5.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 课标定位 素养阐释 1.了解利用三角函数的定义画正弦曲线的方法. 2.能用“五点法”画正弦函数和余弦函数的图象. 3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. 4.体会直观想象的过程,提升直观想象和逻辑推理素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 思 想 方 法 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、正弦函数的图象 1.画函数图象最基本的方法是什么?如果用描点法画正弦函数y=sin x在区间[0,2π]上的图象,可取哪些点? 2.如何在平面直角坐标系中比较精确地描出这些点,并画出y=sin x在区间[0,2π]上的图象? 提示:把x轴上从0到2π这一段分成12等份,使x0的值分别为 ,再在单位圆中,利用正弦函数的定义,得出x0对应的纵坐标y0=sin x0.先画出点(x0,y0),再将这些点用光滑的曲线连接起来,就得到函数y=sin x在区间[0,2π]上的图象. 3.正弦函数的图象叫做正弦曲线,是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. 答案:B 二、“五点法”作正弦函数的图象 1.在确定正弦函数的图象时,哪些点是关键点? 2.“五点法”画正弦函数图象的一般步骤是什么? 提示:列表⇒描点⇒连线. 答案:A 三、余弦函数的图象 1.如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象? 2.在确定余弦函数在区间[0,2π]上的图象时,哪些点是关键点? 3.余弦函数y=cos x,x∈R的图象叫做余弦曲线. 它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线. 4.不等式cos x<0,x∈[0,2π]的解集为　　　　　.  【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称.( × ) (2)正弦函数y=sin x与函数y=sin(-x)的图象完全相同.( × ) (3)余弦函数y=cos x的图象与x轴有无数个交点.( √ ) (4)余弦函数y=cos x的图象与y=sin x的图象形状和位置都不一样.( × ) 合作探究·释疑解惑 【例1】 用“五点法”画出下列函数的简图. (1)y=1+2sin x,x∈[0,2π]; (2)y=2+cos x,x∈[0,2π]. 分析:在区间[0,2π]上找出五个关键点,用光滑的曲线连接即可. 探究一 用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象 反思感悟 1.“五点法”是画三角函数图象的常用方法,“五点”即三角函数图象与x轴的交点、最高点和最低点. 2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节,注意用光滑的曲线连接五个关键点. 探究二 利用“图象变换法”画三角函数的图象 【例2】 利用图象变换法画出下列函数的图象: (1)y=1-cos x,x∈[0,2π]; 分析:(1)先画函数y=cos x的图象,再得到y=-cos x的图象,最后得到y=1-cos x的图象;(2)先将解析式化简为y=|cos x|,再画出函数y=cos x的图象,最后得到y=|cos x|的图象. 解:(1)先用“五点法”画出函数y=cos x的图象,再画该图象关于x轴的对称图象,得到y=-cos x的图象,最后将该图象向上平移1个单位长度,即得y=1-cos x的图象(如图). (2)由于 ,因此只需画出y=|cos x|的图象,y=cos x的图象在x轴上方的图象保持不动,将x轴下方的图象关于x轴作轴对称翻折到x轴上方,即得y=|cos x|的图象(如图). 本例中,如何利用图象变换画出函数y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的简图? 反思感悟 图象变换的规律 1.左右平移变换 (1)函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的; (2)函数y=f(x)+b的图象是由函数y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的. 2.对称变换 (1)函数y=|f(x)|的图象是将函数y=f(x)的图象在x轴上方的部分不动,下方的部分对称翻折到x轴上方得到的; (2)函数y=f(|x|)的图象是将函数y=f(x)的图象在y轴右边的部分不动,并将其对称翻折到y轴左边得到的; (3)函数y=-f(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称; (4)函数y=f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称; (5)函数y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称. 探究三 利用正弦函数、余弦函数的图象解不等式 反思感悟 用三角函数的图象解三角不等式的方法:(1)画出相应正弦函数或余弦函数在区间[0,2π]上的图象;(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集;(3)根据诱导公式一写出不等式的解集. 思 想 方 法 利用数形结合思想方法解决问题 【典例】 方程lg x=sin x的解的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 审题视角:该方程无法用求根公式求解,且只要求得到方程根的个数,而函数y=sin x和y=lg x是基本初等函数,其图象容易画出,因此可采用数形结合的方法,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个数. 解:先用“五点法”画出函数y=sin x的图象,再在同一平面直角坐标系内描出 ,并用光滑曲线连接得到y=lg x的图象,如图.  由图象可知方程lg x=sin x的解的个数为3. 答案:D 反思感悟 1.对于方程解的个数问题,常借助函数的图象用数形结合的方法求解. 2.函数的图象是研究函数的重要工具,体现了数形结合思想方法,能直观地解决抽象的代数问题. 【变式训练】 方程x2-cos x=0的解的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.无穷多个 答案:C 解析:先用“五点法”画出函数y=cos x的图象,再在同一平面直角坐标内画出y=x2的图象,如图.由图象可知方程x2=cos x,即方程x2-cos x=0的解的个数为2. 随 堂 练 习 答案:C 2.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象(　　) A.重合 B.形状相同,位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同 解析:根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x,x∈[0,2π]与 y=sin x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同. 答案:B 答案:2 提示:描点法;可取x=0,,π,…时的各点. 0,,…,2π 4.函数y=sin x,x∈的简图是(　　) 提示:作y=sin x,x∈[0,2π]的图象时,所取的关键点是(0,0),,(π,0),和(2π,0). 3.在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点: (0,0) , ,(π,0) ,和(2π,0).再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图,这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的. 4.用“五点法”画y=2sin x,x∈[0,2π]的图象时,首先描出的五 个点的横坐标是(　　) A.0,,π,,2π B.0,,π C.0,π,2π,3π,4π D.0, 提示:把y=sin x,x∈R的图象向左平移个单位长度,即可得到 y=cos x,x∈R的图象. 提示:确定余弦函数在区间[0,2π]上的图象,所取的关键点是(0,1),,(π,-1),,(2π,1). 解析:由函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象可知, 不等式cos x<0的解集为. 答案: 解:(1)列表: x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1+2sin x 1 3 1 -1 1 在平面直角坐标系中描出五点(0,1),,(π,1),,(2π,1), 然后用光滑的曲线连接起来,就得到y=1+2sin x,x∈[0,2π]的 图象,如图所示. (2)列表: x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 2+cos x 3 2 1 2 3 描点连线,如图. 【变式训练1】 用“五点法”画出y=sin,x∈的图象. 解:列表: x π 2π x- 0 π 2π sin 0 1 0 -1 0 描点连线,如图. (2)y=,x∈[-2π,2π]. y==|cos x| 解:因为y=sin|x|=为偶函数,所以先用五点法画出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,再画出函数在区间[0,2π]上的图象关于y轴对称的图象,进而得函数在区间[-2π,2π]上的图象(如图所示). 【例3】 求不等式sin x≥的解集. 解:如图,在同一平面直角坐标系下,画函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象以及直线y=. 由特殊角的正弦值,可知直线y=与函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象的交点的横坐标为. 所以当0≤x≤2π时,sin x≥的解集为{x≤x≤}. 故不等式sin x≥的解集为{x≤x≤2kπ+,k∈Z}. 1.将本例中的“sin x≥”改为“<sin x≤”,如何求得x的取 值集合? 解: 先画出y=sin x在区间[0,2π]上的图象,如图, 再作直线y=,根据特殊角的正弦值, 可知直线y=与曲线y=sin x,x∈[0,2π]的交点的横坐标为. 最后画直线y=, 该直线与曲线y=sin x,x∈[0,2π]的交点的横坐标为. 观察图象可知,在区间[0,2π]上,当<x≤≤x<时, 不等式<sin x≤成立. 所以<sin x≤的解集为{xx≤+2kπ或+2kπ≤x<+2kπ,k∈Z}. 2.将本例改为:求不等式-≤cos x≤,x∈[0,2π]的解集. 解:函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示, 作直线y=和y=-, 根据图象可得不等式-≤cos x≤,x∈[0,2π]的解集为 . 【变式训练2】 求函数y=的定义域. 解:由得 所以2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z, 即函数y=的定义域为2kπ+,2kπ+(k∈Z). ,(1,0),(10,1) 1.若点M在函数y=sin x的图象上,则m等于(　　) A.0 B.1 C.-1 D.2 解析:由题意得-m=sin,所以m=-sin=-1. 3.函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y=-的交点有　　　个. 解析:作y=cos x,x∈[0,2π]的图象及直线y=-(图略), 可知两个函数的图象的交点个数为2. 4.在区间[0,2π]上,求不等式sin x≥-的解集. 解:在同一平面直角坐标系内画出函数y=sin x与y=-的图象,如图所示. 观察在区间[0,2π]上的情形,可得不等式sin x≥-的解集为. $$