专题13 基本不等式（十二大题型） -2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题13 基本不等式 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： 1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 【典例例题】 题型一：对基本不等式的理解及简单应用 【典例1-1】（2024·全国·高一专题练习）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·上海宝山·高三海交大附中校考开学考试）下列定理中，被称为幂的基本不等式的是（    ） A．如果，且，那么 B．对任意的实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立 C．对任意的正实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立 D．当，时， 【变式1-1】（2024·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（    ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（2024·全国·高一专题练习）下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为1 C．若，则 D．若，则 题型二：利用基本不等式比较大小 【典例2-1】（2024·高一·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高一·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·浙江·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高三·北京·阶段练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：利用基本不等式证明不等式 【典例3-1】（2024·高一·安徽池州·期中）（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 【典例3-2】（2024·高一·北京·期中）已知a，b都是正实数， (1)试比较与的大小，并证明； (2)当时，求证：． 【变式3-1】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列不等式的证明： (1)对任意的正实数，，，证明：； (2)设，，为正实数，且，证明：. 【变式3-2】（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）已知，，，求证： (1)； (2). 【变式3-3】（2024·高一·全国·课堂例题）设a，b为正数，证明下列不等式成立： (1)； (2). 题型四：直接法求最值 【典例4-1】（2024·高一·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为 ． 【典例4-2】（2024·高一·云南曲靖·期中）若，为正实数，且，则的最大值为 ． 【变式4-1】（2024·高一·四川·期中）已知正数，满足，则的最大值为 ． 【变式4-2】（2024·高二·宁夏吴忠·学业考试）若，且，则的最大值为 . 【变式4-3】（2024·高一·北京·期中）若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 题型五：常规凑配法求最值 【典例5-1】（2024·高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【典例5-2】（2024·高一·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ． 【变式5-1】（2024·高一·上海·专题练习）若，则函数的最小值为 . 【变式5-2】（2024·高二·全国·课后作业）求的最小值 . 【变式5-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知，则的最大值为 ． 题型六：消参法求最值 【典例6-1】（2024·高一·江苏常州·阶段练习）已知，且，则最大值为 ． 【典例6-2】（2024·江苏·高一专题练习）若，，且，则的最小值是（    ） A．5 B．8 C．13 D．16 【变式6-1】（2024·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 题型七：换元求最值 【典例7-1】（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【典例7-2】（2024·全国·高一专题练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【变式7-1】（2024·高一·全国·专题练习）函数 的最小值为 ． 【变式7-2】（2024·浙江·高二校联考阶段练习）若实数，满足，则的最小值为 ． 【变式7-3】（2024·浙江·高三校联考阶段练习）设，为正实数，若，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型八：“1”的代换求最值 【典例8-1】（2024·高一·湖南·期中）已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 【典例8-2】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【变式8-1】（2024·高一·湖南邵阳·阶段练习）若，且，则的最小值为 ． 【变式8-2】（2024·高一·云南昭通·期末）已知实数，，且，则的最小值是 ． 【变式8-3】（2024·高一·河北张家口·开学考试）设且，则的最小值为 ． 题型九：万能K法 【典例9-1】（2024·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例9-2】（2024·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（       ） A． B． C． D． 题型十：条件等式求最值 【典例10-1】（2024·高一·江西·阶段练习）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【典例10-2】（2024·高一·广西·期末）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【变式10-1】（2024·高一·安徽芜湖·期末）若实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式10-2】（2024·高一·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 题型十一：利用基本不等式求解恒成立问题 【典例11-1】（2024·高一·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例11-2】（2024·高一·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【变式11-1】（2024·高一·陕西汉中·期末）“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式11-2】（2024·高一·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2024·高一·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十二：基本不等式在实际问题中的应用 【典例12-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【典例12-2】（2024·高一·湖北·期末）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 【变式12-1】（2024·高一·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【变式12-2】（2024·高一·新疆·期中）求最值问题． (1)已知的最小值； (2)用一段长为篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积为多少？ 【变式12-3】（2024·高一·广东深圳·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额） 【变式12-4】（2024·高一·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·全国·课后作业）下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·山东·阶段练习）已知正实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 5．（2024·高一·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（2024·高一·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·高一·全国·期中）小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长､宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高一·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024·高一·江西南昌·期末）已知，则的最小值是 ． 12．（2024·高一·河南商丘·期末）设，则的最小值为 . 13．（2024·高一·安徽六安·期中）当时，的最大值为 . 14．（2024·高一·重庆·期中）若、为正实数，且，则的最大值为 . 15．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）设为正实数，且，则的最小值为 16．（2024·高一·江苏盐城·期中）已知，且，那么的最小值为 . 17．（2024·陕西咸阳·一模）已知，且，则的最小值为 ． 18．（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）已知实数，且，则的最小值是 . 19．（2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 20．（2024·高三·贵州·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 三、解答题 21．（2024·高一·江苏·假期作业）已知，，，且．求证：． 22．（2024·高一·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 23．（2024·高一·吉林延边·阶段练习）若实数满足，则称比远离. (1)若2比远离1，求x的取值范围； (2)设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. (3)若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 24．（2024·高一·安徽安庆·开学考试）（1）已知，求的最大值. （2）已知且，求的最大值. 25．（2024·高一·河南·阶段练习）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 基本不等式 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： 1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 【典例例题】 题型一：对基本不等式的理解及简单应用 【典例1-1】（2024·全国·高一专题练习）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C 【典例1-2】（2024·上海宝山·高三海交大附中校考开学考试）下列定理中，被称为幂的基本不等式的是（    ） A．如果，且，那么 B．对任意的实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立 C．对任意的正实数a和b，总有，且等号当且仅当时成立 D．当，时， 【答案】C 【解析】只有选项C中不等式左边是两个正数的算术平均数，右边是几何平均数，这个不等式称为幂的基本不等式． 故选：C． 【变式1-1】（2024·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（    ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】当时，①中的不等式是错误的，①错； 因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对； （当时，无解，等号不成立），故③错； 因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对． 故选: B． 【变式1-2】（2024·全国·高一专题练习）下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为1 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，，当时，，当且仅当等号成立， 当时，，当且仅当等号成立， 当异号时，，当且仅当即等号成立，故A错误； 对于B，当，则由，当且仅当，显然等号不成立，故错误， 对于C，若，则，当且仅当即等号成立，故C错误； 对于D，若，则，当且仅当或等号成立，故D正确. 故选：D. 题型二：利用基本不等式比较大小 【典例2-1】（2024·高一·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，又，所以，正确； 对于C，因为，所以，，所以，错误； 对于D，因为，所以，所以， 又，所以即，错误； 故选：B. 【典例2-2】（2024·高一·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设甲乙两地相距s，则平均速度故A错误，B错误； 又∵，∴， 根据基本不等式及其取等号的条件可得：， ∴，即， 故C正确，D错误． 故选：C． 【变式2-1】（2024·高一·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 【变式2-2】（2024·高一·浙江·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，可得，当且仅当a=b时，等号成立，可知选项A错误； 若可得则，可知选项B错误； 由于，可得，可知选项C正确； 若可得则，可知选项D错误； 故选：C. 【变式2-3】（2024·高三·北京·阶段练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，故A错； ，，即，可得，，故B错； ，，且，则，故C正确； ，，而，则，故D错. 故选：C 题型三：利用基本不等式证明不等式 【典例3-1】（2024·高一·安徽池州·期中）（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 【解析】（1）证明：由，得， 所以， 当且仅当即，时等号成立， 所以； （2）证明：由题意知，，且， 所以， 即. 同理可得， 所以， 即证. 【典例3-2】（2024·高一·北京·期中）已知a，b都是正实数， (1)试比较与的大小，并证明； (2)当时，求证：． 【解析】（1）结论：，当且仅当时，等号成立. 证明： ， 因为a，b都是正数，所以，当且仅当时，等号成立， 即，当且仅当时，等号成立； （2）因为a，b，c都是正数，且， 所以 ， 当且仅当时，等号成立． 【变式3-1】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列不等式的证明： (1)对任意的正实数，，，证明：； (2)设，，为正实数，且，证明：. 【解析】（1）由基本不等式可得， 所以， 即 当且仅当时取等； （2）因为 所以，即， 因为 所以， 所以，当且仅当时取等 【变式3-2】（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）已知，，，求证： (1)； (2). 【解析】（1） ∵，，，∴，， 当且仅当时，等号成立.∴； （2）∵，，∴，当且仅当时，等号成立； ∵，，∴，当且仅当时，等号成立； ∵，，∴，当且仅当时，等号成立； 累加，得，证毕. 【变式3-3】（2024·高一·全国·课堂例题）设a，b为正数，证明下列不等式成立： (1)； (2). 【解析】（1）因为a，b为正数，所以，也为正数. 由基本不等式，得， 当且仅当，即时，取得等号. 所以原不等式成立； （2）因为a，b为正数，所以，也为正数. 由基本不等式，得，， 所以， 当且仅当，，即时，取得等号. 因此，原不等式成立. 题型四：直接法求最值 【典例4-1】（2024·高一·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】， 由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 故答案为： 【典例4-2】（2024·高一·云南曲靖·期中）若，为正实数，且，则的最大值为 ． 【答案】1 【解析】因为，为正实数，且， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故答案为:1 【变式4-1】（2024·高一·四川·期中）已知正数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 当且仅当时，等号成立．故的最大值为4． 故答案为： 【变式4-2】（2024·高二·宁夏吴忠·学业考试）若，且，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由，且，得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 【变式4-3】（2024·高一·北京·期中）若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 【答案】 4; 1 【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是4，此时的值为1. 故答案为：①4；②1. 题型五：常规凑配法求最值 【典例5-1】（2024·高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 【典例5-2】（2024·高一·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，则，则， 当且仅当时，等号成立， 所以，当时，函数的最小值为. 故答案为：. 【变式5-1】（2024·高一·上海·专题练习）若，则函数的最小值为 . 【答案】3 【解析】由题意，， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为3. 故答案为：3. 【变式5-2】（2024·高二·全国·课后作业）求的最小值 . 【答案】9 【解析】将分子配方凑出含有的项，再将其分离，利用基本不等式即可求解. ， ，， ， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 【变式5-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【解析】由且，即且，可得， 则，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为2. 故答案为：2 题型六：消参法求最值 【典例6-1】（2024·高一·江苏常州·阶段练习）已知，且，则最大值为 ． 【答案】 【解析】由且，可得，代入， 又， 当且仅当，即， 又，可得，时，不等式取等， 即的最大值为， 故答案为：． 【典例6-2】（2024·江苏·高一专题练习）若，，且，则的最小值是（    ） A．5 B．8 C．13 D．16 【答案】C 【解析】由题意，，得， 故， 由于，故， 当且仅当即时取等号，即， 故的最小值是13， 故选：C 【变式6-1】（2024·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 由，得， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 故选：D 【变式6-2】（2024·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】8 【解析】因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以，当且仅当即时取等． 则的最小值为. 故答案为：. 题型七：换元求最值 【典例7-1】（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 故答案为：. 【典例7-2】（2024·全国·高一专题练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【答案】 【解析】令，则， 可得，即， 且， ∵， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， ∴， 即的最大值是. 故答案为：. 【变式7-1】（2024·高一·全国·专题练习）函数 的最小值为 ． 【答案】7 【解析】令，；则 (当且仅当，即时，等号成立)， 故函数 ，的最小值为 故答案为：7 【变式7-2】（2024·浙江·高二校联考阶段练习）若实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】因，则， 即， 令，则， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 故答案为： 【变式7-3】（2024·浙江·高三校联考阶段练习）设，为正实数，若，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】因为，为正实数，且， 令，，则， 则， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D． 题型八：“1”的代换求最值 【典例8-1】（2024·高一·湖南·期中）已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 【答案】 / / 【解析】因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值16. 故答案为：①，②. 【典例8-2】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式8-1】（2024·高一·湖南邵阳·阶段练习）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 【变式8-2】（2024·高一·云南昭通·期末）已知实数，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为实数，，， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【变式8-3】（2024·高一·河北张家口·开学考试）设且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 题型九：万能K法 【典例9-1】（2024·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 故选：B. 【典例9-2】（2024·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，设，代入方程得：， 所以，即的最小值为：. 故选：D. 题型十：条件等式求最值 【典例10-1】（2024·高一·江西·阶段练习）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】正数a，b满足，则， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值8. 故选：C 【典例10-2】（2024·高一·广西·期末）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【解析】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 故选：B 【变式10-1】（2024·高一·安徽芜湖·期末）若实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由可知，则，代入得：， 当时等号成立，即当时，取得最小值. 故选：D. 【变式10-2】（2024·高一·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】由，，可得，则 则 ， 当，得时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：A 题型十一：利用基本不等式求解恒成立问题 【典例11-1】（2024·高一·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 【典例11-2】（2024·高一·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【解析】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9. 故选：D 【变式11-1】（2024·高一·陕西汉中·期末）“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，对于任意正实数， ．当且仅当时等号成立， 所以：是对于任意正实数恒成立的充分条件； 同理：若时， ，当且仅当时等号成立， 也成立， 故不是对于任意正实数恒成立的必要条件． 综上：是对于任意正实数恒成立的充分不必要条件． 故选：A． 【变式11-2】（2024·高一·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 【变式11-3】（2024·高一·天津西青·期末）已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，即， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 题型十二：基本不等式在实际问题中的应用 【典例12-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，而， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 故选：B 【典例12-2】（2024·高一·湖北·期末）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 【答案】B 【解析】依题意，为正数，且， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为， 则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济. 故选：B 【变式12-1】（2024·高一·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【解析】（1）由题意，， . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【变式12-2】（2024·高一·新疆·期中）求最值问题． (1)已知的最小值； (2)用一段长为篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积为多少？ 【解析】（1）因为，则， 当且仅当，即时等号成立, 所以的最小值为. （2）设矩形菜园平行于墙的一边长为，与之相邻的边长为，菜园的面积为， 则，. 因为，所以，即， 由基本不等式得. 当，即，时，菜园的面积最大，最大面积是. 因此，当矩形菜园平行于墙的一边长为，与之相邻的边长为时，菜园的面积最大，最大面积是. 【变式12-3】（2024·高一·广东深圳·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额） 【解析】方案二更合理，理由如下： 设为前年的总盈利额，单位：万元； 由题意可得， 方案一：总盈利额， 当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备，总利润为万元； 综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适. 【变式12-4】（2024·高一·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【解析】由题可知 因为，当且仅当，即时取等号， 所以在时取最小值， 于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·全国·课后作业）下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故错误. 故选：C 2．（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，利用基本不等式得出， 因为，则，， 所以，， ∴. 故选：B 3．（2024·高一·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以. 故选：A. 4．（2024·高一·山东·阶段练习）已知正实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【解析】由，得， 因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 5．（2024·高一·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即 解得 故实数的取值范围是 故选：C 6．（2024·高一·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】因为，所以，，， 恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为4. 故选：B 7．（2024·高一·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故，， ，，故， 当且仅当，即时取等号，故， 最小值是16，由不等式恒成立可得. a的取值范围是， 故选：B. 8．（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知 ， 所以可得； 当且仅当，即时，等号成立； 依题意需满足，所以. 故选：D 9．（2024·高一·全国·期中）小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长､宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设矩形菜园中平行于墙的边长度为，垂直于墙的边长度为，菜园面积， 则，当且仅当时取等号. 故选：A. 10．（2024·高一·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 在中，， 又，所以， 在中，，故， 得到， 所以， 所以，即， 故选：D. 二、填空题 11．（2024·高一·江西南昌·期末）已知，则的最小值是 ． 【答案】16 【解析】由题意得，解得， 等号成立当且仅当，所以的最小值是16. 故答案为：16. 12．（2024·高一·河南商丘·期末）设，则的最小值为 . 【答案】5 【解析】，， 当且仅当时取等号，所以的最小值为5. 故答案为：5 13．（2024·高一·安徽六安·期中）当时，的最大值为 . 【答案】1 【解析】因为，所以，则， 所以，当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为1. 故答案为：1 14．（2024·高一·重庆·期中）若、为正实数，且，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为，即，即，所以， 又、为正实数，所以， 当且仅当，即、时取等号. 故答案为： 15．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）设为正实数，且，则的最小值为 【答案】 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 16．（2024·高一·江苏盐城·期中）已知，且，那么的最小值为 . 【答案】/ 【解析】因，则， 则，当且仅当，即时取等号. 故答案为： 17．（2024·陕西咸阳·一模）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由，， 得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 18．（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）已知实数，且，则的最小值是 . 【答案】 【解析】因为，则，，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即，所以，，故的最小值为. 故答案为：. 19．（2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由正数，满足，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 20．（2024·高三·贵州·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】/1.8 【解析】因为，所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 三、解答题 21．（2024·高一·江苏·假期作业）已知，，，且．求证：． 【解析】因为a，b，c都为正实数，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以． 22．（2024·高一·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【解析】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 23．（2024·高一·吉林延边·阶段练习）若实数满足，则称比远离. (1)若2比远离1，求x的取值范围； (2)设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. (3)若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 【解析】（1）根据题意可得：＞， 所以＜1，解得＜x＜2； （2）比更远离, 理由如下：要证比更远离,只要证， 即证， 因为，所以， 所以只要证，即证， 因为，所以， 所以， 所以比更远离； （3）因为，当且仅当时等号成立， 所以，从而， ①， ， 即；   ②时，， ， 即， 综上：，即比更远离. 24．（2024·高一·安徽安庆·开学考试）（1）已知，求的最大值. （2）已知且，求的最大值. 【解析】（1）由题意，令，解得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）由题意，令，可得， 因为，可得，即， 又由柯西不等式，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得，所以实数的最大值为. 25．（2024·高一·河南·阶段练习）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【解析】（1）（1）由题意可得，， 所以， 即. （2）当时，； 当时，，对称轴，； 当时，由基本不等式知， 当且仅当，即时等号成立，故， 综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$