第2章 二次函数专题练习（最值与存在性问题）-2023-2024学年北师大版九年级数学下册

二次函数专项训练 最值与存在性问题 y轴交于点C,连接AC,BC (1)求出△4BC的面积; (2)如图,点E是直线BC上方抛物线上一点,F是线段BC上一点且满足EF//OC (3)将该抛物线沿射线CB方向平移2个单位得到新的抛物线y',M为y'与y轴的交 点,N为新抛物线y对称轴上一点,点C平移后的对应点为O,在平面内确定一点P. 使得以M,V,P,O为顶点的四边形是以OM为边的菱形,请直接写出所有符合条件的 点P的坐标,并写出其中一种情况的过程 {### 第1页(共25页) 2. 如图,物线y=a2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3). (1)求抛物线的解析式 (2)设点P是直线BC上方抛物线上一点,求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标; (3)若点M是抛物线对称轴上一动点,点N为坐标平面内一点,是否存在以BC为边, 点B、C、M、N为项点的四边形是菱形,若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在, 请说明理由 2 2 第2页(共25页) 3. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2过点(1,3),且交x轴于点A(-1. 0),B两点,交v轴于点C. 备用图 (1)求抛物线的表达式 (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点,过点P作PD上BC于点D,过点P作y 轴的平行线交直线BC于点E,求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标; (3)在(2)中△PDE周长取得最大值的条件下,将该抛物线沿射线CB方向平移5个 单位长度,点M为平移后的抛物线的对称轴上一点,在平面内确定一点N,使得以点A. P,M,N为项点的四边形是菱形,写出所有符合条件的点N的坐标,并写出求解点N的 坐标的其中一种情况的过程 第3页(共25页) 4. 如图,抛物线v=-x2+bx+c的顶点为D(1,4),与x轴交于A和B两点,交v轴于点 C. (1)求抛物线的函数表达式及点A,B、C的坐标; (2)如图1,点P是直线BC上方的抛物线上的动点,当△BCP面积最大时,求点P的 横坐标: (3)如图2,若点M是坐标轴上一点,点N为平面内一点,是否存在这样的点,使以B、 D、M、N为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形?若存在,请直接写出点N的坐标, 若不存在,请说明理由 3 D 图1 图2 第4页(共25页) 5. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2过点(1,3),且交x轴于点A(-1. 0)和B两点,交y轴于点C (1)求抛物线的表达式 (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点,过点P作PDIBC于点D,过点P作 轴的平行线交直线BC于点E,求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标 (3)在(2)中△PDE周长取得最大值的条件下,将该抛物线沿射线CB方向平移5个 单位长度,点M为平移后的抛物线的对称轴上一点,请在平移后的抛物线上确定点N 使得以A,P,M,N项点的四边形是以AP为一边的平行四边形,写出所有符合条件的 点N的坐标 v△ D E 第5页(共25页) 6. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a2+bx+3与x轴交于点A和点B(点A在B的 右侧),与v轴交于点C,若OB=OC一3OA. (1)求a、b的值; (2)如图1,若点E是点C下方v轴上一动点,过E作EF1BC交直线BC于F,求代 数式(2EF-4)·CE的最小值,并求出取得最小值时点F的坐标; (3)如图2,在第(2)问当代数式(2EF-4)·CE取得最小值时的条件下,将抛物 线=a2+x+3向右平移6个单位长度得到新抛物线,平移后的新抛物线与原抛物线相 交于点H,P为直线BC上一点,点O为平面坐标系内一点,直接写出所有使得以点E、 H、P、O为顶点的四边形是萎形的点O的坐标,并写出其中一个点O的坐标的解答过程 备用图 7. 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线v三a2+bx-4与x轴交于A(-1,0),B(4. 第6页(共25页) 0)两点,与v轴交于点C (1)求抛物线的解析式 (2)如图1,连接BC,点P为BC下方抛物线上一动点,连接BP、CP,当△PBC的面 积最大时,请求出P点的坐标和△PBC的面积最大值 △ V△ N 图1 图2 8. 如图1,在平面直角坐标系中,抛物线v=a2+bx+4交x轴于A(-4,0)、B(2,0)两 第7页(共25页) 点,交y轴于点C,连接AC (1)求抛物线的解析式 (2)如图2.点P为线段AC上方的抛物线上一动点,点F为x轴上一个动点,连接PA -FB的最小值,并求出此时P点的坐标 (3)在(2)的条件下,将抛物线沿着射线AC方向平移22个单位,得到新抛物线 点E是新抛物线对称轴上一点,点N是新抛物线上一点,直接写出所有使得以点B、P、 V、E为项点的四边形是平行四边形的点N的坐标 V 图1 图2 9. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=- 2 2 第8页(共25页) (1)求△ABC的面积 (2)如图,过点C作射线CM,交x轴的负半轴于点M,且乙OCM一乙OAC,点P为 线段AC上方抛物线上的一点,过点P作AC的垂线交CM于点G,求线段PG的最大值 及点P的坐标; (3)将该抛物线沿射线AC方向平移5个单位后得到的新抛物线为y'=a2+bx+c(a 子0),新抛物线y”与原抛物线的交点为E,点F为新抛物线y'对称轴上的一点,在平 面直角坐标系中是否存在点O,使以点A、E、F、O为顶点的四边形为菱形?若存在 请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由 备用图 参考答案 第9页(共25页) 3x+3-0.则x=-3或3V3. 即点A、B、C的坐标分别为:(-3,0)、(33,0)、(0,3). 则△4BC的面积=AB·Co=(3\V3\V3) 3=6V3; 2 ##7# (2)由点B、C的坐标知,CBO=30*,则yc-yr= 33 由点B、C的坐标得,直线BC的表达式为:y=- 3 2 则E+]CF=233)(33)3-43 ## 5 3 3 3 3 ## (3)抛物线沿射线CB方向平移2个单位,相当于抛物线向右平移3个单位、向下平 移1个单位,则点o(3,2). 3 ##1 则点M(0,-1). 设点N(23,m),点P(s,t). 由点O、M的坐标得,OM-12. 由点O、M的坐标得:点O向左平移3个单位向下3个单位得到点M, 则点P(N)且.QM=PO向左平移3个单位向下3个单位得到点N(P)且QM=PM, [sV3=2V3 (s3=23 则t+3-n 或t+3=n 12-s2+(t+1)2 (12-s2+(t+1)2 #1=3## 解得: 1t=2 #t-4 故点P的坐标为:(33,2)或(3,-4). 第10页(共25页)