专题11 全称量词与存在量词 （七大题型）-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题11 全称量词与存在量词 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对． 知识点二：存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对． 知识点三：命题的否定 1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 知识点四：全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ． 知识点五：存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 知识点六：命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 知识点七：常见正面词语的否定举例如下： 正面词语 等于 大于（>） 小于（<） 是 都是 否定 不等于 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 【典例例题】 题型一：判断语句是否为命题 【典例1-1】（2024·高一课时练习）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【典例1-2】（2024·江苏·高一假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（2024·高一课时练习）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【变式1-2】（多选题）（2024·全国·高一假期作业）(多选)下列语句是命题的是（    ） A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗? 题型二：命题真假的判断 【典例2-1】（多选题）（2024·全国·高一假期作业）下列四个命题中为真命题的是（    ） A．“”是“”的既不充分也不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C．关于的方程有实数根的充要条件是 D．若集合，则是的充分不必要条件 【典例2-2】（2024·全国·高一假期作业）下列语句是命题的是（    ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 【变式2-1】（2024·全国·高一课堂例题）下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 【变式2-2】（2024·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 【典例3-1】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【典例3-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的个数是（    ） ①任何实数都有平方根; ②所有素数都是奇数; ③有些一元二次方程无实数根; ④三角形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（2024·高一·浙江宁波·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是矩形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【变式3-3】（2024·高二·广西·学业考试）下列命题中，含有存在量词的是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形 C．一切三角形的内角和都等于 D．任意两个等边三角形都相似 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【典例4-1】（2024·高一·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（    ） ①，；②，；③至少有一个实数，使得 A．0 B．1 C．2 D．3 【典例4-2】（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【变式4-1】（2024·高一·辽宁鞍山·期中）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】（2024·高一·广东广州·期中）下列命题中的假命题是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·高一·江苏·专题练习）下列命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围 【典例5-1】（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）若命题“，使”是假命题，则实数的一个可能取值为 . 【典例5-2】（2024·高一·河南三门峡·阶段练习）已知命题是真命题，则的取值范围是 . 【变式5-1】（2024·高一·海南·阶段练习）对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 【变式5-2】（2024·高一·辽宁锦州·期末）已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是 . 【变式5-3】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 【变式5-4】（2024·高一·宁夏吴忠·期中）已知集合，． (1)时，求 (2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围 【典例6-1】（2024·高一·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【典例6-2】（2024·高一·云南曲靖·期中）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 【变式6-1】（2024·高一·四川广安·阶段练习）命题“”为真命题，则取值范围为 ． 【变式6-2】（2024·高一·云南·阶段练习）已知命题，，命题，． (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围． 题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定 【典例7-1】（2024·高一·广东深圳·期中）命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（    ） A．存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B．锐角三角形的三个内角都相等 C．锐角三角形的三个内角都不相等 D．锐角三角形的三个内角不都相等 【典例7-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·高二·陕西西安·期末）若命题，则表述准确的是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式7-2】（多选题）（2024·高一·四川乐山·阶段练习）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数，使 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（    ） ①，；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·高一·广东深圳·阶段练习）下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 3．（2024·高一·青海西宁·阶段练习）以下是真命题的（    ） A．，都有 B．，都有 C．，有 D．，有 4．（2024·高一·江苏·假期作业）命题“”的否定是（   ） A．不存在 B． C． D． 5．（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2024·高二·湖南·期中）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·浙江·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高一·江西南昌·阶段练习）“，”的否定是（    ） A．，使得 B．， C．，使得 D．， 二、多选题 9．（2024·高一·安徽马鞍山·期中）下列命题中，真命题的是（    ） A． B．平行四边形的对角线互相平分 C．对任意的，都有 D．菱形的两条对角线相等 10．（2024·高一·广西梧州·阶段练习）下列四个结论中正确的是（    ） A． B．命题“”的否定是“” C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要不充分条件 11．（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）对下列命题的否定说法正确的是（    ） A．p：能被2整除的数是偶数；¬p：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；¬p：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；¬p：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃n∈N，2n≤100；¬p：∀n∈N，2n>100 三、填空题 12．（2024·高一·湖南常德·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 ． 13．（2024·高一·湖北襄阳·阶段练习）若，，若命题为假且为真，则实数的取值范围是 ． 14．（2024·高一·全国·课后作业）已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（2024·高一·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 16．（2024·高三·安徽合肥·阶段练习）已知命题p：，，q：，若p的否定是假命题，且q是真命题，求实数a的取值范围． 17．（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）已知，，q：关于x的方程有两个不相等的负实数根． (1)若p为真命题，请用列举法表示非负整数a的取值集合； (2)若p，q都是假命题，求a的最大值． 18．（2024·高一·广东汕尾·阶段练习）已知关于x的方程， (1)若，使方程只有一个实数根，求a的值. (2)若，方程至少有一个大于1的根，求集合M. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 全称量词与存在量词 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对． 知识点二：存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对． 知识点三：命题的否定 1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 知识点四：全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ． 知识点五：存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 知识点六：命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 知识点七：常见正面词语的否定举例如下： 正面词语 等于 大于（>） 小于（<） 是 都是 否定 不等于 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 【典例例题】 题型一：判断语句是否为命题 【典例1-1】（2024·高一课时练习）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A 【典例1-2】（2024·江苏·高一假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题． 故选：B 【变式1-1】（2024·高一课时练习）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【答案】D 【解析】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D 【变式1-2】（多选题）（2024·全国·高一假期作业）(多选)下列语句是命题的是（    ） A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗? 【答案】ABC 【解析】对于A，3能整除15，为真，所以A是命题； 对于B，，为真，所以B是命题； 对于C，，所以“4不小于2”为真，所以C是命题； 对于D，“你准备考北京大学吗?”是疑问句不是陈述句，且无法判断真假，所以D不是命题. 故选：ABC. 题型二：命题真假的判断 【典例2-1】（多选题）（2024·全国·高一假期作业）下列四个命题中为真命题的是（    ） A．“”是“”的既不充分也不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C．关于的方程有实数根的充要条件是 D．若集合，则是的充分不必要条件 【答案】AC 【解析】且，所以A正确； 正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误； 一元二次方程有实根则，反之亦然，故C正确； 当集合A=B时，应为充要条件，故D不正确. 故选：AC. 【典例2-2】（2024·全国·高一假期作业）下列语句是命题的是（    ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 【答案】D 【解析】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题， 故选：D 【变式2-1】（2024·全国·高一课堂例题）下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【解析】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题； 对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立. 如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题； 对选项C，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题； 对选项D，与的和为锐角，所以D选项为假命题． 故选：A. 【变式2-2】（2024·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①中，当时，是一元一次方程，①错误； ②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确； ③中，互相包含的两个集合相等，③正确； ④中，空集不是本身的真子集，④错误． 故选：B 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 【典例3-1】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【答案】C 【解析】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题. 故选：C. 【典例3-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【答案】D 【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知， A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题； B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题； C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题； D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题. 故选：D 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的个数是（    ） ①任何实数都有平方根; ②所有素数都是奇数; ③有些一元二次方程无实数根; ④三角形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质， 故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题， 故选：D． 【变式3-2】（2024·高一·浙江宁波·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是矩形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【答案】C 【解析】A.所有正方形都是矩形为全称量词命题，故A错误； B.，使为存在量词命题，，方程无解，该命题为假命题，故B错误； C.至少有一个实数，使为存在量词命题，当时，方程成立，该命题为真命题，故C正确； D. ，使为存在量词命题，无解，故D错误； 故选：C 【变式3-3】（2024·高二·广西·学业考试）下列命题中，含有存在量词的是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形 C．一切三角形的内角和都等于 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】A 【解析】A选项，存在一个平行四边形是矩形含有存在量词； BCD选项，含有全称量词，不含存在量词. 故选：A. 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【典例4-1】（2024·高一·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（    ） ①，；②，；③至少有一个实数，使得 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①由，可得或，为真命题； ②由，为假命题； ③当时，为真命题. 故选：C 【典例4-2】（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 【变式4-1】（2024·高一·辽宁鞍山·期中）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】，，故是假命题； 当时，，故是假命题； ，，故是真命题； 方程中，此方程无解，故是假命题. 故选:：C. 【变式4-2】（2024·高一·广东广州·期中）下列命题中的假命题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，，为真命题，故A错误； 对于B，因为，所以，则，为真命题，故B错误； 对于C，当时，，为假命题，故C正确； 对于D，由，得，为真命题，故D错误. 故选：C. 【变式4-3】（2024·高一·江苏·专题练习）下列命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对于A：，所以，A是真命题； 对于B：，所以当时命题不成立，B是假命题； 对于C：取，则满足，所以，，C是真命题； 对于D：取，则满足，所以，，D是真命题， 故选：B 题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围 【典例5-1】（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）若命题“，使”是假命题，则实数的一个可能取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为命题“，使”是假命题， 所以命题“，使”是真命题， 即方程有解， 所以，得， 故实数的一个可能取值为（满足即可）． 故答案为：（答案不唯一）. 【典例5-2】（2024·高一·河南三门峡·阶段练习）已知命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为命题是真命题， 所以不等式在上恒成立， 等价于即可， 因为 所以即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-1】（2024·高一·海南·阶段练习）对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知：对，恒成立， 则，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高一·辽宁锦州·期末）已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【解析】因为，为假命题，所以有解， 所以，解得或. 故答案为：或 【变式5-3】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 【解析】（1）方程有两个不同的实数解， 则当为唯一解，不合题意舍去； 所以且，解得且， 故集合且 （2）命题“， ”为真命题， 则对恒成立，即， 故实数a的最小值为2. 【变式5-4】（2024·高一·宁夏吴忠·期中）已知集合，． (1)时，求 (2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1） 时，=， 故=； （2）若命题：“，”是真命题，则， 若， 若，解得， 综上得. 题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围 【典例6-1】（2024·高一·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，，为真命题，故， 解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 【典例6-2】（2024·高一·云南曲靖·期中）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 【解析】（1）因为，所以，解得； （2）因为命题为真命题， 所以方程组有公共解，解得， 当时，经检验知，符合题意. 【变式6-1】（2024·高一·四川广安·阶段练习）命题“”为真命题，则取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为命题“”为真命题， 所以， 所以，即取值范围为. 故答案为：. 【变式6-2】（2024·高一·云南·阶段练习）已知命题，，命题，． (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围． 【解析】（1）根据题意，知当时，． ∵p为真命题，∴． ∴实数a的取值范围是． （2）由（1）知命题p为真命题时，． 命题q为真命题时，，解得， ∴为真命题时，． ∵命题p和均为真命题，∴，解得， 即实数a的取值范围为． 题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定 【典例7-1】（2024·高一·广东深圳·期中）命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（    ） A．存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B．锐角三角形的三个内角都相等 C．锐角三角形的三个内角都不相等 D．锐角三角形的三个内角不都相等 【答案】D 【解析】命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”． 故选：D 【典例7-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题，使为真命题，则， 解得或， 而命题“，使”是假命题，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 【变式7-1】（2024·高二·陕西西安·期末）若命题，则表述准确的是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】全称命题的否定为特称命题，排除BD选项， 其中可解得，的否定应是， A选项中，可解得，故A选项错误，C选项正确. 故选：C 【变式7-2】（多选题）（2024·高一·四川乐山·阶段练习）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数，使 【答案】AC 【解析】对A：该命题的否定为，是全称量词命题， 又，故为真命题，故A符合要求； 对B：该命题为全称量词命题，故其否定为特称量词命题，故B不符合要求； 对C：该命题的否定为，是全称量词命题， 又，故为真命题，故C符合要求； 对D：存在实数，使，故该命题为真命题，则其否定为假命题， 故D不符合要求. 故选：AC. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（    ） ①，；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，，①正确；当时，，②错误； 当时，，③正确；由于，而都是无理数，④错误， 所以正确命题的个数为2. 故选：B 2．（2024·高一·广东深圳·阶段练习）下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 【答案】C 【解析】A中，因为是素数，不是奇数，命题所有的素数都是奇数是全称量词命题且是假命题； B中，该命题是存在量词命题且是真命题； C中，根据平行四边形的性质，可得该命题是全称量词命题且是真命题； D中，该命题是存在量词命题且是假命题. 故选：C. 3．（2024·高一·青海西宁·阶段练习）以下是真命题的（    ） A．，都有 B．，都有 C．，有 D．，有 【答案】C 【解析】对于A，当时，，A是假命题； 对于B，当时，，B是假命题； 对于C，当时，满足，C是真命题； 对于D，当且仅当时，，因此不存在，使得，D是假命题. 故选：C 4．（2024·高一·江苏·假期作业）命题“”的否定是（   ） A．不存在 B． C． D． 【答案】D 【解析】命题“”为存在量词命题，其否定为“”. 故选：D. 5．（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】命题“，”的否定是：，. 故选：C. 6．（2024·高二·湖南·期中）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，而命题是全称量词命题，所以为“”. 故选：B. 7．（2024·高二·浙江·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题 “”的否定是“”， 故选：A. 8．（2024·高一·江西南昌·阶段练习）“，”的否定是（    ） A．，使得 B．， C．，使得 D．， 【答案】A 【解析】“，”的否定是“，使得”， 故选：A. 二、多选题 9．（2024·高一·安徽马鞍山·期中）下列命题中，真命题的是（    ） A． B．平行四边形的对角线互相平分 C．对任意的，都有 D．菱形的两条对角线相等 【答案】AB 【解析】对于A，方程的判别式，故A正确； 对于B，由平行四边形的性质可得对角线互相平分，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，菱形的对角线不一定相等，故D错误. 故选：AB. 10．（2024·高一·广西梧州·阶段练习）下列四个结论中正确的是（    ） A． B．命题“”的否定是“” C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】对于A，，解得， 即，正确； 对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题“”的否定为：，错误； 对于C，若，则，反之若，则， 所以“”的充要条件是“”，正确； 对于D，若，则不一定成立，如，但， 反之，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，正确. 故选：ACD 11．（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）对下列命题的否定说法正确的是（    ） A．p：能被2整除的数是偶数；¬p：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；¬p：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；¬p：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃n∈N，2n≤100；¬p：∀n∈N，2n>100 【答案】ABD 【解析】根据含有一个量词的否定，可判断ABD正确， 对于C，“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2024·高一·湖南常德·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】命题“”的否定为“”，且其否定为真命题，所以， 故答案为： 13．（2024·高一·湖北襄阳·阶段练习）若，，若命题为假且为真，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】命题为假， 所以该命题的否定为真，则，解得； 命题为真，则. 因为命题为假且为真，从而. 故答案为：. 14．（2024·高一·全国·课后作业）已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】命题的否定是“，”，为真命题， 问题等价于有解，即或，解得. 故答案为： 四、解答题 15．（2024·高一·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 16．（2024·高三·安徽合肥·阶段练习）已知命题p：，，q：，若p的否定是假命题，且q是真命题，求实数a的取值范围． 【解析】，恒有，由，，得， 因p的否定是假命题，则p是真命题，因此， q是真命题，则方程2x2+5x+a=0有实数根，即，解得，依题意得， 所以a的取值范围是. 17．（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）已知，，q：关于x的方程有两个不相等的负实数根． (1)若p为真命题，请用列举法表示非负整数a的取值集合； (2)若p，q都是假命题，求a的最大值． 【解析】（1）根据题意可得， 解得， 故非负整数a的取值集合为． （2）设方程的两个不相等的负实数根为，， 则， 解得． 若p，q都是假命题，则且，所以， 故a的最大值为． 18．（2024·高一·广东汕尾·阶段练习）已知关于x的方程， (1)若，使方程只有一个实数根，求a的值. (2)若，方程至少有一个大于1的根，求集合M. 【解析】（1）由题知，方程只有一个实数根， 当时，解得，符合题意； 当时，分解因式得，解得或， 则有，得. 综上，或. （2）当时，，符合题意， 当时，由（1）可知，方程的两根为， 因为方程至少有一个大于1的根， 所以或，解得或，且. 综上， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$