精品解析：上海市南汇中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

上海南汇中学2023学年第二学期期末考试 高一数学 满分：100分 完成时间90分钟 命题人：高二数学命题小组 一、填空题（本大题满分36分） 1. 对于复数（i是虚数单位），______． 2. 二面角的取值范围是______（用区间表示） 3. 化简：___________． 4. 已知，，则______________________． 5. 已知向量，，若，则实数________. 6. 若（为虚数单位）为方程（）一个根，则______. 7. 如图是水平放置的的直观图，其中，，，则的周长为____________. 8. 在正方体中12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有__________条. 9. 若平面内不共线的四点、、、满足，则______. 10. 在中，已知、、分别为角、、的对边，且，若，且，则边的长等于______. 11. 点是所在平面外一点，，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，点到三边的距离相等，且点在平面上的射影落在内，则直线与平面所成角的大小为______. 12. 在平面内，若有，，，则的最大值为______. 二、选择题（本大题满分12分） 13. 复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 已知是平面的一条斜线，直线，则（ ） A. 存在唯一的一条直线，使得 B. 存在无限多条直线，使得 C. 存在唯一的一条直线，使得 D. 存在无限多条直线，使得 15. 折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（ ） ①；②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 在空间，已知直线及不在上两个不重合的点A、B，过直线作平面，使得点A、B到平面的距离之比为1:2，则这样的平面不可能有（ ） A. 无数个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题：（本大题满分52分） 17. 已知长方体中，分别是和的中点. （1）画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） （2）若，，，求异面直线与所成角的大小. 18. 在平面直角标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为. （1）若四边形是平行四边形，求点D的坐标； （2）若点A，B，P三点共线，且，求的值. 19. 已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 20. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点为四边形所在平面外一点，且平面，，点是的中点，连接、、. （1）证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （2）若，，点在上运动，试求面积的最小值. 21. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；②；③；④. （1）设，，求和. （2）由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②.试判断这两个结论是否正确，并说明理由. （3）若，集合，.对于任意，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海南汇中学2023学年第二学期期末考试 高一数学 满分：100分 完成时间90分钟 命题人：高二数学命题小组 一、填空题（本大题满分36分） 1. 对于复数（i是虚数单位），______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，直接求出复数的虚部即得. 【详解】复数的虚部为2，所以. 故答案为：2 2. 二面角的取值范围是______（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据二面角的定义，即可求解. 【详解】二面角的取值范围是. 故答案为： 3. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：． 4. 已知，，则______________________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意，，． 考点：同角间的三角函数关系． 5. 已知向量，，若，则实数________. 【答案】6 【解析】 分析】 根据即可得出，解出即可． 【详解】向量，，且， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题． 6. 若（为虚数单位）为方程（）的一个根，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】将代入方程，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以， 所以，所以. 故答案为：5 7. 如图是水平放置的的直观图，其中，，，则的周长为____________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据直观图复原原图，根据斜二测画法的规则，确定相关线段的长，可求得答案. 【详解】如图，根据直观图复原原图， 则 , 故的周长为 ， 故答案为;12 8. 在正方体中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有__________条. 【答案】6 【解析】 【分析】利用正方体的结构特征，结合异面直线的意义求解即得. 【详解】在正方体中的12条棱所在直线中， 与直线相交的棱所在直线有，共6条， 其余6条棱所在直线与直线是异面直线， 所以与直线是异面直线的共有6条. 故答案为：6 9. 若平面内不共线的四点、、、满足，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】用向量减法法则将，用，，表示，再将已知条件代入消去得解. 【详解】， 又， . 故答案为：2. 10. 在中，已知、、分别为角、、的对边，且，若，且，则边的长等于______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理角化边，再结合三角形的面积公式，求，再结合余弦定理求的值. 【详解】若，由正弦定理可知，， ，所以，得， 根据余弦定理, 所以. 故答案为： 11. 点是所在平面外一点，，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，点到三边的距离相等，且点在平面上的射影落在内，则直线与平面所成角的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定点在平面上的射影为三角形的内心，再根据几何关系，转化为求线面角的余弦值，即可求解. 【详解】由题意可知，， 如图，平面，，，，连结，， 平面，所以，且，平面， 所以平面，平面，所以，同理， 由题意可知，点到三边的距离相等，则点到三边的距离相等， 点是的内心，即， 根据三角形面积公式可知，，得， 如图，，且， 为直线与平面的线面角，，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 故答案为： 12. 在平面内，若有，，，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，所以，作，则，连接，取的中点，连接，作，连接，得到，得出点在以为直径的圆上，得到当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，此时最大，进而求得最大值. 【详解】由向量，，可得， 可得，所以， 如图所示，作，则，且， 连接，取的中点，连接，则， 因为，可得，所以， 作，连接，则，所以， 所以点在以为直径的圆上， 所以当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，此时最大， 由，, 因为，且，所以， 所以在上的最大投影为， 所以. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分12分） 13. 复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义与复数的几何意义判断即可 【详解】因为，故，在复平面内点的坐标为，在第四象限. 故选：D 14. 已知是平面的一条斜线，直线，则（ ） A. 存在唯一的一条直线，使得 B. 存在无限多条直线，使得 C. 存在唯一的一条直线，使得 D. 存在无限多条直线，使得 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，结合直线与直线，直线与平面位置关系，即可得出结果. 【详解】因为是平面的一条斜线，直线，画出图形如下： 显然在平面内必存在直线与直线垂直， 且平面内有无数条直线与直线平行， 故存在无限多条直线，使得. 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与直线位置关系的判定，熟记线面，线线位置关系即可，属于常考题型. 15. 折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（ ） ①；②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何关系，直接判断与是否平行，即可判断A;再根据转化向量求数量积判断B；根据几何关系，以及相等相等向量转化，判断C；根据向量转化证明数量积相等. 【详解】A.，则与不平行，故①错误； B.设，， ， ，故②正确； C.，故③正确； D.，故④正确. 故选：C 16. 在空间，已知直线及不在上两个不重合的点A、B，过直线作平面，使得点A、B到平面的距离之比为1:2，则这样的平面不可能有（ ） A. 无数个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】BD 【解析】 【分析】列举出线段与的位置关系，分析每种情况下平面的个数，得到答案. 【详解】线段与的位置关系有以下四种， 如图，当线段与异面时，有两种情况， 其中为线段与平面的交点，， 在线段的延长线上，且， 当线段与平行时，此时A、B到平面的距离之比为，故这样的平面为0个， 当线段与相交，交点为，且时，此时过直线作平面，可作无数多个平面，使得A、B到平面的距离之比为1:2， 当线段与相交，交点为，且时，此时可作0个平面，使得A、B到平面的距离之比为1:2， 故选：BD 三、解答题：（本大题满分52分） 17. 已知长方体中，分别是和的中点. （1）画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） （2）若，，，求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据点，线，面的位置关系，画出线面的公共点； （2）根据几何关系，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角. 【小问1详解】 如图，，点是直线与平面的交点， 理由：平面，， 平面，， 所以点是直线与平面的交点； 【小问2详解】 连结， 因为分别是和的中点，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以 所以异面直线与所成角为和所成的角，即或其补角， 若，，，则，,， 中，, 则, 所以异面直线与所成角为. 18. 在平面直角标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为. （1）若四边形是平行四边形，求点D的坐标； （2）若点A，B，P三点共线，且，求的值. 【答案】（1） （2）0或 【解析】 【分析】（1）四边形OADB是平行四边形，则，则，然后求解即可； （2）点A，B，P三点共线，且，然后分①，②两种情况讨论，再结合向量的坐标运算求解即可． 【小问1详解】 由题可得 因为四边形OADB是平行四边形，所以，则， 即，所以点D的坐标为； 【小问2详解】 由题可得， 点A，B，P三点共线，且， ① 当时，， 则， ②当时，， 即． 19. 已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调增区间为，；；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间； （2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的的取值范围. 【详解】（1）因为 所以函数的最小正周期； 因为函数的单调增区间为，， 所以，， 解得，， 所以函数的单调增区间为，； （2）不等式有解，即； 因为，所以，又， 故当，即时， 取得最小值，且最小值为， 所以. 20. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点为四边形所在平面外一点，且平面，，点是的中点，连接、、. （1）证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （2）若，，点在上运动，试求面积的最小值. 【答案】（1）四面体鳖臑，为直角. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明，利用线面垂直的性质定理判断是否为鳖臑即可. （2）转化为异面直线之间的距离，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 面面， 又因为为矩形， 面，， 面平面，， 又为斜边中线，且， ， 又面 面. 四面体是鳖臑， 为直角. 【小问2详解】 过作的垂线交于点，分析可知当为和公垂线段时， 最小，设公垂线段长为则面积最小， 如图建立所示的空间直角坐标系，则 , 设向量且 则 不妨令则则 则 则面积的最小值为 21. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；②；③；④. （1）设，，求和. （2）由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②.试判断这两个结论是否正确，并说明理由. （3）若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 【答案】（1），； （2）①不正确，②正确，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入公式①③即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算法则，即可求解； （3）设满足条件的，，，根据所给条件求出，再证明对任意的，不等式恒成立，则只需计算的最小值，不妨令，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得. 小问1详解】 由，， 得，； 【小问2详解】 设，，，、、、、、、， 则，，故①不成立， ，，， ， 因为，， 所以， ，故②正确； 【小问3详解】 设满足条件的，，， 则，， 因为为任意的复数，不妨设且， 由定义可得，即，即， 所以，则， 以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值， 不妨令，则， 则， ， 当，时，取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证； 推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取得最小值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键理解新定义，结合新定义以及所学习的知识解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$