1.1.1空间向量及其线性运算（2课时）（导学案）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1《空间向量及其线性运算》导学案 一.学习目标 1.认识空间向量的实际背景，理解空间向量的相关概念（数学抽象、直观想象）； 2.理解与掌握空间向量的线性运算、运算法则、共线向量与共面向量，并能灵活运用其来求解相关的实际问题（数学抽象、数学运算）. 二.学习过程（导学、自学） （一）探究新知1——空间向量的相关概念（互学） 1.空间向量的定义、长度（或模）及表示 （1）定义：如图，与平面向量一样，在空间中我们把具有 和 的量叫做空间向量. （2）长度或模：空间向量的 叫做空间向量的长度或模. （3）表示方法 ①符号表示：空间向量常用黑体的小写字母（印刷体）或带箭头的小写字母（手写体）表示向量. 例如 空间向量(或 ), ( 或 ),(或 )…… ②几何表示：与平面向量一样，空间向量也用 表示，有向线段的 表示空间向量的模. 如图，向量的起点是，终点是，则向量也可以记作 ，其模记为 或 . 在右图的正方体中，过同一个顶点的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为, , ，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量. 2.特殊的空间向量 (1)零向量：与平面向量一样，我们规定，长度为 的向量叫做零向量，记作 0（或）. 注：① 的模为0，即 ； ② 的方向是任意的，即它的方向可以看作任意方向. ③当有向线段的起点与终点重合时，. (2)单位向量：模为 的向量叫做单位向量，通常用表示，即 . 注：任何一个非零向量都有它的单位向量，且 3.空间向量间的特殊关系 （1）相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量 . 如图 向量与为相等向量，记作 . 注：①任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关； ② 同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量或相等向量， 因为向量完全由它的模和方向确定. （2）相反向量 如图，与向量长度 且方向 的向量叫做的相反向量，记作 . 注①向量的相反向量为，且 ； ②向量的相反向量为，且 ； ③规定：的相反向量为，记作 . （3）共线向量(或平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 规定:零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有 . 注： 如图,已知 ,, 是一组平行向量，任作一条与所在直线平行的直线，在上任取一点，则可在上分别作出 ,,． 这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上， 因此，平行向量也叫做 向量 . （4）共面向量 空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合， 因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个 ，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 如图，已知空间向量 ,，以任意点为起点，作向量 ,，我们就可以把它们平移到同一个平面内. （二）探究新知2——空间向量的线性运算（互学） 1.空间向量加法的运算法则 （1）空间向量加法的三角形法则 如图，已知非零向量 ,，在空间中任取一点，作 ,，则向量 叫做 与 的和，记作， 即 . （语言表达）：两个向量的求和，等于先把第一个向量的 和第二个向量的 连接，那么连接第一个向量的 与第二个向量的 得到的向量即为这两个向量的和. 即向量加法的三角形法则简称为“ 相连接”. （2）空间向量加法的平行四边形法则 如图，以同一点为起点的两个已知向量 ,，以为邻边作平行四边形，则以为起点的向量(是平行四边形的对角线)就是向量 与 的和. 即 . 温馨提示 : 应用平行四边形法则的前提是两向量“ ”.向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义. 2.空间向量减法的三角形法则 ①作法 如图，已知非零向量 与 , 在空间内任取一点，作 ， ， ∵据向量加法的三角形法则有 ∴ . ②几何意义 对于具有公共起点的非零向量 与 可以表示为从向量的终点指向向量 的终点的向量. 注：向量减法的运算法则可以简称为具有公共起点的两向量“ 倒相连”. 3.空间向量的数乘运算 （1）定义 一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下： （2） 的长度为： | |= ； （3） 的方向为： ①当时， 的方向与的方向 ； ②当时， 的方向与的方向 ； ③当时， . 温馨提示 A.向量的数乘 仍是一个 ； B. 实数与向量 不能相加减. 5.空间向量的线性运算及其运算律 与平面向量一样， 空间向量的加、减、数乘运算统称为空间向量的线性运算，且空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): （1）交换律: ; （2）结合律: ; （3）分配律: ， . 6.空间中三个不共线向量的和的几何意义 如图，在平行六面体中， 可以发现， . 一般地，对于空间中三个不共面的向量 , ,以任意点为起点， , 为邻边作平行六面体，则 , 的和等于以为起点的平行六面体 所表示的向量； 三.典例分析（互学） 例1 如图，在长方体中，分别为的中点. (1)写出与向量相等的向量; (2)写出与向量相反的向量; (3)写出与向量平行的向量 【解析】 (1)由相等向量的定义知,大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，与相等的向量为 ; (2)由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量,与相反的向量为 ; (3)由平行向量的定义知，方向相同或相反的非零向量为平行向量，与平行的向量为 . 例2 如图，分别是长方体的棱的中点.化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; 【解析】 (1) ； (2) ; (3) ; (4) . 例3 如图，已知平行四边形，过平面外一点作射线，在四条射线上分别取点使 . 求证:四点共面. 证明： ∵ ∴ ,, , , 又∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 向量 共面 又∵ 过同一点 ∴四点共面. 四.达标检测（迁移变通、检测实践） 1.如图，在三棱柱中，(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查空间向量的加减运算，属于容易题． 由空间向量加减运算法则及已知即可求解． 【解答】 解： ． 2.如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查向量的表示法，考查空间向量加法法则等基础知识，是基础题． 利用空间向量加法法则直接求解． 【解答】 解：在三棱柱中，为的中点， 若，，， ． 故选：． 3.（多选题）若向量构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(     ) A. B. C. D. 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查了空间向量共面定理，向量共面的充要条件等基础知识，属于基础题． 利用空间向量共面定理依次对选项判断即可． 【解答】 解：选项A， ， 所以 共面 选项B，     ， 所以 共面 选项C不存在 ， ，使得        ， 则不共面 选项D， ， 则 共面． 故选ABD． 4. ，若三向量共面，则实数_____________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量共面定理，属于基础题． 根据空间向量共面可得，由此列出方程组，求解即可． 【解答】 解：，，，若，，三向量共面， 设， 即， 所以，解得：，所以． 故答案为． 5.如图所示，在三棱锥中，若是正三角形，为其中心，则化简的结果为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的加减法及数乘运算，属基础题． 延长交边于点，根据条件直接计算即可． 【解答】 解：延长交边于点， 则有 ， 即． 故答案为． 6.如图，在直三棱柱中，若，则          用表示 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了空间向量的线性运算，是基础题目． 根据图形，结合空间向量的加法与减法运算法则，即可得出正确的答案． 【解答】 解：在直三棱柱中，，，， ，，， ． 故答案为． 7. 给出下列四个命题： 方向相反的两个向量是相反向量 若，满足且，同向，则 不相等的两个空间向量的模必不相等 对于任意向量，，必有 其中正确命题的序号为           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考察空间向量概念，属于基础题． 结合空间向量概念求解即可． 【解答】 解：对于，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错误 对于，向量是不能比较大小的，故错误 对于，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错误只有正确． 8.如图，已知四面体，，分别是，的中点．化简下列各表达式，并标出化简结果的向量： ；    ；    ． 【答案】解： 因为分别是的中点，所以， ； 因为分别是的中点，所以， ．   【解析】本题考查向量加法，减法，数乘的运算，属基础题． 9.如图，已知，，，分别为四面体的棱，，，的中点，求证：，，，四点共面． 【答案】证明：在中， 因为，分别是，的中点， 所以， 同理， 所以， 所以， 所以，，，四点共面．  【解析】本题主要考查向量平行的判定和向量共面，属于基础题． 由空间公理可知，若两直线平行，则两直线上四点共面，依题意易证，即可证明． 五、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$