高二数学期末模拟试卷-2023-2024学年高二数学人教B版2019

2023-2024学年高二数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 2．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．的展开式中的系数是（    ） A．10 B． C．5 D． 5． 2024年5月15日是全国低碳日，5月13-19日是全国节能宣传周．现有5位工作人员要到3个社区进行节能宣传，要求每个社区至少派1位工作人员，且每位工作人员只去1个社区，则不同的分派方法种数为（    ） A．92 B．108 C．124 D．150 6．一个不透明的袋子中有5个红球、4个黑球，从中随机地取出一个，观察颜色后再加上3个同色的球放回袋中，再次从袋子中取出一个球，则第二次取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 7．若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 8．已知函数在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（ ） A．若，，则的最大值为4 B．，，则的最小值是4 C．当时，有最大值 D．的最小值为 11．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．， B．函数可能无极值点 C．若是的极值点，则 D．若是的极小值点，则在区间单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 13．如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.（用数字作答）    14．已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，若. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求的值. 16．某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． (1)在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率； (2)从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望． 17．已知正项数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 18．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示. (1)求的值； (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的数学期望. 19．已知函数． (1)讨论在上的单调性； (2)证明： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高二数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·全国·期末）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可. 【详解】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． 2．（23-24高二下·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；由不等式性质可判断C；作差法比较数的大小可判断D. 【详解】对于A：当时，显然不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：B. 3．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，分与两种情况，解不等式，求出解集. 【详解】，故， 当时，有，解得或，即，或； 当时，，解得，即； 综上，不等式的解集是； 故选：B． 4．（23-24高二下·四川成都·期末）的展开式中的系数是（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先得到的通项公式，从而得到，从而得到展开式的系数. 【详解】的通项公式为， 当时，， 当时，， 故展开式中的系数为. 故选：D 5．（23-24高二下·河南濮阳·期末）2024年5月15日是全国低碳日，5月13-19日是全国节能宣传周．现有5位工作人员要到3个社区进行节能宣传，要求每个社区至少派1位工作人员，且每位工作人员只去1个社区，则不同的分派方法种数为（    ） A．92 B．108 C．124 D．150 【答案】D 【分析】由条件求出所有满足条件的分堆方法数，再结合分步乘法计数原理求出安排方法的总数. 【详解】将5位工作人员分成三组，有两种类型，即1，1，3与1，2，2， 其中分成1，1，3三组的方法有种，分成1，2，2三组的方法有种， 一共有种分组方法，将分好的三组全排列有种方法， 则不同的分派方法有种. 故选：D. 6．（23-24高二下·江苏泰州·期末）一个不透明的袋子中有5个红球、4个黑球，从中随机地取出一个，观察颜色后再加上3个同色的球放回袋中，再次从袋子中取出一个球，则第二次取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用全概率公式进行求解即可. 【详解】设事件表示第一次抽取的是红球，，， 事件表示第二次抽取的是红球，因此有， 所以， 故选：C 7．（23-24高二下·四川成都·期末）若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可. 【详解】若等比数列的各项均为正数，所以公比， 且成等差数列，可得, 即得 可得， . 故选：C. 8．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知函数在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数求导，从而将函数单调性问题转化为导数不等式在给定区间上的恒成立问题，继而通过参变分离法求出函数的最值,即可得到参数的范围. 【详解】由函数在区间上单调递增,可得在[1，2]上恒成立， 即， 设，则，，， 故当时，即时，， 故得，即a的最大值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·吉林·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的对称性得，再由及对称性即可判断. 【详解】因为， 所以， 所以. 因为， 所以, . 故选：BC. 10．（23-24高二上·广东茂名·期末）下列说法正确的是（ ） A．若，，则的最大值为4 B．，，则的最小值是4 C．当时，有最大值 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质计算一一判定选项即可. 【详解】对于A，由题意及基本不等式可知：， 当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B，由题意及基本不等式可知：， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C，由题意及基本不等式可知：， 当且仅当，即时取得等号，故C错误； 对于D，易知，令， 则，根据对勾函数的单调性知时函数单调递增， 所以，当即时取得等号，故D正确. 故选：BD 11．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．， B．函数可能无极值点 C．若是的极值点，则 D．若是的极小值点，则在区间单调递减 【答案】ABC 【分析】根据零点存在性定理判断A，利用特例说明B，根据极值点的定义判断C，结合导函数的单调性，说明的单调性，即可判断D. 【详解】函数，， 当时，，当时，， 又当时，，当时，， 又为连续函数，所以，，故A正确； 当时，则，所以在上单调递增，无极值点，故B正确； 三次函数是连续的，若是的极值点，则，故C正确； 若是的极小值点，即，则必有两个不相等的实数根， 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以有极大值点且， 此时在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 【答案】/0.5 【分析】利用已知条件结合基本不等式即可求解． 【详解】正实数x，y满足，所以，解得. 当且仅当，即时取等号，所以最大值为． 故答案为：． 13．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.（用数字作答）    【答案】 【分析】根据题意，得到从西南角A地到东北角B地的最短路线，共有种，再结合在向上和向右的走法中，都需要连续走2步有种，进而得到答案. 【详解】由题意，从西南角A地到东北角B地的最短路线，共需要走9步， 其中4步向上，5步向右，共有种不同的走法， 又由中间的矩形中没有道路，所以在向上和向右的走法中，都需要连续走2步， 共有种不同的走法， 所以从西南角A地到东北角B地的最短路线共有种不同的走法. 故答案为：. 14．（23-24高二下·河北衡水·期末）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意利用定义证明函数在上单调递增，转化不等式，求解即可. 【详解】任取，从而， 因为，所以， 所以，则在R上单调递增. 不等式等价于不等式， 即. 因为在R上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，若. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求的值. 【答案】(1)1 (2)56 (3)2 【分析】（1）利用赋值法即可求解， （2）利用二项式展开式的通项特征即可求解， （3）令，即可利用赋值法求解. 【详解】（1）因为， 令，可得，解得； （2）由（1）可知：，为一次项系数， 由于， 故一次项为，所以， （3）由（1）可知：，且， 令，可得， 则， 所以. 16．（23-24高二下·四川凉山·期末）某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． (1)在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率； (2)从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算得解. （2）求出的可能取值，利用二项分布求出求出分布列及期望. 【详解】（1）设事件A＝{A老师表示通过}，事件B＝{B老师表示通过}，事件C＝{C老师表示通过}，事件D＝{歌手通过晋级}，事件E＝{歌手经过复审}， 则，，， ，因此， 所以在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率为． （2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，显然，， 则， ， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 数学期望为． 17．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知正项数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）已知，求出. （2）先求出，再求出新数列的通项公式，再放缩求和即可. 【详解】（1）当时，,得， 当时，， 又，两式相减得整理得到，，又∵，∴， ∴是首项为1，公差为2的等差数列，∴． （2）∵， ∴时，，时，， ∴ ∴成立． 18．（23-24高二下·四川成都·期末）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示. (1)求的值； (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见详解， (3)0.3 【分析】（1）根据题意结合频率和为1列式求解即可； （2）根据分层抽样可知高度在和的株数分别为2和3，结合超几何分布求分布列和期望； （3）根据题意分析可知，结合二项分布的期望公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为， 因为，解得. （2）由（1）可得高度在和的频率分别为0.1和0.15， 所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3， 可知可取0，1，2，则有： ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 的期望为. （3）因为高度在的频率为0.1， 用频率估计概率，可知高度在的概率为0.1， 由题意可知：，所以. 19．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知函数． (1)讨论在上的单调性； (2)证明： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导函数研究函数的单调性，根据的范围对参数进行分类讨论，确定的符号，从而确定函数的单调性；（2）转化为证明成立，构造函数，再利用导函数的隐零点研究单调性，结合隐零点满足的关系式指对互化并回代入原函数值，变形后利用双勾函数求解范围即可证明. 【详解】（1）由，得， 由，得. 当时，，则，在单调递增； 当时，，则，在单调递减； 当时，由，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）要证，即证， 令，则， 可知在上单调递增． 又， 故在上有唯一的实根，且． 当时，；当时，， 从而当时，有最小值； 由，得， 故 令，则， 则， ，故在上单调递增， ，即， 故得证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$