第04讲 1.3空间向量及其运算的坐标表示（知识清单+11类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课程标准 学习目标 ①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义 ②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算 ③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明 利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具. 知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 【即学即练1】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 知识点02：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 【即学即练2】（23-24高二上·广东江门·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【即学即练3】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）若向量则，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4、两点间的距离公式 已知，则 题型01空间向量的坐标表示 【典例1】（23-24高二上·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 . 【变式1】（多选）（23-24高二上·福建三明·期末）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 题型02空间向量的坐标运算 【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，求. 【典例3】（23-24高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（23-24高二上·河北·阶段练习）若，，则（    ） A．22 B． C． D．29 【变式2】（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知，则 ． 【变式3】（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2). 题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积） 【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【典例2】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知则（    ） A．(0，34，10) B．(-3，19，7) C．44 D．23 【典例3】（23-24高二下·江苏·课后作业）已知，则 . 【变式1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）若，则 ． 【变式2】（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2). 题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题） 【典例1】（23-24高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【典例2】（23-24高二上·广东·阶段练习）在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，则当 时，取得最小值为 ．    【变式1】（23-24高二上·北京·期中）已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·浙江湖州·期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ． 题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度）） 【典例1】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【典例2】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知向量，则的值是（    ） A． B． C．8 D．12 【变式2】（23-24高二上·北京·期中）已知空间向量，则 ． 【变式3】（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知，则 ． 题型06空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题） 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·四川·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ． 【典例3】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则在，所构成的平面内的投影向量的长度是 ；的最小值是 . 【典例4】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为 ． 【变式1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·陕西西安·期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【变式3】（23-24高一下·广东云浮·期末）如图，在正方体中，，E，M，N，P，Q分别为，，，，的中点，O为平面内的一个动点，则的最小值为 .      【变式4】（23-24高二下·上海宝山·期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 题型07空间向量的夹角问题（坐标形式） 【典例1】（23-24高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【典例2】（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则最大值为 . 【典例3】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 【典例4】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 . 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知向量，，若与夹角为，则的值为 ． 【变式2】（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 【变式3】（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知空间向量． (1)计算和; (2)求与夹角的余弦值． 【变式4】（23-24高二上·全国·期末）已知向量，，，，． (1)求向量，，； (2)求向量与所成角的余弦值． 题型08空间向量的投影向量（坐标形式） 【典例1】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量在向量上的投影向量是，且，则 . 【典例3】（23-24高二上·山东·期中）已知点，，，向量. (1)若，求实数的值； (2)求向量在向量方向上的投影向量. 【变式1】（23-24高二上·河南许昌·期末）已知、、，则向量在上的投影向量的模是 ． 【变式2】（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为 【变式3】（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 题型09空间向量的平行关系（坐标形式） 【典例1】（多选）（23-24高二上·青海西宁·期中）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·广东东莞·期中）已知，，，设，，. (1)判断的形状； (2)若，求的值. 【变式1】（23-24高二上·广东·期中）已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．5 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 . 题型10空间向量的垂直关系（坐标形式） 【典例1】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 【典例2】（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）若向量，且，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【典例3】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知向量，，且，则实数m＝ ． 【变式1】（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式2】（23-24高二上·湖南娄底·期末）已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·福建南平·期末）已知向量，若，则 . 题型11易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数 【典例1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，夹角的余弦值； (2)若与的夹角是钝角，求k的取值范围. 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【变式2】（23-24高二上·广东珠海·阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，令，，则对应的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知空间向量，且共线，则（    ） A．-2 B．2 C．-4 D．4 3．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 6．（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 8．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·福建泉州·期中）在菱形纸片中，E，F分别为，的中点，O是菱形的中心，，，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，以O为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24高二上·浙江·期中）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值2 D．的最小值 三、填空题 11．（23-24高二下·上海·期中）已知，，则 . 12．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ． 四、解答题 13．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知点，，，设，，． (1)若实数使与垂直，求值． (2)求在上的投影向量． 14．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）（1）已知向量，求； （2）求与向量共线，且满足的向量的坐标； （3）已知若，且与垂直，求． B能力提升 1．（23-24高二下·福建·期中）在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P的个数为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 2．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．    4．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则在，所构成的平面内的投影向量的长度是 ；的最小值是 . 5．（23-24高二上·广东珠海·期末）在正方体中，为棱的中点，是正方体内（含边界）一点，满足，若，则的取值范围是 ． C新定义题型 1．（2024高三·全国·专题练习）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点与交于点，且． (1)用向量方法求的长； (2)对于个向量，如果存在不全为零的个实数，，使得，则称个向量叫做线性相关，否则称为线性无关．试判断是否线性相关． 2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．    ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课程标准 学习目标 ①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义 ②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算 ③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明 利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具. 知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 【即学即练1】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出，的坐标，再利用减法的坐标形式计算. 【详解】因为在正方体中，是的中点，， 根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以. 故答案为： 知识点02：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 【即学即练2】（23-24高二上·广东江门·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】先求出和的坐标，再由列方程可求得结果. 【详解】因为，， 所以， ， 因为， 所以，解得， 故选：C 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【即学即练3】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）若向量则，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式计算即得. 【详解】向量，则， ， 所以，的夹角的余弦值为. 故选：C 4、两点间的距离公式 已知，则 题型01空间向量的坐标表示 【典例1】（23-24高二上·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得. 【详解】依题意，，所以， 所以. 故选：D 【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 . 【答案】 【分析】利用向量的运算用表示向量，，，即可得出答案. 【详解】因为，所以向量的坐标为. 因为， 所以向量的坐标为. 因为，所以向量的坐标为. 故答案为：；； 【点睛】本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题. 【变式1】（多选）（23-24高二上·福建三明·期末）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 【答案】BCD 【分析】根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B; 利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D. 【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误； 由空间直角坐标系可知： ,故B正确； 由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确； 点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确， 故选：BCD 题型02空间向量的坐标运算 【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】首先分析题意，作，建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标建立方程，整体代换求解即可. 【详解】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， ，即 ，即C正确, 故选：C. 【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，求. 【答案】，，，， 【分析】 利用空间向量线性运算与数量积的坐标表示即可得解. 【详解】 由题意， ， ， ， ， . 【典例3】（23-24高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3）. 【变式1】（23-24高二上·河北·阶段练习）若，，则（    ） A．22 B． C． D．29 【答案】C 【分析】 利用向量数量积的坐标公式即可求值. 【详解】由，， 得，， 所以． 故选：C． 【变式2】（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】依题意，. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由，可得，. ，故 （2），，可得，，故 题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积） 【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】首先分析题意，作，建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标建立方程，整体代换求解即可. 【详解】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， ，即 ，即C正确, 故选：C. 【典例2】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知则（    ） A．(0，34，10) B．(-3，19，7) C．44 D．23 【答案】C 【分析】应用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可. 【详解】， 所以. 故选：C 【典例3】（23-24高二下·江苏·课后作业）已知，则 . 【答案】 【分析】 根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解. 【详解】 由题意得，， 则. 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】 利用空间向量的坐标运算法则，以及空间向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以， 则. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由，可得，. ，故 （2），，可得，，故 题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题） 【典例1】（23-24高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】 建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】 如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量，则，得， 故可设，，，即. 由于直线与平面平行，则， 得：，即：，，. ， ， 可知，由于，当时，取得最小值，最小值为. 故选：C 【典例2】（23-24高二上·广东·阶段练习）在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，则当 时，取得最小值为 ．    【答案】 / 【分析】根据垂直关系，建立空间直角坐标系，利用坐标表示，利用二次函数求最值. 【详解】因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面，且， 如图，建立空间直角坐标系， ，， 设，，，,， ，得，，， 所以， ,， ， 当时，取得最小值.    故答案为：； 【变式1】（23-24高二上·北京·期中）已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，即，然后计算出，由二次函数性质得最小值，从而得出值，即得点坐标． 【详解】设，即， ， 时，取得最小值，此时点坐标为． 故选：C． 【变式2】（23-24高二上·浙江湖州·期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的坐标运算，利用函数最值求解. 【详解】 如图，设，, ， 因为 所以当时，有最小值， 当或时，都取得最大值， 故选:D. 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ． 【答案】 【分析】设，由点在直线上求出，表示出和，，利用二次函数求出最小值，得到点的坐标. 【详解】设，∵， 则由点在直线OP上可得存在实数λ使得 ， 所以，则， 所以，， 所以， 根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，此时点的坐标为：. 故答案为： 题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度）） 【典例1】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量的垂直和平行，先求出的值，再求所给向量的模. 【详解】由， 由，. 所以. 故选：D 【典例2】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间向量的坐标运算及垂直的性质计算可得的值，再利用模长公式计算即可得解. 【详解】因为，，所以， 因为与垂直，所以，所以， 解得，所以，所以. 故选：B. 【变式1】（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知向量，则的值是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】由于， 则， 于是. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·北京·期中）已知空间向量，则 ． 【答案】 【分析】根据向量加法求出坐标，再根据空间向量模的计算公式即可求解. 【详解】已知空间向量， 则， 则． 故答案为：． 【变式3】（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据结合数量积与模长的公式求解即可. 【详解】由， 有． 故答案为： 题型06空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题） 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，应用向量垂直的坐标表示可得，再应用向量模长的坐标表示及二次函数性质求最小值. 【详解】设，，且，， ∴，，又， ∴，即． ∵， ∴， 当且仅当时等号成立. 故选：B 【典例2】（23-24高三上·四川·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 首先利用向量垂直的坐标表示，求得点的轨迹方程，再代入两点间的距离公式，求线段长度的取值范围. 【详解】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，则， ，又，所以， 即，则． 当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF， 所以，， ， 当时，，当时，， 所以线段的长度的取值范围是． 故答案为： 【典例3】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则在，所构成的平面内的投影向量的长度是 ；的最小值是 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求向量的坐标，由模的坐标运算求在，所构成的平面内的投影向量的长度，由二次函数求最值即可求得的最小值． 【详解】空间中以O点为原点，以，方向为轴正方向，垂直于，方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则 ，设， 由，得，即， 由是单位空间向量可得，， 在，所构成的平面内的投影向量的坐标为，可得其模长为； 设，由，得， 则， ， 当，的最小值是2，所以 ， 若，，，， ， ， 当时，最小值为． 同理，若，，最小值为. 若，，， ， ， 当时，最小值为． 同理，若，，最小值为. 综上所述：的最小值是． 故答案为：；. 【典例4】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先根据垂直关系，建立空间直角坐标系，利用坐标表示，再求的长的最小值． 【详解】因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以两两垂直. 过点M作，垂足分别为G，H，连接，易证. 因为，所以 以B为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以 当，的长最小，且最小值为． 故答案为：． 【变式1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可. 【详解】   依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·陕西西安·期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设E、F坐标，根据得出E、F坐标关系式，利用函数求最值即可. 【详解】 如图所示，以为中心建立空间直角坐标系，设， 则，， ，当时取得最大值. 故选：B 【变式3】（23-24高一下·广东云浮·期末）如图，在正方体中，，E，M，N，P，Q分别为，，，，的中点，O为平面内的一个动点，则的最小值为 .      【答案】 【分析】先根据线面垂直得出E关于面MNPQ的对称点T，,再建系根据两点间距离求解即可. 【详解】延长，与的延长线交于点， 是正方形， ， 易得，又,平面,平面,所以平面， 则平面，．E关于面MNPQ的对称点T, 易知，    以为坐标原点，DA，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系． ，E， P，分别为，的中点, ，，则. 故答案为: . 【变式4】（23-24高二下·上海宝山·期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 题型07空间向量的夹角问题（坐标形式） 【典例1】（23-24高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 【典例2】（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则最大值为 . 【答案】 【分析】根据数量积的夹角公式可得，即可结合基本不等式求解最值. 【详解】由题意可得：， 当时，则， 因为，则，当且仅当，即时等号成立， 所以； 当时，； 综上所述：的最大值为， 故答案为：. 【典例3】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解. 【详解】（1）; （2）, 则； （3），则 【典例4】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，根据夹角公式，代入坐标运算，求其最值即可. 【详解】设， 则， 所以， 既然求最大值，必有，令， 则 ， 当，即时取等号，所以的最大值为. 故答案为：. 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知向量，，若与夹角为，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，，且与夹角为， 则，，， 所以， 由题可知，解得. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可； （2）根据空间向量夹角的坐标运算即可得到答案. 【详解】（1）由题意，，， 所以，； （2）由（1）可知， 又，所以，即与的夹角为. 【变式3】（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知空间向量． (1)计算和; (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1), (2)． 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算公式即可求解；（2）利用空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）由题可得 ． （2）由题可得， ， ,与夹角的余弦值为． 【变式4】（23-24高二上·全国·期末）已知向量，，，，． (1)求向量，，； (2)求向量与所成角的余弦值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示列方程组求解即可； （2）根据向量的坐标与数量积运算，利用公式求解即可. 【详解】（1）因为，，，且，， 所以不为， 所以，解得，，， 所以，，. （2）由（1）可得，， 所以， ，， 所以向量与所成角的余弦值. 题型08空间向量的投影向量（坐标形式） 【典例1】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】由向量，，得，而， 向量在向量上的投影向量. 故选：C 【典例2】（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量在向量上的投影向量是，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，且向量在向量上的投影向量为， 即， 所以. 故答案为： 【典例3】（23-24高二上·山东·期中）已知点，，，向量. (1)若，求实数的值； (2)求向量在向量方向上的投影向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表达式解方程即可； （2）利用投影向量公式计算即可. 【详解】（1）由题意，，， 因为， 所以，即， 得. （2）由题意，，， 所以向量在向量上上的投影向量为：. 【变式1】（23-24高二上·河南许昌·期末）已知、、，则向量在上的投影向量的模是 ． 【答案】/ 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由已知可得，， 所以，向量在上的投影向量的模为 . 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为 【答案】 【分析】根据投影向量的定义，利用坐标运算求解即可. 【详解】由投影向量的定义可知， ， 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 【答案】 【分析】根据空间向量投影向量的坐标运算即可得答案. 【详解】空间向量，则向量在向量上的投影向量是： . 故答案为：. 题型09空间向量的平行关系（坐标形式） 【典例1】（多选）（23-24高二上·青海西宁·期中）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 【典例2】（23-24高二上·广东东莞·期中）已知，，，设，，. (1)判断的形状； (2)若，求的值. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)2 【分析】（1）由空间向量的模长公式可计算的，，结合勾股定理可判断； （2）由空间向量的坐标运算求出的坐标，再结合求出k值即可. 【详解】（1），， 同理，， ，且， 所以是等腰直角三角形. （2），又， ，解得. 所以的值为2. 【变式1】（23-24高二上·广东·期中）已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可. 【详解】∵，且空间向量满足， ∴可设， 又，∴，得． ∴，故A正确. 故选：A. 【变式2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．5 【答案】A 【分析】由向量平行有且，结合已知坐标列方程组求参数即可. 【详解】由题设，且，则，可得. 故选：A 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 . 【答案】9 【分析】先利用空间向量共线定理，得到，由此求出和的值，得到，的坐标，求出 的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可． 【详解】 因为空间向量，，且， 所以设，即 可得，解得，， 所以，，则， 所以. 故答案为：. 题型10空间向量的垂直关系（坐标形式） 【典例1】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据的坐标分别求出与的坐标表示，由与互相垂直，得与的数量积为零即可求解． 【详解】， ， 由与互相垂直， 有， 解得或． 故选：C． 【典例2】（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）若向量，且，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，结合向量垂直的坐标运算，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，所以，解得. 故选：D. 【典例3】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知向量，，且，则实数m＝ ． 【答案】/ 【分析】由已知可得，代入坐标即可求出实数m的值. 【详解】因为，， 所以，， 因为， 所以，解得． 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据两个向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】，∴，解得， 故选：A． 【变式2】（23-24高二上·湖南娄底·期末）已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，可得，从而可求解. 【详解】由题意得因为， 所以，解得，故A正确. 故选：A. 【变式3】（23-24高二上·福建南平·期末）已知向量，若，则 . 【答案】 【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示列出方程即可求解. 【详解】已知向量，若，则，解得. 故答案为：. 题型11易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数 【典例1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合向量共线的坐标关系求解即得. 【详解】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线， 于是，解得，此时，而，即与不共线， 所以x的取值范围是. 故选：C 【典例2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，夹角的余弦值； (2)若与的夹角是钝角，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量，的坐标，再利用向量夹角公式求解即可； （2）利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答. 【详解】（1）因为，，，所以，， 所以， 即，夹角的余弦值为； （2），， 因为与的夹角是钝角，所以且与不共线， 当时，即，解得， 当与共线时，存在实数t，有，于是得， 解得，因此与不共线，则， 所以k的范围是. 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·广东珠海·阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，令，，则对应的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量坐标运算公式计算即可. 【详解】因为，，， 所以，， 所以. 故选：B 2．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知空间向量，且共线，则（    ） A．-2 B．2 C．-4 D．4 【答案】B 【分析】运用空间向量共线坐标公式列方程计算即可. 【详解】因为共线，则存在实数，使得，则，解得. 故选：B. 3．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角. 【详解】∵， ， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为． 故选：C. 4．（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量平行的坐标表示可得答案. 【详解】，， 因为，所以，解得. 故选：A. 5．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量的垂直和平行，先求出的值，再求所给向量的模. 【详解】由， 由，. 所以. 故选：D 6．（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的投影向量公式进行求解. 【详解】， 故在上的投影向量为. 故选：D 7．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据的坐标分别求出与的坐标表示，由与互相垂直，得与的数量积为零即可求解． 【详解】， ， 由与互相垂直， 有， 解得或． 故选：C． 8．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，将为锐角转化为，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则， 则，所以， 所以， ， 由图可知，， 所以为锐角等价于， 所以 又，解得. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高二上·福建泉州·期中）在菱形纸片中，E，F分别为，的中点，O是菱形的中心，，，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，以O为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间直角坐标系，写出对应点坐标可判定A、B、C，由空间向量的数量积公式求夹角可判定D . 【详解】由题意可知：， 所以， 则，，， 易知为钝角，所以. 综上A、C、D三项正确，B项错误. 故选：ACD 10．（23-24高二上·浙江·期中）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值2 D．的最小值 【答案】AB 【分析】利用向量数量积运算的坐标表示，即可判断选项. 【详解】A.若，则，得，故A正确； B.若，则，即，得 ，解得：，故B正确； CD.，当时，的最小值2，故CD错误； 故选：AB 三、填空题 11．（23-24高二下·上海·期中）已知，，则 . 【答案】 【分析】首先求出、的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， ， 所以. 故答案为： 12．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ． 【答案】/ 【分析】 令，根据题设，，进而有，利用数量积的坐标表示及二次函数性质求取得最小值时对应参数值，即可得结果. 【详解】由题设，，则，， 令，则，所以，则， 故， 所以 ， 故当时，取得最小值，此时坐标为. 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知点，，，设，，． (1)若实数使与垂直，求值． (2)求在上的投影向量． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得. （2）利用投影向量的意义求解即得. 【详解】（1）依题意，，， 由与垂直，得，解得， 所以. （2）由（1）知，，， 所以在上的投影向量为. 14．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）（1）已知向量，求； （2）求与向量共线，且满足的向量的坐标； （3）已知若，且与垂直，求． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【分析】（1）先根据已知条件求出的坐标，然后可求出其模； （2）由已知设，再由可求出的值，从而可求出向量的坐标； （3）根据题意列出关于的方程组，解方程组求出，从而可求出向量． 【详解】（1），则 故． （2）因为向量与共线，故可设． 由，得，故， 所以． （3）因为，且与垂直， 所以， 化简得，解得． 故． B能力提升 1．（23-24高二下·福建·期中）在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P的个数为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，则点，，考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为，则由题意可得，，计算，即可得出结论. 【详解】如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴， 以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系. 则点，，考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为， 则由题意可得，. 所以， 故，即， 因为点P是棱上一点（含顶点），所以与正方形切于4个点， 即上底面每条棱的中点即为所求点； 同理P在右侧面的棱上，也有4个点，设点， ， 即与正方形切于个点， 即右侧面每条棱的中点即为所求点； 同理可得：正方体每条棱的中点都满足题意，故点的个数有个. 故选：C 2．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】建立如图空间直角坐标系，设，根据正n棱柱的结构特征，求出对应底面各顶点的x坐标，由可得对应的集合，进而得出对应的，即可求解. 【详解】如图，设AB所在的直线为x轴，过点A且与AB垂直的直线为y轴， 过点A且与平面垂直的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得，设， 则. 因为该几何体为正n棱柱，所以上底面与下底面各顶点的x坐标对应相等. 当时，该几何体为正三棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有5个元素； 当时，该几何体为正方体，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有3个元素； 当时，该几何体为正六棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有9个元素； 当时，该几何体为正八棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则， 所以， 即，共有9个元素； 综上，当时，中的元素数量最少. 故选：B 3．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，显然不是平角，则为钝角时有，解得不等式即可． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，    则； ，， 因为，所以，， 设，则， 即，解得，所以， 则，， ， 与是异面直线，显然不是平角， 则为钝角，有，解得． 所以的取值范围为． 故答案为：. 4．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则在，所构成的平面内的投影向量的长度是 ；的最小值是 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求向量的坐标，由模的坐标运算求在，所构成的平面内的投影向量的长度，由二次函数求最值即可求得的最小值． 【详解】空间中以O点为原点，以，方向为轴正方向，垂直于，方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则 ，设， 由，得，即， 由是单位空间向量可得，， 在，所构成的平面内的投影向量的坐标为，可得其模长为； 设，由，得， 则， ， 当，的最小值是2，所以 ， 若，，，， ， ， 当时，最小值为． 同理，若，，最小值为. 若，，， ， ， 当时，最小值为． 同理，若，，最小值为. 综上所述：的最小值是． 故答案为：；. 5．（23-24高二上·广东珠海·期末）在正方体中，为棱的中点，是正方体内（含边界）一点，满足，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用已知条件列方程，得出点的纵坐标和竖坐标的关系，再由空间向量数量积的坐标运算求解． 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，    因为，则，，，， 设，， 因为，，， 所以，即， 由，得，则，，， 则，， 则 ， 所以当，时，取得最小值； 当或，时，取得最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. C新定义题型 1．（2024高三·全国·专题练习）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点与交于点，且． (1)用向量方法求的长； (2)对于个向量，如果存在不全为零的个实数，，使得，则称个向量叫做线性相关，否则称为线性无关．试判断是否线性相关． 【答案】(1) (2)线性无关． 【分析】（1）设长为，建立空间直角坐标系后由计算即可得； （2）设，计算出的值后即可得. 【详解】（1）设长为，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，， ， 由，故，即有， 解得(负值舍去)，即； （2）由，故， 设实数，使得成立． 则有，解得时，即当且仅当时 ∴线性无关． 2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．    ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【答案】(1) (2)①；②3 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到求向量的斜坐标； ②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 【详解】（1）， 的斜坐标为． （2）设分别为与同方向的单位向量， 则， ① ②由题， 由，知， 由，知： ， ，解得， 则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$