． 30．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系以及勾股定理的应用，熟练掌握根与系数关系是解题的关键． （1）先把方程变为一般式，得到，根据勾股定理，即可得出，即可证明结论； （2）由，得出，根据根与系数的关系得出，结合化简得到，再代入得出，即得答案． 【详解】（1）证明：化简一元二次方程得，， ， a，b，c是的三条边， ，， ， 此方程有两个不相等的实数根； （2）方程的两个根是，， ，， ， ， 即， ， ， ， 化简得， ， ， ． 31．(1) (2)0或10或或12 【分析】（1）根据关于的方程有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知，若方程的两根之和为整数，即为整数，即可确定的值； （2）分两种情况讨论：当时，此时关于的方程为，求解可得，符合题意；当时，对于关于的方程可有，若方程的根为有理根，且为整数，则为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个根，且为实数根， ∴，且， 根据一元二次方程的根与系数的关系，可知， 若方程的两根之和为整数，即为整数， ∵， ∴是整数， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，，，为整数，符合题意； ∴的值为； （2）当时，此时关于的方程为，解得； 当时，对于关于的方程的根为：， 若方程的根为有理根，且为整数， 则为完全平方数， 设（为正整数）， 则：， ∵为整数， 设（为正整数）， ∴， ∴或或或， 解得：或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去） ∴或； 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或， 综上所述，若方程的根为有理根，则整数的值为0或10或或12． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题关键． 32．(1) (2) (3)该直角三角形的面积为30或24 【分析】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“”，根与系数关系“”，一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，解题的关键是分类谈论思想的运用； （1）将代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到，将转化即可求解； （2）根据点在函数图像上，得出，再根据根与系数关系得到，根据即可求解； （3）根据直角三角形两直角边为整数，得出，令(为正整数)，得出，又，然后分三种情况取值即可解答； 【详解】（1）当时，方程为， ， ， 即； （2）将代入可得， 又， 故， ， 即，， ， ， ， ； （3）∵直角三角形两直角边为整数， 为平方数， 不妨令(为正整数)， ， ， ， 当①∴， 解得（不合题意舍去）； 当②， 解得， ∴方程， ，则斜边为13， 即； 当③， 解得， ∴方程， ，则斜边为10， 即， 综上所述：该直角三角形的面积为30或24． 33．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据求根公式，写出一元二次方程的，再根据、、是的三条边，结合，即可解答。 （2）根据韦达定理得，，再用完全平方公式化简得，代入即可解答。 【详解】（1）解：关于的一元二次方程去括号，整理为一般形式为：， ， 、、是的三条边，其中， ， ， ， 此方程有两个不相等的实数根； （2）方程的两个根是、， ，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键． 34．(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）利用一次函数的解析式求得的坐标，即可利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标； （2）延长，交反比例函数的图象于点，则则此时，故与重合时，符合题意，作，交轴于，求得直线的解析式，求得点的坐标，即可求得直线向下平移6个单位得到直线，关于向上平移6单位得到的直线与反比例函数图象第一象限上的交点也为点； （3）设直线为，由中心对称可知与x轴交点为，从而求出函数表达式，与反比例函数联立，得二次方程，由根于系数关系可得，即可求得T点的坐标，得到的值． 【详解】（1）将代入，得：， ， 反比例函数表达式为：， 联立，求得点； （2）①延长交图象于点， 反比例函数与正比例函数关于原点O中心对称， 交点B和关于原点O中心对称， 即， ，则， 点即为所求； ②， 取点，连接，， ， 过点Q作平行线交图象于点， 则的函数表达式为，联立，解得， 综上，点P坐标为或； （3）与x轴交于， 由中心对称可知与x轴交点为， 且， 直线函数表达式为， 化简得：， 联立，得：， ，； ， ， 即： 解得或． 【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的对称性，一次函数图象与几何变换，函数与方程的关系，根于系数的关系，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 35．(1)1 (2)①；②且或 【分析】（1）用待定系数法，将点代入求解即可； （2）①联立和并整理得，，则表示点、的坐标分别为，然后找到找关于轴的对称点，连接则与轴的交点为为所求； ②一次函数和反比例函数联立方程，方程有两个不相等的实数根即可． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 解得：， 则； （2）①由（）知，反比例函数的表达式为：， 则将反比例函数的图象中轴下方部分沿轴翻折， 则翻折后函数的表达式为：， 联立和并整理得： ， 则， 即， 解得：，则， 即点、的坐标分别为， 作点关于轴的对称点， 连接交轴于点， 则此时最小，理由： 为最小， 设直线的表达式为：， 则，解得：， 则直线的表达式为：， 当时，， 即点，； ②， 则该一次函数过点，， 当时，如图：：， 直线和轴左侧函数有个交点时，必然和轴右侧的函数有一个交点，符合题设条件， 联立和， 整理得：， 则， 解得：或， ， 或； 当时， 直线虚线和轴右侧函数有个交点时，必然和轴左侧的函数有一个交点，符合题设条件， 联立和， 整理得：， 则， 解得：为任意实数， 即； 综上，且或． 【点拨】本题考查了反比例函数、一次函数的综合运用以及一元二次方程解的情况；理解函数图像的交点就是方程的解是解题的关键． 36．(1)， (2)8 (3)，，，，， 【分析】（1）将代入 可得可得反比例函数表达式为 （2）由 可得，由平移可得四边形是平行四边形，设将代入 = 中得出，根据平移可得，进而根据平行四边形的面积公式，即可求解； （3）根据关于原点对称的点的特征得出，设,，根据等边三角形的性质以及勾股定理建立方程，得出，，进而根据平行四边形的性质，中点坐标公式，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将代入 可得 ， ，则 将代入 可得     ， 反比例函数表达式为 （2）由 ，当；当， ∴， 由平移可得四边形是平行四边形 设将代入 = 中 得 ，则 向右平移4个单位得到 将向右平移4个单位得到 （3）∵是关于原点的对称点 ∴ 设, 由等边可得 解得：或 ∴， ①当时 Ⅰ、以与为对角线 ∴ 解得：. ∴ Ⅱ、以与为对角线，同理可得， Ⅲ、以与为对角线，同理可得， ②当时 同理可得，， 综上所述：，，，，，． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，一次函数与反比例函数交点问题，等边三角形的性质，勾股定理，平移的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 37．(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：； (2)或； (3)n的范围为或． 【分析】（1）由条件可求得的长，即可得点A的坐标，从而求得反比例函数的解析式；由反比例函数解析式可求得点B的坐标，从而用待定系数法即可求得一次函数的表达式； （2）观察函数图象，一次函数的图象位于反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即为不等式的解集； （3）由直线与反比例函数有两个交点，联立两个函数解析式，由判别式确定n的范围；分反比例函数图象与直线的交点在第二象限与第四象限两种情况考虑即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点A的坐标为， 把代入，可得， ∴反比例函数的解析式为：， ∵把代入反比例函数中，可得， ∴点B的坐标为， 将和代入，可得， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：根据图象，可知使成立的x的取值范围是或； （3）解：∵直线与双曲线有两个交点， ∴有两个实数解， 整理得， ∵， ∴或， 当反比例函数图象与直线在第二象限相交于P、Q时， ∴时，n的范围为， 当反比例函数与直线在第四象限相交于P、Q时， 当时，，则点在点下方， ∴， ∴， ∴时，n的范围为， 综上所述，n的范围为或． 【点拨】本题是反比例函数与一次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集等知识，有一定的综合性，注意数形结合与分类讨论思想的运用． 38．(1)， (2) 【分析】（1）利用正方形的性质得到点坐标为，再把点坐标代入即可得到的值；然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）设正方形的边长为，利用正方形的性质易表示点的坐标为，然后把代入，再解关于的一元二次方程即可得到正方形的边长． 【详解】（1）解：， ， ， 把代入得， ， 即； 设直线的解析式为， 把代入得，， 直线的解析式为； （2）设正方形的边长为，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，（不符合题意）， 正方形的边长为得． 【点拨】本题考查了用待定系数法求函数解析式，正方形的性质，正方形与反比例函数综合问题，数形结合思想是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$