3.1.2函数的表示法课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.2　函数的表示法 课标定位 素养阐释 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.理解函数图象的作用,掌握函数图象的作法. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 4.体验数学抽象的过程,提升直观想象和数学建模素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 规 范 解 答 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、函数的表示方法 1.给出下列三个对应关系: ①x,y∈R,y=4x-1; ② ③它们分别是用什么形式表达两个变量x,y之间的对应关系的?它们是否都是函数关系? 提示:分别用解析法、列表法、图象法表示对应关系,它们都是函数关系. 2.函数的三种表示方法: (1)解析法,就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系; (2)列表法,就是列出表格表示两个变量之间的对应关系; (3)图象法,就是用图象表达两个变量之间的对应关系. 3.函数三种表示方法的比较 二、分段函数 1.某商店销售一种商品,当销售量x不超过20件时,单价为100元;当销售量超过20件时,超出部分按原件的90%计算,那么销售收入y与销售量x的函数关系应怎么表达? 提示:当0≤x≤20时,y=100x;当x>20时,y=100×20+(x-20)×90. 2.在函数定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数叫做分段函数. 答案:AD 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)任何函数都可以用解析式表示.( × ) (2)函数y=x2+1不能用列表法表示.( √ ) (3)函数的图象一定是一条连续不断的曲线.( × ) (4)分段函数是由几个函数组合而成的.( × ) 合作探究·释疑解惑 探究一 函数的表示方法 【例1】 某商店新进了10部手机,每部售价3 000元,试分别用列表法、图象法、解析法表示售出部数x与销售额y之间的函数关系. 解:(1)列表法:如下表. (2)图象法:如图.   (3)解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}. 反思感悟 1.列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论用哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念. 2.判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义. 3.函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主. 【变式训练1】 已知函数f(x),g(x)分别由下表给出: (1)求f(g(1)),g(f(3))的值; (2)求满足f(g(x))>g(f(x))的x的值. 解:(1)f(g(1))=f(3)=1,g(f(3))=g(1)=3. (2)当x=1时,f(g(1))=f(3)=1,g(f(1))=g(1)=3,不符合题意; 当x=2时,f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,符合题意; 当x=3时,f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不符合题意; 综上,x的值等于2. 探究二 函数的图象及其画法 解:(1)图象为一次函数y=1-x所对应的直线上的一些离散的点,如图所示. (3)该函数为分段函数,其图象由两部分组成,当0≤x≤1时,为抛物线y=x2上的一段;当-1≤x<0时,为直线y=x+1上的一段,如图所示. 反思感悟 画函数图象的常用方法 (1)描点作图法:这是画函数图象的基本方法,其步骤是列表、描点、连线. (2)基本函数法:对于我们熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等,可直接根据以前学过的知识画出图象. (3)分段函数分段法:对于分段函数,应分段画图,将每一段区间上对应的函数图象画出,即得该分段函数的图象. 【变式训练2】 画出下列函数的图象,并求出定义域和值域: 解:(1)画出f(x)的图象,如图所示.   观察函数图象可知,函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1]. 观察函数图象可知,函数g(x)的定义域为R,值域为[-1,+∞). 探究三 分段函数的求值问题 解:依题意有f(-7)=f(-7+2)=f(-5)=f(-5+2)=f(-3)=f(-3+2) =f(-1)=f(-1+2)=f(1)=2×1-3=-1. 反思感悟 求分段函数的函数值的方法: (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间; (2)代入相应段的解析式求值,直到求出值为止; (3)当出现f(f(x0))形式的求值问题时,应由内到外依次求值. 规 范 解 答 分段函数的解析式问题 【典例】 已知函数f(x)=x2+1,g(x)=2x+4.若定义函数h(x):当f(x)≥g(x)时,h(x)=f(x)-2g(x);当f(x)<g(x)时,h(x)=2f(x)-g(x). (1)写出h(x)的解析式; (2)求h(h(g(-2)))的值. 审题策略:(1)由给出的h(x)的定义,通过解不等式得出自变量的两个不同取值区间,按照分段函数的形式写出解析式; (2)由内向外逐步求值. 规范展示:(1)当f(x)≥g(x),即x2+1≥2x+4时,解得x≤-1或x≥3,此时h(x)=f(x)-2g(x)=x2+1-2(2x+4)=x2-4x-7; 当f(x)<g(x),即x2+1<2x+4时,解得-1<x<3,此时h(x)=2f(x)-g(x)=2(x2+1)-(2x+4)=2x2-2x-2. (2)因为g(-2)=2×(-2)+4=0, 所以h(h(g(-2)))=h(h(0)), 而h(0)=2×02-2×0-2=-2, 所以h(h(g(-2)))=h(-2)=(-2)2-4×(-2)-7=5. 答题模板:第1步:由f(x)≥g(x)求得x的取值范围,并写出此时h(x)的解析式. ⇓ 第2步:由f(x)<g(x)求得x的取值范围,并写出此时h(x)的解析式. ⇓ 第3步:根据分段函数的形式写出h(x)的解析式. ⇓ 第4步:先求g(-2)的值,再求h(g(-2))的值,最后求得h(h(g(-2)))的值. 失误展示 造成失分的主要原因如下: (1)解错不等式,导致分段函数的分段范围错误; (2)计算化简错误,导致h(x)的解析式错误; (3)h(x)的结果不符合分段函数的要求; (4)计算出错,导致结果错误. 【变式训练】 我国是水资源相对匮乏的国家.为鼓励节约用水,某市打算出台一项水费政策措施,规定每季度每人用水量不超过5吨时,每吨水费收基本价1.3元,超过5吨而不超过6吨时,超过部分的水费加收200%,超过6吨而不超过7吨时,超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨,那么本季度他应缴多少水费? 解:用y(单位:元)表示本季度应缴水费. 当0<x≤5时,y1=1.3x. 当5<x≤6时,应把x分成两部分:5与(x-5)分别计算,第一部分收基本水费1.3×5,第二部分由基本水费与加价水费组成,即1.3(x-5)+1.3(x-5)×200%=1.3(x-5)(1+200%), 则y2=1.3×5+1.3(x-5)(1+200%)=3.9x-13. 当6<x≤7时, 同理y3=1.3×5+1.3×(6-5)×(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%) =6.5x-28.6. 随 堂 练 习 答案:B 2.(多选题)某市某一天的温度随时间变化情况的图象如图所示.由图象可知,下列说法中正确的是(　　) A.这一天15时的温度最高 B.这一天3时的温度最低 C.这一天的最高温度与最低温度相差13 ℃ D.这一天21时的温度是30 ℃ 解析:由题中图象知,15时温度最高,为36 ℃,3时温度最低,为22 ℃,相差14 ℃,21时温度为30 ℃. 答案:ABD 解析:由分段函数的解析式知C项正确. 答案:C 解析:因为f(0)=2,所以f(f(0))=f(2)=4+2a,于是有4+2a=4a,解得a=2. 答案:2 (1)用分段函数的形式表示函数f(x); (2)画出函数f(x)的图象; (3)写出函数f(x)的值域. (2)函数f(x)的图象如图所示.   (3)由(2)知,f(x)在区间(-2,2]上的值域为[1,3). 存期x个月 3 6 12 24 36 利率y 0.011 0.013 0.015 0.021 0.027 5 表示方法 特　　点 解析法 简明、全面地表示了变量间的函数关系,通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值 列表法 不需要计算就可以直接得到与自变量的各个值对应的函数值 图象法 能够形象直观地表示函数关系 3.(多选题)下列给出的函数是分段函数的是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/元 3 000 6 000 9 000 12000 15000 18000 21000 24000 27000 30000 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 【例2】 画出下列函数的图象: (1)y=1-x,x∈Z; (2)y=,x≥2; (3)y= (2)图象为反比例函数y=的图象的一部分,如图所示. (1)f(x)= (2)g(x)=|2x+3|-1. (2)g(x)=画出g(x)的图象,如图所示. 【例3】 已知函数f(x)= (1)求f(-2),f(3)的值; (2)求f的值. 解:(1)f(-2)=,f(3)=2×3-3=3. (2)因为f=4, 所以f=f(4)=2×4-3=5. 在本例中,若将函数f(x)的解析式更换为f(x)= 试求f(-7)的值. 故h(x)= 综上,y= 1.已知函数f(x)=则f(f(-1))等于(　　) A.-2 B.1 C.2 D.-1 解析:因为f(-1)==2, 所以f(f(-1))=f(2)=22-3=1. 3.函数y=的图象大致是(　　) 4.已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a=　　　. 5.已知函数f(x)=1+(-2<x≤2). 解:(1)当0≤x≤2时,f(x)=1+=1, 当-2<x<0时,f(x)=1+=1-x. 即f(x)= $$