精品解析：2021年复旦大学自主招生数学试卷

2021年复旦大学自主招生数学试卷 一、综合题（本大题共13小题） 1. 命题p：“△ABC的内心与外心重合”是命题q：“△ABC是正三角形”的什么条件？ 【答案】p是q的充要条件 【解析】 【分析】充分性：通过证明三角形全等得角相等，进而三角形的三个角都相等，可得△ABC是正三角形，必要性明显成立，则可得p是q的充要条件. 【详解】解：p是q的充要条件， 证明：充分性：设点即是△ABC的外心，也是△ABC的内心， 分别是的中点， 则必有，则， ， 由AD，CE也是角平分线得，同理可得 则， 即△ABC正三角形； 必要性：当△ABC是正三角形时，角平分线所在直线和三角的边的中垂线所在直线重合， 则其内心和外心必重合 所以p是q的充要条件． 2. 已知周期为，则命题“”是命题“恒为”的什么条件？ 【答案】必要不充分条件 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若恒为，则，故必要性成立； 下面构造函数：，可得充分性不成立； 故命题是命题的必要不充分条件． 3. AD是△ABC角平分线，AB＝3，AC＝8，BC＝7，求AD的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的知识求得，利用余弦定理列方程来求得. 【详解】依题意，是三角形的角平分线， 由正弦定理得， 由于， 所以，即，解得. 又， 所以由余弦定理可得， 可得， 解得. 4. 求的常数项． 【答案】 【解析】 【分析】观察式子，显然的指数是指数的，据此分类讨论，再考虑剩余式子中与的指数选取情况，由此可解． 【详解】要得到展开式中的常数项，需要分情况讨论： ①当的指数为1时，的指数必为2，此时需要的展开式中出现项，即， 故此时常数项为； ②当的指数为2时，的指数必为4，此时需要的展开式中出现项，由完全平方公式展开可知不可能出现项； 综上：所求常数项为． 5. 已知0≤n≤18，19m+n＝20212022，则n＝__． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二项式定理可推导出20212022≡72022（mod19），再由73≡1（mod19），得202120221（mod19）．由此能求出n的值． 【详解】∵0≤n≤18，19m+n＝20212022，而， ∴20212022≡72022（mod19），而， 所以（mod19），∵73≡1（mod19），∴202120221（mod19）． 综上，n＝1． 故答案为：1． 6. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆上一点，延长到点A，满足，的中点为H，则下列两个结论是否正确：结论1：；结论2：BH为椭圆的切线. 【答案】结论1，结论2均正确，理由见解析. 【解析】 【分析】由等腰三角形三线合一可判断结论1正确； 作的平分线交于点C，可得BH⊥BC，由正弦定理得到，结合焦半径公式求得C点的坐标，求出，由垂直关系得到，从而写出直线的方程，化简后即可得出答案. 【详解】由于，的中点为H，由三线合一可得，且是的角平分线，结论1正确； 作的平分线交于点C， 则BH⊥BC， 在中，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得：， 因为，故， 所以，由合比性质得：， 设椭圆（a＞b＞0），， 可得，所以， 所以， 可得，则， 可得直线， 因为B为椭圆上一点，故， 化简得： 故BH为椭圆的切线，结论2正确. 点睛】椭圆焦半径公式如下: （1）是椭圆上一点，是左、右焦点，是椭圆的离心率，则； （2）是椭圆上一点，是上、下焦点，是椭圆的离心率，则. 7. 若，，解不等式． 【答案】 【解析】 【分析】分段解不等式，求出的范围，再设，其中，，分类讨论解不等式即可得出答案. 【详解】由题意，， 下面解不等式． 若，则， （）当时，，则，即； （）当时，，则，即； （）当时，，原不等式无解； （）当时，，原不等式无解； 若，则， 设，其中，，则， （）当时，，则，即； （）当时，，则，此时原不等式无解； 综上所述，不等式的解集为， 因此，不等式的解集满足， 解得． 8. 方程的正整数解有多少组？ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定或，其中，用隔板法即可求出方程的正整数解组数． 【详解】解：由题意，，即 故， 代入原方程得：① 则，即， 故 或 ，其中， （注：这里第一个取是为了保证）． 代入方程①可得：或，其中． （注：两类不同的解，转化后形式一致） 根据隔板法该不定方程的解共有组． 9. 确定曲线的类型. 【答案】椭圆 【解析】 【分析】对变形得到，根据圆锥曲线的第二定义即可得到答案. 【详解】由已知可得， 即动点到定点与到定直线的距离比为定值， 由圆锥曲线的第二定义可知动点的轨迹为以为焦点，为准线，离心率为的椭圆. 10. 求由曲线，围成的面积． 【答案】 【解析】 【分析】由曲线，围成面积，由此能求出结果． 【详解】解：如图， ， 因为， 所以 由余弦定理得， 由题意得， 所以， 所以， 所以， 所以所求面积为 11. 求极坐标的曲线轨迹． 【答案】一条螺旋线 【解析】 【分析】利用极坐标与直角坐标的关系进行求解即可． 【详解】解：根据极坐标与直角坐标的关系可得 ，又 那么是一条螺旋线． 12. 若数列满足，求． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由已知数列递推式求得数列{an}的通项公式，再由数列的极限得答案． 【详解】令， 则由， 得bn+2+4bn+1﹣12bn＝0，即bn+2﹣2bn+1+6(bn+1﹣2bn)＝0， 假设，则数列{bn+1﹣2bn}是以b2﹣2b1为首项，以﹣6为公比的等比数列， 可得， ∴， 可得， ， … ， 累加得=， 当充分大时，存在负数， 而，假设不成立， ∴2b1﹣b2＝0，所以，是等比数列，则． ∴， ∴＝． 故答案为：． 13. 求展开式中的常数项． 【答案】 【解析】 【分析】原式可化为，然后写出的通项，结合常数项指数为零，求出结果． 【详解】由题知：原式＝， 的通项为 ， 令，得；令，得. 即原式展开式中的常数项为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2021年复旦大学自主招生数学试卷 一、综合题（本大题共13小题） 1. 命题p：“△ABC的内心与外心重合”是命题q：“△ABC是正三角形”的什么条件？ 2. 已知周期为，则命题“”是命题“恒为”什么条件？ 3. AD是△ABC角平分线，AB＝3，AC＝8，BC＝7，求AD的长． 4. 求的常数项． 5. 已知0≤n≤18，19m+n＝20212022，则n＝__． 6. 已知，分别是椭圆左、右焦点，B为椭圆上一点，延长到点A，满足，的中点为H，则下列两个结论是否正确：结论1：；结论2：BH为椭圆的切线. 7. 若，，解不等式． 8. 方程正整数解有多少组？ 9. 确定曲线的类型. 10. 求由曲线，围成的面积． 11. 求极坐标的曲线轨迹． 12. 若数列满足，求． 13. 求展开式中常数项． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$