07统计专题复习讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2023-2024学年度第二学期高一期末专题复习 ---07统计专题 1、 考点分析 1. 简单随机抽样 2. 分层抽样 3. 获取数据的途径 4. 用样本估计总统 （1） 众数、中位数、平均数 （2） 百分位数 （3） 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数、百分位数 2、 典例剖析 （1） 简单随机抽样 例1-1：从某市高一年级考试的学生中随机抽查2000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体指的是该市高一年级考试的全体学生B．样本是指2000名学生的数学成绩 C．样本容量指的是2000名学生 D．个体指是指2000名学生中的每一名学生 变式训练1-1：某市场监管局从所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了检查，则错误的是（　　） A．该市场监管局的调查方法是抽样调查 B．样本容量是超市的20种冷冻饮品 C．总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量 D．样本的个体是抽取的20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量 例1-2：总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（    ） （第一行）1712  1340  3320  3826  1389  5103  7417  7637 （第二行）1304  0774  2119  3056  6218  3735  9683  5087 A．20 B．26 C．17 D．03 变式训练1-2：要考查某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子依次是 ． （下面抽取了随机数表第1行至第3行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 （2） 分层抽样 例2-1：某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.2，则n等于（　　） A．80 B．160 C．200 D．280 变式训练2-1：黔江中学现有高一学生1236人，高二学生1296人，高三学生1332人，现准备采用比例分配的分层随机抽样的方法调查学生的饮食情况，从每个年级抽取一定人数的学生，其中在高二年级需抽取108人，则全校一共需要抽取的人数为（    ） A．300 B．322 C．346 D．360 例2-2：某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（    ） A．24 B．26 C．30 D．36 变式训练2-2：如图，某学校共有教师200人，按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为（    ） A．18 B．14 C．12 D．6 例2-3：为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 变式训练2-3：如图是某校高一年级1000名男生体检时身高的频率分布直方图，现用分层随机抽样的方法从身高在160～175cm的男生中抽取130名，则抽取到的身高在165～170cm的人数为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 变式训练2-4：为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只，标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚 只． （3） 获取数据的途径 例3：以下获取的数据不是通过查询获取的是（    ） A．某领导想了解A市的大气环境质量，向当地有关部门咨询该市的PM2.5的浓度 B．张三利用互联网了解到某市居民平均寿命达到82.2岁 C．某中学为了了解学生对课堂禁用手机的认同度，进行了问卷调查 D．从某公司员工年度报告中获知某种信息 变式训练3：下列调查中，适宜采用抽样调查的是 （填上所有正确答案的序号）． ①调查某市中小学生每天的运动时间； ②某幼儿园中有位小朋友得了手足口病，对此幼儿园中的小朋友进行检查； ③农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量； ④调查某快餐店中8位店员的生活质量情况． （4） 用样本估计总统 1.众数、中位数、平均数 例4：已知一组数据：，，，，，，，，，，则这组数据的中位数与众数之和为（    ） A．122 B．123 C．124 D．125 变式训练4-1：已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的平均数是 ． 变式训练4-2：下列说法中不正确的是（    ） A．数据2，4，6，8的中位数是4，6 B．数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4 C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数 D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 变式训练4-3：下列说法错误的是（    ） A．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 B．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体 C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D．众数是一组数据中出现次数最多的数 变式训练4-4：下列说法不正确的是（    ） A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9 B．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本 C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 D．若样本数据，，的平均数为2，则，，，的平均数为8 例5：平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 变式训练5：如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，不正确的是（ ） A．图（1）的平均数中位数众数 B．图（2）的平均数<众数<中位数 C．图（2）的众数中位数<平均数 D．图（3）的平均数中位数众数 例6：如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的（    ） A．四分位数 B．中位数 C．众数 D．均值 变式训练6-1：上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 变式训练6-2：在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样和按比例分层抽样调查，小明调查的样本量为200，平均数为，小华调查的样本量为100，平均数为．则下列说法正确的是（    ） A．小明抽样的样本容量更大，所以更接近总体平均数 B．小华使用的抽样方法更好，所以更接近总体平均数 C．将两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数165.7更接近总体平均数 D．样本平均数具有随机性，以上说法均不对 变式训练6-3：某同学掷骰子5次，记录了每次骰子出现的点数，则从以下情况中可以判断出这组数据一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，方差为2.8 D．平均数为2，方差为2.4 变式训练6-4：若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是（    ） A．10，12 B．10，14 C．4，3 D．6，3 例7：已知全国农产品批发价格200指数月度变化情况如图所示，下列选项正确的是（    ）    A．全国农产品夏季价格比冬季低 B．全国农产品批发价格200指数2023年每个月逐渐增加 C．2023年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数的变化趋势基本保持一致 D．2023年6月农产品批发价格200指数大于116 变式训练7：某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（    ）    A．B组打分的极差小于A组打分的极差 B．B组打分的中位数为75 C． A组的意见相对一致 D．A组打分的众数为50 2.百分位数 例8：对某批电子元件的使用寿命进行测试，从该批次的电子元件中随机抽取200个进行使用寿命试验，测得的使用寿命（单位：小时）结果如下表所示： 使用寿命（小时） 100 120 150 165 185 200 210 230 个数 8 32 45 35 23 26 19 12 估计这批电子元件使用寿命的第60百分位数为（    ） A．165 B．170 C．175 D．185 变式训练8-1：已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（    ） A．90 B．88 C．82 D．76 变式训练8-2：一组数据分别是，则该组数据的上四分位数是 ． 变式训练8-3：某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下： 班级 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 28 34 34 30 26 28 28 32 则下列说法正确的是（    ） A．得分的众数为34 B．得分的中位数为28 C．得分的75%分位数为33 D．得分的极差为6 3.频率分布直方图中的众数、中位数、平均数、百分位数 例9：某校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），发现他们的自习时间都在区间[17.5，30]内，将所得的数据分成5组：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如图所示的频率分布直方图，则自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为（    ） A．240 B．180 C．96 D．80 变式训练9-1：如图是60名学生参加数学竞赛的成绩（均为整数，满分100分）的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）是（    ） A．75% B．25% C．15% D．40% 变式训练9-2：某校高三共有200人参加体育测试，根据规则，82分以上的考生成绩等级为，则估计获得的考生人数约为（    ） A．100 B．75 C．50 D．25 变式训练9-3：要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，应从间抽取人数为b，则b为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 例10：从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名学生，将其成绩 〔均为整数〕整理后画出的频率直方图如图所示，则不正确的是（    ） A．估计 这一组的频数是15 B．估计这组数据的众数74.5 C．估计该次环保知识竞赛的平均成绩是72.5 D．估计这组数据的中位数是72.8 变式训练10-1：某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则（    ）    A．直方图中x的值为0.020 B．估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分 C．估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分 D．估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为88分 变式训练10-2：某游泳馆统计了2023年8月1日到30日某小区居民在该游泳馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说正确的是（    ） A．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的平均值为14 B．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的众数为18 C．已知天数在区间[15,20]的锻炼人数为60，则总共500人参加了锻炼 D．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的中位数约为14.255 例11：文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.则频率分布直方图中的值为 ；样本成绩的第75百分位数为 . 变式训练11-1：某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（    ） ①a的值为0.005 ②估计这组数据的众数为75 ③估计这组数据的下四分位数为60 ④估计成绩高于80分的有300人 A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练11-2：某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（    ） A．a＝0.03 B．在4 000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1 320人 C．估计短视频观众的平均年龄为32岁 D．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期高一期末专题复习 ---07统计专题 1、 考点分析 1. 简单随机抽样 2. 分层抽样 3. 获取数据的途径 4. 用样本估计总统 （1） 众数、中位数、平均数 （2） 百分位数 （3） 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数、百分位数 2、 典例剖析 （1） 简单随机抽样 例1-1：从某市高一年级考试的学生中随机抽查2000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体指的是该市高一年级考试的全体学生B．样本是指2000名学生的数学成绩 C．样本容量指的是2000名学生 D．个体指是指2000名学生中的每一名学生 【答案】B 【分析】从总体，个体，样本和样本容量的定义逐项判断即可． 【详解】对于A：总体指的是该市高一年级考试全体学生的数学成绩，故A错误； 对于B：样本是指2000名学生的数学成绩，故B正确； 对于C：样本容量指的是2000，故C错误； 对于D：个体指是指2000名学生中的每一名学生的数学成绩，故D错误． 故选： B 变式训练1-1：某市场监管局从所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了检查，则错误的是（　　） A．该市场监管局的调查方法是抽样调查 B．样本容量是超市的20种冷冻饮品 C．总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量 D．样本的个体是抽取的20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量 【答案】B 【分析】根据随机抽样概念求解即可. 【详解】该市场监管局的调查方法是抽样调查，故A对； 样本容量是20，故B错误； 总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量，故C正确； 样本的个体是抽取的20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量，故D正确. 故选：. B 例1-2：总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（    ） （第一行）1712  1340  3320  3826  1389  5103  7417  7637 （第二行）1304  0774  2119  3056  6218  3735  9683  5087 A．20 B．26 C．17 D．03 【答案】D 【分析】先把编号按要求在随机数表中选出来，再剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号，即可得到选出的个体编号. 【详解】从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字， 选出的编号依次为：12，13，40，33，20，38，26，13，89，51，03，…， 剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号， 则选出来的个体的编号依次为：12，13，20，26，03，…， 所以选出来的第5个个体的编号为03. 故选：. 变式训练1-2：要考查某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子依次是 ． （下面抽取了随机数表第1行至第3行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【答案】774，428，114，572 【分析】依据题意结合随机数表法直接读数并满足号码不大于850即可. 【详解】依据题意可知：向右读数依次为：774，946，774，428，114，572，042，533，， 所以最先检验的4颗种子符合条件的为：774，428，114，572. 故答案为：774，428，114，572. （2） 分层抽样 例2-1：某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.2，则n等于（　　） A．80 B．160 C．200 D．280 【答案】C 【分析】根据简单随机抽样概率的求解方法，列出方程计算即可. 【详解】由题意可知，，解得. 故选：C 变式训练2-1：黔江中学现有高一学生1236人，高二学生1296人，高三学生1332人，现准备采用比例分配的分层随机抽样的方法调查学生的饮食情况，从每个年级抽取一定人数的学生，其中在高二年级需抽取108人，则全校一共需要抽取的人数为（    ） A．300 B．322 C．346 D．360 【答案】B 【分析】借助分层抽样的性质计算即可得. 【详解】全校一共需要抽取的人数为 人． 故选：B. 例2-2：某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（    ） A．24 B．26 C．30 D．36 【答案】A 【分析】按照分层抽样计数规则计算可得. 【详解】依题意高一年级应抽取的人数为人. 故选：A 变式训练2-2：如图，某学校共有教师200人，按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为（    ） A．18 B．14 C．12 D．6 【答案】A 【分析】根据分层抽样的方法求解即可. 【详解】由题意，青年教师所占比例为， 故用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，被抽到的青年教师的人数为. 故选：A 例2-3：为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】利用分层抽样比与总体抽样比相等即可求出答案. 【详解】依题意，被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为. 故选：A. 变式训练2-3：如图是某校高一年级1000名男生体检时身高的频率分布直方图，现用分层随机抽样的方法从身高在160～175cm的男生中抽取130名，则抽取到的身高在165～170cm的人数为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图分别求出身高在160～175cm和身高在165～170cm的人数，然后根据分层抽样的定义求解即可 【详解】由频率分布直方图可知，高一年级身高在160～175cm的人数有， 高一年级身高在165～170cm的人数， 设抽取到的身高在165～170cm的人数为，则 ，解得， 故选：C 变式训练2-4：为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只，标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚 只． 【答案】160000 【分析】利用重捕标记法中每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，估计该保护区有鹅喉羚的只数. 【详解】设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的， 所以＝，解得x＝160000. 故答案为：160000 （3） 获取数据的途径 例3：以下获取的数据不是通过查询获取的是（    ） A．某领导想了解A市的大气环境质量，向当地有关部门咨询该市的PM2.5的浓度 B．张三利用互联网了解到某市居民平均寿命达到82.2岁 C．某中学为了了解学生对课堂禁用手机的认同度，进行了问卷调查 D．从某公司员工年度报告中获知某种信息 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合收集收集方法的特征，即可求解. 【详解】A，B，D都是通过查询获取的数据，C是通过调查获取的数据． 故选：C. 变式训练3：下列调查中，适宜采用抽样调查的是 （填上所有正确答案的序号）． ①调查某市中小学生每天的运动时间； ②某幼儿园中有位小朋友得了手足口病，对此幼儿园中的小朋友进行检查； ③农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量； ④调查某快餐店中8位店员的生活质量情况． 【答案】①③ 【分析】根据抽样调查适用的范围和条件即可. 【详解】因为②中要对所有小朋友进行检查，所以用全面调查的方式； ④中共8名店员，可采用全面调查的方式； ①③中总体中的个体数多，难以做到全面调查，故采用抽样调查的方式． 故答案为：①③. （4） 用样本估计总统 1. 众数、中位数、平均数 例4：已知一组数据：，，，，，，，，，，则这组数据的中位数与众数之和为（    ） A．122 B．123 C．124 D．125 【答案】D 【分析】根据众数与中位数概念求解. 【详解】由中位数及众数概念可知，中位数，众数， 所以. 故选：D. 变式训练4-1：已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的平均数是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由众数的定义即可得到，再由平均数的计算公式，即可得到结果. 【详解】∵数据0，2，x，4，5的众数是4，， ∴这组数据的平均数是. 故答案为：. 变式训练4-2：下列说法中不正确的是（    ） A．数据2，4，6，8的中位数是4，6 B．数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4 C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数 D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 【答案】A 【分析】由数据的数字特征逐一判断各个选项即可得解. 【详解】数据2，4，6，8的中位数为，显然A错误； 由众数的定义可知，数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4， 一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数，例如这组数据的每个数都相同的时候就满足， 8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，由加权平均数可知，这11个数据的平均数是 故B，C，D都正确． 故选：A 变式训练4-3：下列说法错误的是（    ） A．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 B．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体 C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D．众数是一组数据中出现次数最多的数 【答案】A 【分析】A选项，可举出反例；B选项，根据总体的概念进行判断；CD选项，根据平均数，众数和中位数的概念进行判断. 【详解】A选项，例如一组数据为，平均数也为1， 故一组数据的平均数不一定大于这组数据中的每个数据，A错误； B选项，在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体，B正确； C选项，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，C正确； D选项，众数是一组数据中出现次数最多的数，D正确. 故选：A 变式训练4-4：下列说法不正确的是（    ） A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9 B．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本 C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 D．若样本数据，，的平均数为2，则，，，的平均数为8 【答案】B 【分析】对于A，根据百分位数的定义计算判断，对于B，根据样本的定义分析判断，对于C，根据随机抽样的性质分析判断，对于D，根据平均数的性质分析判断. 【详解】对于A，因为，所以第60百分位数为第5个数是9，所以A正确， 对于B，由题意可知被抽取的200名学生的成绩是样本，所以B错误， 对于C，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是，所以C正确， 对于D，若样本数据，，的平均数为2，则，，，的平均数为，所以D正确， 故选：B 例5：平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数据往右拖尾，即平均数大于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可以判断众数小于中位数，这样即可作出判断. 【详解】 根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论: 众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处. 因为直方图第一、二、三、四列高矩形较多，且在右边拖尾低矩形有三列，所以中位数大于众数， 右边拖尾的有三列，所以平均数大于中位数， 因此有. 故选：C. 变式训练5：如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，不正确的是（ ） A．图（1）的平均数中位数众数 B．图（2）的平均数<众数<中位数 C．图（2）的众数中位数<平均数 D．图（3）的平均数中位数众数 【答案】B 【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：B 例6：如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的（    ） A．四分位数 B．中位数 C．众数 D．均值 【答案】D 【分析】根据平均数的意义可得结果. 【详解】四分位数在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值；中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数；众数一组数据中出现次数最多的数值；平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。所以选择均值较理想. 故选：D 变式训练6-1：上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义，结合本题的题意，可判断出答案. 【详解】根据题意，21位选手成绩的中位数是第11名的成绩，取前10名参加决賽，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的中位数. 故选：B. 变式训练6-2：在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样和按比例分层抽样调查，小明调查的样本量为200，平均数为，小华调查的样本量为100，平均数为．则下列说法正确的是（    ） A．小明抽样的样本容量更大，所以更接近总体平均数 B．小华使用的抽样方法更好，所以更接近总体平均数 C．将两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数165.7更接近总体平均数 D．样本平均数具有随机性，以上说法均不对 【答案】D 【分析】根据简单的随机抽样和分层抽样得定义以及平均数得定义我们会发现样本平均数具有随机性，不确定性，故而选项可判定. 【详解】抽样的样本容量大但有时不具有代表性，不能得到样本平均值更接近总体平均数，故选项A错误： 使用分层的抽样方法样本更具有代表性，但样本容量太小也不能得到样本平均值更接近总体平均数，故选项B错误： 两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数同样兼具两者的不确定性，故选项C错误; 通过对上面三个选项的分析可知样本平均数具有随机性，故选项D正确； 故选：D. 变式训练6-3：某同学掷骰子5次，记录了每次骰子出现的点数，则从以下情况中可以判断出这组数据一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，方差为2.8 D．平均数为2，方差为2.4 【答案】D 【分析】举特例可说明的A、B、C正误，利用方差的计算公式可判断D. 【详解】五次点数分别为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，中位数为2，故A中可出现点数6; 五次点数分别为2，2，3，5，6时，满足中位数为3，众数为2，故中可出现点数6; 五次点数分别为2，3，3，6，6时，满足中位数为3，方差为2.8，故中可出现点数6; 若平均数为2，出现了6，那么方差至少为， 故中不可能出现点数6， 故选：. 变式训练6-4：若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是（    ） A．10，12 B．10，14 C．4，3 D．6，3 【答案】A 【分析】根据平均数、方差的性质计算可得. 【详解】因为一组数据的平均数为4，方差为3， 所以数据的平均数为，方差为. 故选：A 例7：已知全国农产品批发价格200指数月度变化情况如图所示，下列选项正确的是（    ）    A．全国农产品夏季价格比冬季低 B．全国农产品批发价格200指数2023年每个月逐渐增加 C．2023年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数的变化趋势基本保持一致 D．2023年6月农产品批发价格200指数大于116 【答案】C 【分析】由图表直接观察一一分析选项即可. 【详解】对于A,图中给的是批发价格200指数，所以并不能确定农产品的价格变化，故A错误； 对于B，全国农产品批发价格200指数2023年4－6月呈下降趋势，并未增加，故B错误； 对于C，根据图中曲线的变化趋势可发现2023年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数的变化趋势基本保持一致，故C正确； 对于D，2023年6月农产品批发价格200指数在115附近，故D错误． 故选：C 变式训练7：某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（    ）    A．B组打分的极差小于A组打分的极差 B．B组打分的中位数为75 C．A组的意见相对一致 D．A组打分的众数为50 【答案】C 【分析】对于A：根据折线图结合极差的定义分析判断；对于B：将数据按升序排列，结合中位数分析判断；对于C：根据方差的性质分析判断；对于D：根据题中数据结合众数的定义分析判断. 【详解】对于A：观察折线图可知，小组B的极差大于小组A的极差，故选项A错误； 对于B：小组B打分的分值按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75， 所以中间数为66，故中位数为66，故选项B错误； 对于C：小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确； 对于D：小组A打分的分值为：42，47，45，46，50，47，55，50，47， 所以小组A打分的分值的众数为47，故选项D错误． 故选：C． 2. 百分位数 例8：对某批电子元件的使用寿命进行测试，从该批次的电子元件中随机抽取200个进行使用寿命试验，测得的使用寿命（单位：小时）结果如下表所示： 使用寿命（小时） 100 120 150 165 185 200 210 230 个数 8 32 45 35 23 26 19 12 估计这批电子元件使用寿命的第60百分位数为（    ） A．165 B．170 C．175 D．185 【答案】C 【分析】根据百分位数的计算方法计算即可. 【详解】因为为整数，所以该组数据的第60百分位数是将这组数据从小到大排列后第120个数据和第121个数据的平均数，由表知，第120个数据为165，第121个数据为185，所以第60百分位数为. 故选：C. 变式训练8-1：已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（    ） A．90 B．88 C．82 D．76 【答案】A 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】将数据从小到大排列为：55，64，67，76，76，88，90，92， 又， 所以这组数据的第百分位数是. 故选：A 变式训练8-2：一组数据分别是，则该组数据的上四分位数是 ． 【答案】95 【分析】根据百分位数的定义，求出第75百分位数即可. 【详解】将数据从小到大排序：，共7个数； 易知，为非整数； 故上四分位数是第6个数95． 故答案为：95 变式训练8-3：某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下： 班级 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 28 34 34 30 26 28 28 32 则下列说法正确的是（    ） A．得分的众数为34 B．得分的中位数为28 C．得分的75%分位数为33 D．得分的极差为6 【答案】C 【分析】将数据从小到大重新排列，由众数、中位数、百分位数的定义计算即可得C正确，再根据极差的概念可得D错误. 【详解】根据表格中数据可知，出现次数最多的是28，所以得分的众数为28，即A错误； 将8个数据从小到大排列为26，28，28，28，30，32，34，34， 所以中位数为，可知B错误； 易知为整数，所以第75%分位数为第6个和第7个数的平均值，即C正确； 得分的极差为，即D错误. 故选：C 3.频率分布直方图中的众数、中位数、平均数、百分位数 例9：某校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），发现他们的自习时间都在区间[17.5，30]内，将所得的数据分成5组：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如图所示的频率分布直方图，则自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为（    ） A．240 B．180 C．96 D．80 【答案】A 【分析】算出所求区间的频率乘以总人数即可估计. 【详解】由频率分布直方图可知，自习时间在区间[22.5，27.5）内的频率为， 所以自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为． 故选：A． 变式训练9-1：如图是60名学生参加数学竞赛的成绩（均为整数，满分100分）的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）是（    ） A．75% B．25% C．15% D．40% 【答案】A 【分析】根据频率直方图，求出样本中60分及以上的频率，即可估计出概率． 【详解】大于或等于60分的共四组，它们是， 故样本中60分及以上的频率为， 由此可估计这次数学竞赛的及格率为75%， 故选：A． 变式训练9-2：某校高三共有200人参加体育测试，根据规则，82分以上的考生成绩等级为，则估计获得的考生人数约为（    ） A．100 B．75 C．50 D．25 【答案】C 【分析】首先计算出82分以上的考生的频率，即可得获得的考生人数. 【详解】由频率分布直方图可得82分以上的考生的频率约为， 所以获得的考生人数约为人， 故选：C. 变式训练9-3：要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如下图，现再从这100人中用分层抽样的方法抽取20人，应从间抽取人数为b，则b为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先由频率之和为解得值，计算可得之间的学生人数，根据抽样比可求得. 【详解】由题得，所以． 在之间的学生：人， 现再从这人中用分层抽样的方法抽取人， 应从间抽取人数为,故. 故选：C． 例10：从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名学生，将其成绩 〔均为整数〕整理后画出的频率直方图如图所示，则不正确的是（    ） A．估计 这一组的频数是15 B．估计这组数据的众数74.5 C．估计该次环保知识竞赛的平均成绩是72.5 D．估计这组数据的中位数是72.8 【答案】C 【分析】直接利用频率和频数公式求解利用频率分布直方图的公式求众数、中位数、平均数进行逐项判断. 【详解】对于A，频率；频数，A正确； 对于B，一组的频率最大，人数最多，则众数为，B正确； 对于C，平均分为： ，C错误； 对于D，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，所以中位数在区间内， 设中位数为，所以中位数为72.8，D正确. 故选：C. 变式训练10-1：某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则（    ）    A．直方图中x的值为0.020 B．估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分 C．估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分 D．估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为88分 【答案】C 【分析】对于A，由各组的频率和为1求解，对于B，利用平均数的定义求解判断，对于C，利用众数的定义求解，对于D，先判断中位数所在的区间，再列方程求解. 【详解】对于A，由频率分布直方图可知，，解得，所以A不正确， 对于B，由频率分布直方图可知该市普法知识竞赛成绩的平均数为 分，所以B错误， 对于C，由频率分布直方图可知该市普法知识竞赛成绩的众数为95分，所以C正确， 对于D，因为前3组的频率和为，前4组的频率和为， 所以中位数在80到90之间，设中位数，则，解得，所以D错误， 故选：C 变式训练10-2：某游泳馆统计了2023年8月1日到30日某小区居民在该游泳馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说正确的是（    ） A．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的平均值为14 B．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的众数为18 C．已知天数在区间[15,20]的锻炼人数为60，则总共500人参加了锻炼 D．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的中位数约为14.255 【答案】D 【分析】由频率分布直方图可以得到各区间的频率大小，进而可以计算出平均数、众数和中位数，根据频率和频数求出样本容量. 【详解】由图可知，，，，，，的频率分别为，，，，，. 对于A，平均天数为 ， 故A错误； 对于B，最高矩形的高为，则众数位于之间，其底边中点的横坐标是，即众数为，故B错误； 对于C，人，故C错误； 对于D，因为，的频率和为，，，的频率和为， 设中位数为，则，可得，故D正确. 综上所述，错误的有A、B、C. 故选：D 例11：文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.则频率分布直方图中的值为 ；样本成绩的第75百分位数为 . 【答案】 84 【分析】空1：根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；空2：由频率分布直方图求百分位数的计算公式即可求解； 【详解】∵每组小矩形的面积之和为1， ∴， ∴. 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m， 由，得，故第75百分位数为84. 故答案为：；84. 变式训练11-1：某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（    ） ①a的值为0.005 ②估计这组数据的众数为75 ③估计这组数据的下四分位数为60 ④估计成绩高于80分的有300人 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用频率分布直方图的性质判断①，利用众数、百分位数的求法判断②③，根据频率分布直方图计算可估计总体判断④. 【详解】由频率分布直方图可知，解得，①正确； 根据频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数，即众数为75，②正确； 前两组频率之和为，所以这组数据的下四分位数为60，③正确； 成绩高于80分的频率为，所以估计总体成绩高于80分的有人，④正确； 综上①②③④正确， 故选：D 变式训练11-2：某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（    ） A．a＝0.03 B．在4 000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1 320人 C．估计短视频观众的平均年龄为32岁 D．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁 【答案】B 【分析】根据频率和为可构造方程求得，可判断A；由频率和频数的关系可求得观众年龄在岁的人数，可判断B；由平均数和百分位数的计算方法可验证CD. 【详解】对于A，∵(0.015＋0.033＋a＋0.011＋0.011)×10=1， ∴a=0.03，故A错误； 对于B，由频率分布直方图，短视频观众年龄在10～20岁的对应频率为0.15， ∴短视频观众年龄在10~20岁的有4 000×0.15=600(人)，故B错误； 对于C，平均年龄为 ＝(0.015×15＋0.033×25＋0.03×35＋0.011×45＋0.011×55)×10=32(岁)，故C正确； 对于D，设75%分位数为x， 由年龄在10~20岁和20~30岁两组频率是(0.015＋0.033) ×10=0.48， 又年龄在10~20岁和20~30岁，30~40岁三组频率是(0.015＋0.033+0.03) ×10=0.78， 所以75%分位数位于年龄在30~40岁这一组， 则0.015×10＋0.033×10＋(x-30)×0.03=0.75， 解得x=39，故D正确. 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 $$