专题1.14 一元二次方程（全章常考核心知识点分类专题）（基础练）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.14 一元二次方程（全章常考核心知识点分类专题）（基础练） 考点目录： 【考点1】一元二次方程的定义与一般形式； 【考点2】一元二次方程的解（整体思想）； 【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程； 【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程； 【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程； 【考点6】配方法求（最）值、比较大小与求值； 【考点7】根的判别式判断根的情况与求参数取值范围； 【考点8】韦达定理求值； 【考点9】韦达定理与根的判别式综合； 【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值； 【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）； 【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）； 【考点13】一元二次方程一次函数问题； 1、 单选题 【考点1】一元二次方程的定义与一般形式； 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江·假期作业）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（　　） A． B． C． D． 【考点2】一元二次方程的解（整体思想）； 3．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程； 5．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（    ） A． B．2 C． D． 6．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（  ） A． B． C． D． 【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程； 7．（23-24八年级下·全国·假期作业）在用公式法解方程时，下列求根公式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江金华·二模）已知和是关于x的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数a，使得，则称函数和是“奇妙函数”．以下函数和不是“奇妙函数”的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【考点6】配方法求（最）值、比较大小与求值； 9．（2024八年级下·江苏·专题练习）若分式方程无解，则实数a的取值是（　　） A．0或2 B．4 C．8 D．4或8 10．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下列方程为无理方程的是（   ） A． B． C． D． 【考点7】根的判别式判断根的情况与求参数取值范围； 11．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 12．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【考点8】韦达定理求值； 13．（2024·河南驻马店·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ） A． B． C．且 D．且 【考点9】韦达定理与根的判别式综合； 15．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）关于的一元二次方程一个实数根为2，则另一实数根和的值分别为（    ） A．6， B．， C．6，4 D．，4 16．（2024·广东佛山·三模）已知是方程的一个根，则它的另一根是（    ） A． B． C． D． 【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值； 17．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实根 B．有两个正根 C．有两个负根 D．有一个正根，一个负根 18．（2024九年级·全国·竞赛）已知方程有两个同号的实数根，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）； 19．（2021·贵州遵义·三模）等腰三角形三边长分别为、、2，且、是关于的一元二次方程的两根则的值为（    ） A．15 B．24 C．15或24 D．22或24 20．（19-20九年级上·山东·课后作业）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于(     ) A． B． C． D． 【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）； 21．（21-22九年级上·福建福州·阶段练习）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（　　） A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）中秋节临近，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元．中秋节过后，月饼因滞销而降价，如果降价1元，则每天可多售出2盒，若要平均每天盈利1650元，则每盒应降价多少元？设每盒应降价元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【考点13】一元二次方程一次函数问题； 23．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 24．（23-24八年级下·山东威海·期中）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C，D．当矩形的面积为4时，点P的坐标为（    ）    A． B． C．或 D．或 26．（2022·广东深圳·二模）如图，一次函数y＝2x+3的图像交y轴于点A，交x轴于点B，点P在线段AB上（不与A，B重合），过点P分别作OB和OA的垂线，垂足分别为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为（） A． B．（1，1） C．或（1，1） D．不存在 2、 填空题 【考点1】一元二次方程的定义与一般形式； 27．（23-24八年级下·山东威海·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 28．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【考点2】一元二次方程的解（整体思想）； 29．（2024·福建厦门·三模）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 30．（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程； 31．（23-24八年级下·吉林长春·期中）将一元二次方程化成的形式，则 ． 32．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ． 【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程； 33．（23-24九年级上·四川成都·期末）定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则 ． 34．（2024八年级下·浙江·专题练习）一元二次方程的根是 ． 【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程； 35．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知关于的分式方程，则该分式方程的解为 ． 36．（2024·上海·模拟预测）方程的解为 【考点6】配方法求（最）值、比较大小与求值； 37．（2024·四川巴中·一模）若x、y均为实数，则代数式的最小值是 ． 38．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则点关于轴的对称点坐标是 ． 【考点7】根的判别式判断根的情况与求参数取值范围； 39．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根． 40．（23-24九年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【考点8】韦达定理求值； 41．（2024·江西宜春·模拟预测）一元二次方程的两根分别为，，则 ． 42．（2024·四川泸州·三模）若，且有，及，则的值是 ． 【考点9】韦达定理与根的判别式综合； 43．（2024·江西南昌·二模）已知，为关于的方程的两个实数根，若，则 ． 44．（2024·北京东城·二模）若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ． 【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值； 45．（20-21九年级上·福建厦门·期中）设x1、x2是方程x2﹣6x+a＝0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，则实数a的取值范围是 ． 46．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图，四边形是边长为5的菱形，对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为    【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）； 47．（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ． 48．（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ． 【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）； 49．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 ． 50．（18-19九年级上·山东·单元测试）甲、乙两人同时从地出发，骑自行车去地，已知甲比乙每小时多走千米，结果比乙早到小时，若两地相距千米，则乙每小时 千米． 【考点13】一元二次方程一次函数问题； 51．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）若关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第 象限． 52．（2023·浙江台州·一模）已知点在一次函数图象上，则的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A. ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B. ，当时不是一元二次方程，不符合题意； C. ，整理可得，是一元二次方程，符合题意； D. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：， 则， ∴， 由题意得：，， 解得：，， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键． 将代入一元二次方程，求得，整体代入即可． 【详解】解：将代入一元二次方程得， ，即 ∴． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程的，解答此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ∴， ． 故选D． 6．D 【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得． 【详解】 ． 故选：D． 7．D 【解析】略 8．B 【分析】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令，然后得出关于x的方程，如果方程有解，则称函数和是“奇妙函数”，若无解，则称函数和不是“奇妙函数”． 【详解】解：A、令， 则， 整理得：， 解得：，， ∴函数和是“奇妙函数”，故A不符合题意； B、令， 则， 整理得：， ∵， ∴方程无实数解， ∴函数和不是“奇妙函数”，故B符合题意； C、令， 则， 整理得：， 解得：，， ∴函数和是“奇妙函数”，故C不符合题意； D、令， 则， 整理得：， 解得：，， ∴函数和是“奇妙函数”，故D不符合题意． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0叫做原方程的增根．先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号、移项、合并同类项，得， 两边同时除以2，得． 若原分式方程无解，则， 解得或2． 当时，，解得； 当时，，解得． ∴或8． 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了无理方程的定义，能熟记无理方程的定义是解此题的关键，注意：根号内含有未知数的方程叫无理方程． 根据无理方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； B．根号内含有未知数，方程属于无理方程，故本选项符合题意； C．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； D．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 11．D 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的运算计算出结果． 【详解】解： 因为，， ， 所以当，时， 原式有最小值4， 故选：D． 12．B 【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：B 13．C 【分析】本题主要考查根的判别式，分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案． 【详解】解：A．∵， ∴方程没有实数根，不符合题意； B．∵， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； C．方程化为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； D．∵， ∴方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 14．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，一元二次方程的定义，解不等式，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根． 根据题意可得，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且． 故选：D． 15．D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．设该方程的两个实数根为和，由根与系数的关系得，，，将代入即可求解． 【详解】解： 设关于的一元二次方程实数根为和， 则：，， ，解得， ，解得， 故选：D． 16．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． 【详解】解：设另一根是，则有 ， 解得：， 故选：C． 17．D 【分析】本题考查了一元二次方程（为常数）的根的判别式与根的个数．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练掌握相关知识点是解题的关键．求出，判断其符号即可得解，也考查了根与系数的关系． 【详解】解：由，得， ，又， ， 该方程有两个不相等的实根，并设为，， ∵， ∴两个根为一个正根，一个负根． 故选：D． 18．B 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键． 首先根据有两个实数根得到，求出，然后由两根同号得到，求出，即可求解． 【详解】∵方程有两个同号的实数根， ∴ 解得； ∵两根同号， ∴ ∴解得 ． 故选：B． 19．B 【分析】分2为底边长或腰长两种情况考虑：当2为底时，由a=b及a+b=10即可求出a、b的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系找出n+1=5×5即可；当2为腰时，则a、b中有一个为2另一个为8，由2、2、8不能围成三角形可排除此种情况．综上即可得出结论． 【详解】解：当2为底边长时，则a=b， ∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴a+b=10，ab= n+1， ∴a=b=5． ∵5，5，2能围成三角形， ∴n+1=5×5， 解得：n=24； 当2为腰长时，a、b中有一个为2，则另一个为8， ∵8，2，2不能围成三角形， ∴此种情况不存在． 故选：B． 【点拨】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分2为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键． 20．A 【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则，则再根据根与系数的关系可得：；代入中，得到关于m的方程后，求得m的值． 【详解】由直角三角形的三边关系可得：   又有根与系数的关系可得： ∴ 整理得：   解得：m=−3或5. 又∵, ∴ 解得 ∴. 故选:A. 【点拨】考查一元二次方程根与系数的关系以及菱形的性质，注意掌握勾股定理在解题中的应用. 21．B 【分析】增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程． 【详解】解：设平均每月增率是x， 二月份的产量为：500×（1+x）； 三月份的产量为：； 故选：B． 【点拨】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键. 22．C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润=（售价-进价）销量即可列出方程． 【详解】解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售月饼100盒，如果降价1元，则每天可多售出2盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利1650元， ∴， 故选：C． 23．A 【分析】根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得： BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm， 因为BC2+DC2＝BD2， 则（10﹣16x）2+（12x）2＝62， 解得：x1＝x2＝0.4． 答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km． 故选A． 【点拨】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 24．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：． 故选：A． 25．D 【分析】设，根据矩形的面积为4求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意可得：，化简可得： 解得或 即点的坐标为：或 故选：D 【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了一次函数的性质，解题的关键是理解题意，正确的列出方程． 26．C 【分析】设，由题意可得，则，，列方程求解即可． 【详解】解：设， 由题意可得：， 点P在线段AB上（不与A，B重合），则 ∴，， 由题意可得：，即， 解得：或，均符合题意， 即，或 故选：C 【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了一次函数的性质，解题的关键是设点P坐标，根据题意列出方程． 27．1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项系数不为0．根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， 解得，； 故答案为：1． 28． 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．去括号合并同类项整理即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为： 29． 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 30． 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 31． 【分析】此题考查的是配方法的应用，在方程的两边都加上 ，配方后可求解的值，从而可得答案． 【详解】解：∵ ， ， ， ． 故答案为：． 32．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，熟练求解一元二次方程是解题的关键，先解一元二次方程，然后根据个根均为正整数列不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数， ∴，且为正整数， 解得，且为正整数， ∴可以为 故答案为：（答案不唯一）． 33．或 【分析】根据题意，得，整理得，解方程即可． 本题考查了新定义问题，正确转化成分式方程，一元二次方程是是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 整理得， 解得． 经检验，是原方程的根， 故答案为：或． 34．， 【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 【详解】解：移项，得， 提公因式得，， 或， ，． 故答案为：，． 35． 【分析】本题考查了解分式方程以及因式分解法解一元二次方程，先把分式方程化为整式方程，再移项合并同类项，运用因式分解法解方程，注意验根，即可作答． 【详解】解： 去括号，得 得 即、 解得 经检验，是原方程的解，使得原方程无解 ∴该分式方程的解为 故答案为： 36． 【分析】本题考查了解无理方程，将方程两边同时平方，再解方程得出的值，检验即可得出答案． 【详解】解：两边平方得：， 移项得：， 解得：，， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 37． 【分析】此题考查了配方法，将转化为，即可得到原式的最小值，熟练掌握配方法是解本题的关键． 【详解】解：可转换为， 当时，原式取到最小值，为1， 故答案为：1． 38． 【分析】本题考查的是配方法的应用，关于轴、轴对称的点的坐标，利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性分别求出、根据关于轴对称的点的坐标特征解答，掌握完全平方公式，偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】解： ∴， ∴， 则 ，， 解得：，， 则点 关于轴的对称点坐标是， 故答案为：． 39．有两个不相等的 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的． 40． 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴ 解得，， 故答案为： ． 41． 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系式：一元二次方程，两根的和等于，两根的积等于，熟记公式是解题的关键.根据一元二次方程根与系数的关系得到，再将代数式化简代入即可得到答案. 【详解】∵一元二次方程的两根分别为，， ∴， ∴， 故答案为：. 42． 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和解的定义，方程两边同时除以，等式仍成立，和可看作方程的两根，由此可解答． 【详解】 解：， ，即， 和可看作方程的两根， ，即． 故答案为：． 43． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根及根的判别式，先根据题意可知，求出k的取值范围，再根据一元二次方程的根及根与系数的关系代入等式，求出答案即可． 【详解】根据题意可知， 即， 解得． ∵，是方程的根， ∴，． ∵， 则， 解得． 故答案为：． 44．或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设方程的两个根为，，由题意得：，，，再利用完全平方公式的变形得出，求出的值，再利用判别式检验即可得出答案． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由题意得：，，， ， ， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 综上所述，实数的值是或， 故答案为：或． 45．或 【分析】用公式法解一元二次方程，结合二次根式有意义的条件及三角形边长为正的性质，可解得进而分两种情况讨论：当时，或当时，根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、等腰三角形的性质解题即可． 【详解】设为方程的两个根，则 （1）当时， 即 时为正三角形； （2）当时， 以为腰的等腰三角形必有一个， 又因为等腰三角形只有一个，故不存在以为底，为腰的三角形， 综上所述：当或时只有一个等腰三角形 故答案为：或． 【点拨】本题考查三角形三边关系、等腰三角形的性质、根的判别式、根与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 46． 【分析】本题考查了菱形的面积，一元二次方程根与系数的关系的应用，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根， ， ， 是边上的高，四边形是边长为5的菱形， ， ， ． 故答案为：． 47． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设每件商品售价降低元，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设每件商品售价降低元 则每天的利润为：， 故答案为：． 48． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得月份租车量为次，进而可求解；掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 49．2 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解题目中的数量关系，设道路的宽为，由此列式求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：设道路的宽为， ∴，整理得，， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为， 故答案为：2 ． 50． 【分析】设乙每小时走千米，则甲每小时走千米，根据题意“甲比乙每小时多走千米，结果比乙早到小时”列出方程，解方程即可求解． 【详解】设乙每小时走千米，则甲每小时走千米， 根据题意得：， 解得或（舍去）， 经检验是原方程的解； 故答案为12． 【点拨】本题考查了分式方程的应用，解一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键． 51．一 【分析】先根据一元二次方程无实数根得到，求出，即可得到一次函数的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴，，， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过第一象限． 故答案为：一． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象等知识．一元二次方程 的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．熟知一元二次方程根的判别式和一次函数的图象与性质是解题关键． 52． 【分析】将点代入一次函数解析式得出，，代入代数式，根据配方法即可求解． 【详解】解：∵点在一次函数图象上， ∴ ∴ 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$