专题训练—一元一次方程及应用2023-2024学年北师大版数学七年级上册

一元一次方程及应用 一、一元一次方程的定义 【方法点拨】一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 例1、已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+7＝0是关于x的一元一次方程，则m＝　 　． 变式1-1、方程（a+2）x2+5xm﹣3﹣2＝3是一元一次方程，则a+m＝　 　． 二、一元一次方程的解 【方法点拨】一元一次方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”。 例1、已知x＝1是方程k的解，则k的值是（　　） A．4 B． C． D．﹣4 变式1-1、若x＝1是方程﹣2mx+n﹣1＝0的解，则2019+n﹣2m的值为（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2019或2020 变式1-2、已知方程3x﹣3＝2x的解为a+2，求关于x的方程3x﹣2（x﹣a）＝3a的解． 三、解一元一次方程 【方法点拨】解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 例1、解方程： （1）3（2x+5）＝2（4x+3）+1； （2）1． 变式1-1、解方程： （1）2x+1； （2）[x（x﹣1）]（x﹣2）． 变式1-2、解方程 （1）（x﹣4）3 （2）1 四、一元一次方程解的情况 1、整数解问题 例1、关于x的方程kx-k=2x-5的解为整数，求k。 变式1-1、关于的方程3m（x-3）=4m（1-）-1的解为正整数，求整数m。 变式1-2、关于x的方程（k-5）x+6=1-5 x的解为整数，求正整数k。 变式1-3、关于x的方程9x-3=k x +14的解为正整数，气球整数k。 2、有解、无解 例1、已知关于x的方程3 x -3=2a（x +1）无解，求a。 变式1-1、已知关于x的方程4k（x +2）-1=2 x无解，求k。 例2、已知关于x的方程2a（x -1）=（5-a）x +3b有无穷多解，求a、b的值。 变式2-1、关于x的方程2m（3 x +2）-1=（2n+1）x有无穷多解，求m、n。 四、同解方程 【方法点拨】如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 例1、如果关于x的方程4x﹣2m＝3x+2和x＝2x﹣3的解相同，那么m＝ 　． 变式1-1、已知，关于x的方程2（x﹣1）+3＝x与3（x+m）＝m﹣1有相同的解，则以y为未知数的方程yy+m＝6﹣y的解为（　　） A．5 B．6 C．﹣5 D．﹣6 变式1-2、已知关于x的方程3[x﹣2（x）]＝4x和1有相同的解，求这个解． 五、解含绝对值的一元一次方程 例1、若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x|＝1，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 变式1-1、根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5 解：方程|2x+4|＝5可化为： 2x+4＝5或2x+4＝﹣5 当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所从x 当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x 故，方程|2x+4|＝5的解为x或x （1）解方程：|3x﹣2|＝4； （2）已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值； （3）在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是　 　（直接写结果，不需要过程）． 变式1-2、先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：|2x|＝1． 解：讨论：①当x≥0时，原方程可化为2x＝1，它的解是x． ②当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝1，它的解是x． ∴原方程的解为x和． 问题（1）：依例题的解法，方程|x|＝2的解是　 　； 问题（2）：尝试解绝对值方程：2|x﹣2|＝6； 问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：|x﹣2|+|x﹣1|＝5． 六、与一元一次方程有关的新定义问题 例1、我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为x＝2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是差解方程． （1）判断：方程3x＝4.5　 　差解方程（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程4x＝m+3是差解方程，求m的值． 变式1-1、我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为a+b，则称该方程为“合并式方程”，例如：3x的解为，且，则该方程3x是合并式方程． （1）判断x＝1是否是合并式方程并说明理由； （2）若关于x的一元一次方程5x＝m+1是合并式方程，求m的值． 变式1-2、定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程2x+4＝0中，2﹣4＝﹣2，方程的解为x＝﹣2，则方程2x+4＝0为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题： （1）方程2x+3＝0是妙解方程吗？试说明理由． （2）已知关于x的一元一次方程3x+m＝0是妙解方程．求m的值． （3）已知关于x的一元一次方程2x+a﹣b＝0是妙解方程，并且它的解是x＝b．求代数式ab的值． 七、一元一次方程的应用（年龄问题） 例1、今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄比儿子年龄的4倍还大1岁，设今年儿子x岁，则可列方程为（　　） A．4x+1+5＝3（x+5） B．3x﹣5＝4（x﹣5）+1 C．3x+5＝4（x+5）+1 D．4x﹣5＝3（x﹣5）+1 变式1-1、爷爷快到八十大寿了，小莉想在日历上把这一天圈起来，但不知道是哪一天，于是便去问爸爸，爸爸笑笑说：“在日历上，那一天的上下左右4个日期的和正好等于那天爷爷的年龄”．那么小莉的爷爷的生日是在（　　） A．16号 B．18号 C．20号 D．22号 变式1-2、今年小李的年龄是他爷爷年龄的五分之一，小李发现：12年之后，他的年龄变成爷爷的年龄三分之一．求小李爷爷今年的年龄． 八、一元一次方程的应用（折扣问题） 例1、某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利10%，若该书的进价为24元，则标价为（　　） A．30元 B．31元 C．32元 D．33元 变式1-1、某商店以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么商店卖出这两件衣服总的是（　　） A．亏损10元 B．不赢不亏 C．亏损16元 D．盈利10元 变式1-2、由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（　　） A．230元 B．250 元 C．270元 D．300 元 十、一元一次方程的应用（利润问题） 例1、某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 （1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ （2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？ 变式1-1、武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，售价800元；乙种服装商品每件售价1200元，可盈利50%． （1）每件甲种服装利润率为　 　，乙种服装每件进价为　 　元； （2）若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，恰好总进价用去27500元，求商场销售完这批服装，共盈利多少？ （3）在元旦当天，武汉大洋百货实行“满1000元减500元的优惠”（比如：某顾客购物1200元，他只需付款700元）．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减500元”的活动．张先生买了一件标价为3200元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了20元钱问大洋百货商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加活动？ 变式1-2、平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为40%；乙种商品每件进价80元，售价128元． （1）甲种商品每件进价为　 　元，每件乙种商品利润率为　 　． （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ （3）在“元旦“期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动：按下表优惠条件， 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于480元 不优惠 超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠 超过680元 按购物总额给予7.5折优惠 若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 十一、一元一次方程的应用（工程问题） 例1、一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做8天完成．若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工作的．若设甲一共做了x天，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 变式1-1、一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要（　　）天才能完成该工程． A．6 B．7 C．6 D．7 变式1-2、某街道1000米的路面下雨时经常严重积水．需改建排水系统．市政公司准备安排甲、乙两个工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案： 方案一：甲、乙两队合作施工，那么12天可以完成； 方案二：如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独施工，还需15天才能完成． （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？ 十二、一元一次方程的应用（行程问题） 例1、甲、乙两人骑自行车分别从相距36km的两地匀速同向而行，如果甲比乙先出发半小时，那么他们在乙出发后经3小时甲追上乙；如果乙比甲先出发1小时，那么他们在甲出发后经5小时甲才能追上乙．请问：甲、乙两人骑自行车每小时各行多少千米？ 变式1-1、A、B两地相距1000千米，甲列车从A地开往B地；2小时后，乙列车从B地开往A地，经过4小时与甲列车相遇．已知甲列车比乙列车每小时多行50千米．甲列车每小时行多少千米？ 变式1-2、A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地． （1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间； （2）当两车相距120km时，求轿车行驶的时间； （3）若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为2.2h，求C地距离A地路程． 十三、一元一次方程的应用（方案问题） 例1、2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表： 数量（张） 1﹣50 51﹣100 101张及以上 单价（元/张） 60元 50元 40元 如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元． （1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？ （3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？ 变式1-1、当涂大青山有较为丰富的毛竹资源．某企业已收购毛竹110吨，根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利100元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1000元；如果进行精加工，每天可加工1.5吨，每吨可获利5000元，由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批毛竹全部销售．为此研究了两种方案： （1）方案一：将收购毛竹全部粗加工后销售，则可获利　 　元； 方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利　 　元． （2）是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由． 变式1-2、某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有45座和60座两种型号的客车可供租用 （1）已知60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元，会务组第一天在这家公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元，求45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元？ （2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案 方案1：若只租用45座的客车，会有一辆客车空出30个座位； 方案2：若只租用60座客车，正好坐满且比只租用45座的客车少用两辆 ①请计算方案1、2的费用； ②从经济角度考虑，还有方案3吗？如果你是会务组负责人，应如何确定最终租车方案，并说明理由． 综合练习 1、小明解方程1时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1，试求a的值，并正确地求出原方程的解． 2、解方程： （1）（3x﹣1）﹣2（3x+2）（2x﹣3）；（2）1.5． 3、关于x的方程x-a= x+142有一个正整数解，求最小正整数a。 6、已知，关于x的方程（3a-b）x=8b-1仅有正整数解，并且和关于x的方程（3b-a）x=8a-1是同解方程，若a0，，求这个方程的解。 7、我们把解相同的两个方程称为同解方程．例如：方程：2x＝6与方程4x＝12的解都为x＝3，所以它们为同解方程． （1）若方程2x﹣3＝11与关于x的方程4x+5＝3k是同解方程，求k的值； （2）若关于x的方程3[x﹣2（x）]＝4x和1是同解方程，求k的值； （3）若关于x的方程2x﹣3a＝b2和4x+a+b2＝3是同解方程，求14a2+6ab2+8a+6b2的值． 8、阅读下列材料： 我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用： 例1：解方程|x|＝4． 容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的x＝±4； 例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5． 由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，﹣1和2的距离为3，满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边．若x对应的点在2的右边，如图1可以看出x＝3；同理，若x对应点在﹣1的左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x＝﹣2． 例3：解不等式|x﹣1|＞3． 在数轴上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距离为3的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2的左边或在4的右边的x值就满足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解为x＜﹣2或x＞4． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x+3|＝5的解为　 　； （2）方程|x﹣2017|+|x+1|＝2020的解为　 　； （3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范围． 9、定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”． 如方程2x＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”． （1）若关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝x+1是“兄弟方程”，求m的值； （2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0是“兄弟方程”，求这两个方程的解． 10、古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪）的墓碑上记栽着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出： （1）丢番图的寿命； （2）丢番图开始当爸爸时的年龄； （3）儿子死时丢番图的年龄． 11、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？ 12、某超市第一次用3600元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品80件，乙种商品120件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为30元/件．（注：获利＝售价﹣进价） （1）该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价a%销售，乙种商品按原售价降价a%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多260元，那么a的值是多少？ 13、某小区建完之后，需要做内墙粉刷装饰，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷160个房间，乙工程队每天能粉刷240个房间．且单独粉刷这些墙面甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷的过程中，该开发商要付甲工程队每天费用1600元，付乙工程队每天费用2600元． （1）求这个小区共有多少间房间？ （2）为了尽快完成这项工程，若先由甲、乙两个工程队按原粉刷速度合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的粉刷速度提高25%，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多4天，求乙工程队共粉刷多少天？ （3）经开发商研究制定如下方案： 方案一：由甲工程队单独完成； 方案二：由乙工程队单独完成； 方案三：按（2）问方式完成： 请你通过计算帮开发商选择一种既省时又省钱的粉刷方案． 14、甲、乙两汽车从A市出发，丙汽车从B市出发，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶45千米，丙车每小时行驶50千米．如果三辆汽车同时相向而行，丙车遇到乙车后10分钟才能遇到甲车，问何时甲丙两车相距15千米？ 15、现有A、B两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，A地可运出粮食80吨，B地可运出粮食60吨，其中甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费如下：从A基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从B基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨200元和300元．设A地运送到甲中心粮食为x吨 （1）请根据题意填写下表（填写表中所有空格）： 运往甲地 运往乙地 A B （2）若某次运送总运费共花去50000元，请指出当时的调运方案； （3）按照题（2）的调运方案，从A基地往甲中心运送粮食，在运输途中的E地接到F地商家的一个电话，该商家需要25吨．已知A基地与E地之间的运费为每吨520元，甲中心与F地之间的运费为每吨480元．现A基地有两种方案运送到甲中心和F地商家： 方案一：从E地直接运送到F地商家，运到后把剩下的粮食运到甲中心； 方案二：先把粮食运到甲中心，再运25吨到F地商家． 若方案一比方案二的总运费多21000元，则从E地到F地商家的运费是每吨多少元？ 难度提升 1、天然气被公认是地球上最干净的化石能源，逐渐被广泛用于生产、生活中，2019年1月1日起，某天然气有限公司对居民生活用天然气进行调整，下表为2018年、2019年两年的阶梯价格． 阶梯 用户年用气量 （单位：立方米） 2018年单价 （单位：元/立方米） 2019年单价 （单位：元/立方米） 第一阶梯 0﹣300（含） a 3 第二阶梯 300﹣600（含） a+0.5 3.5 第三阶梯 600以上 a+1.5 5 （1）甲用户家2018年用气总量为280立方米，则总费用为　 　元（用含a的代数式表示）； （2）乙用户家2018年用气总量为450立方米，总费用为1200元，求a的值； （3）在（2）的条件下，丙用户家2018年和2019年共用天然气1200立方米，2018年用气量大于2019年用气量，总费用为3625元，求该用户2018年和2019年分别用气多少立方米？ 2、阅读材料： 为落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，本市居民用水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，实施细则如表： 本市居民用水阶梯水价表：（单位：元/立方米） 供水类型 阶梯 户年用水量x（立方米） 水价 自来水 第一阶梯 0≤x≤180 5 第二阶梯 180＜x≤260 7 第三阶梯 x＞260 9 如某户居民去年用水量为190立方米，则其应缴纳水费为180×5+（190﹣180）×7＝970元． （1）若小明家去年用水量为100立方米，则小明家应缴纳的水费为　 　元； （2）若截止10月底，小明家今年共纳水费1145元，则小明家共用水　 　立方米； （3）若小明家全年用水量x不超过270立方米，则应缴纳的水费为多少元？（用含x的代数式表示） 3、成都华联商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价150元，售价200元；乙种商品每件进价350元，售价450元． （1）该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品共100件，销售额为35000元，求甲、乙两种商品各销售了多少件？ （2）假若该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品进行如表优惠活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过3000元 不优惠 超过3000元且不超过4000元 总售价打九折 超过4000元 总售价打八折 按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款2000元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款3240元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 4、小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买．已知两店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是：买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：购买10本以上，每本按标价的8折卖． （1）小明要买20本时，到哪个商店交省钱？ （2）小明要买10本以上时，买多少本时到两个商店付的钱一样多？ （3）小明现有32元钱，最多可买多少本？ 5、李阿姨逛街时发现．大润发超市和永辉超市有如下促销活动（两超市相同商品标价相同）： 大润发：所有商品打8.8折； 永辉：消费总金额不超过100元时，不打折； 消费总金额超过100元，不超过300元时，打9折； 消费总金额超过300元时，300元部分打9折，超出300元部分打8折． （1）李阿姨购买多少元的商品时，两个超市实际付款一样多？ （2）活动期间李阿姨在永辉超市购买了两次商品，第一次实付款99元，第二次实付款286元，请问李阿姨两次购买商品的总价共为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$