25.3用频率估计概率同步练习 2024-2025学年 人教版数学九年级上册

25.3用频率估计概率人教版初中数学九年级上册同步练习 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是(    ) A. 袋中装有大小和质地都相同的个红球和个黄球，从中随机取一个，取到红球 B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数 C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是或超过 2.一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的球，其中有个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子里球的个数为(    ) A. B. C. D. 3.做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数 “正面向上”的次数 “正面向上”的频率 下面有个推断： 当投掷次数是时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； 随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； 当抛掷次数为时，估计出现“正面向上”的次数约为次． 其中合理的是     ． A. B. C. D. 4.一个盒子里装有仅颜色不同的张红色和若干张蓝色卡片，随机从盒子里摸出张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，则估计盒子中蓝色卡片有(    ) A. 张 B. 张 C. 张 D. 张 5.在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是(    ) A. 红色 B. 黄色 C. 蓝色 D. 绿色 6.随机掷一枚均匀的硬币次，其中有次出现正面，次出现反面，则再掷一次这枚均匀硬币出现正面的概率是(    ) A. B. C. D. 7.某种玉米种子在相同条件下的发芽实验结果如下表： 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 则任取一粒种子，估计它发芽的概率是(    ) A. B. C. D. 8.小明做“用频率估计概率”的实验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是(    ) A. 抛掷一枚硬币，落地后硬币正面朝上 B. 一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是 D. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头” 9.一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的球，其中有个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子里球的个数为(    ) A. B. C. D. 10.年月日，贵阳市轨道交通三号线正式运营某校共有个学生，随机调查了个学生，其中有个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线在该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是(    ) A. B. C. D. 11.不透明的盒子里装有分别标记了数字，，，，，的个小球，这个小球除了标记的数字不同之外无其他差别，小华进行某种重复摸球试验，从不透明的盒子中随机摸出一个小球，记录小球上的数字后放回袋中，如图是小华统计的试验结果，根据以上信息，小华进行的摸球试验可能是(    ) A. 摸出标记数字为偶数的小球 B. 摸出标记数字为的小球 C. 摸出标记数字比大的小球 D. 摸出标记数字能被整除的小球 12.十字路口红绿灯时长设置是根据路口的实际车流状况来分配的据统计，某十字路口每天的车流量中，东西走向直行与左转车辆分别约占总流量，；南北走向直行与左转车辆分别约占总流量，因右转车辆不受红绿灯限制，所以在设置红绿灯时，按东西走向直行、左转，南北走向直行、左转的次序依次亮起绿灯作为一个周期时间当某方向绿灯亮起时，其他个方向全为红灯，若一个周期时间为分钟，则应设置南北走向直行绿灯时长为       较为合理． A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.某鱼塘养了条鲤鱼、若干条草鱼和条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为          ． 14.在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球试验次数 “摸出黑球”的次数 “摸出黑球”的频率结果保留小数点后三位 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是          结果保留小数点后一位 15.从一个不透明的口袋中随机摸出个球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了次，其中有次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有          个白球． 16.一个不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球次，其中次摸到黑球，估计盒中大约有白球          个 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于 请估计摸到白球的概率将会接近______； 计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ 如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 18.本小题分 一只不透明的袋子中装有个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字，，，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出个小球，并计算摸出的这个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如表： 摸球总次数 “和为”出现的频数 “和为”出现的频率 解答下列问题： 如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为”的频率将稳定在它的概率附近．估计出现“和为”的概率是          结果保留两位小数 如果摸出的这两个小球上数字之和为的概率是，那么的值可以取吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果的值不可以取，请写出一个符合要求的的值． 19.本小题分 一只不透明袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程．获得数据如表： 摸球次数 摸到白球频数 摸到白球频率 该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是          精确到，由此估出红球有          个； 现从该袋中摸出个球，请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到个白球，个红球的概率． 20.本小题分 小明同学发现操场中有一个不规则的封闭图形如图所示，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为米的圆，在不远处向圆内掷石子，结果记录如下： 若以石子所落的有效区域里的次数为总数，则随着投掷次数的增加，石子落在圆内含圆上的频率为          ； 估计封闭图形的面积． 21.本小题分 在件同型号的产品中，有件不合格品和件合格品． 从这件产品中随机抽取件进行检测，不放回，再随机抽取件进行检测．请用列表或画树状图的方法求两次抽到的都是合格品的概率． 在这件产品中加入件合格品后，进行如下试验：随机抽取件进行检测，然后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在，请推算出的值． 22.本小题分 对某篮球运动员进行分球投篮测试，结果如下表： 投篮次数 命中次数 命中率 直接填写表中投篮次、次相应的命中率； 这个运动员分球投篮命中的概率约是          结果精确到； 估计这个运动员分球投篮次能得多少分． 23.本小题分 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞条鱼．如果在这条鱼中有条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为你认为这种估计方法有道理吗？为什么？ 24.本小题分 投针试验 在一个平面上画一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交．根据记录在下表中的投针试验数据，估计针与直线相交的概率． 试验次数 相交次数 相交频率 在投针试验中，如果在间距、针长时，针与直线相交的概率为，那么当不变、减小时，概率如何变化？当不变、减小时，概率如何变化在试验中始终保持？ 25.本小题分 在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其余都相同某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的频率 试估算口袋中白球有______个 现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同一学生从两个口袋中各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【解答】解：从统计图中可以看出频率在上下浮动， 则可以估计事件发生的概率为． 选项A，取到红球的概率为 选项B，向上的面的点数是偶数的概率为 选项C，两次都出现反面的概率为 选项D，两次向上的面的点数之和是或超过的概率为． 故选D． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是熟练掌握其定义．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 根据频率估计概率的知识点逐一判断即可． 【详解】解：当投掷次数是时，“正面向上”的频率是，但“正面向上”的概率不一定是，此推断错误； 随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，此推断正确； 当抛掷次数为时，估计出现“正面向上”的次数约为次，此推断正确． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了利用频率估计概率，利用如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题关键． 设木箱中蓝色卡片有张，根据摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，列方程，求出的值再检验即可． 【解答】 解：设木箱中蓝色卡片有张，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 则估计木箱中蓝色卡片有张． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是利用频率估计概率的有关知识，分别求出绿球，蓝球、红球和黄球被取到的概率，再结合图表给出某种颜色的球出现的频率即可得到问题的选项． 【解答】 解：由题意得， 从中任意摸出一个球是绿球的概率是， 从中任意摸出一个球是蓝球的概率是， 从中任意摸出一个球是红球的概率是， 从中任意摸出一个球是黄球的概率是， ， 该球的颜色最有可能是绿球 6.【答案】  【解析】解：抛一枚均匀硬币出现正面和反面的概率是相等的，都是． 故选：． 抛一枚均匀硬币出现正面和反面的概率是相等的，都是． 本题考查了利用频率估计概率，注意概率和频率的区别． 7.【答案】  【解析】解：由频率估计概率，结合表中数据可知任取一粒种子，估计它发芽的概率是， 故选：． 利用频率估计概率：在相同条件下，多次重复试验，某一事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，由表中数据即可得到答案． 本题考查用频率估计概率，理解：在相同条件下，多次重复试验，某一事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率是解决问题的关键． 8.【答案】  【解析】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率， A.抛掷一枚硬币，落地后硬币正面朝上的概率为，不符合题意； B.一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； C.抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是的概率为，符合题意； D.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头”的概率为，不符合题意； 故选：． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用频率估计概率根据大量重复试验后，事件的频率会稳定在一个常数附近，这个常数可以看作是此事件的概率． 根据摸到黄球的概率为，根据“小球数量黄球数量黄球的概率”计算即可． 【解答】 解：根据题意得：． 故选D． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查概率公式的知识，用频率估计概率的知识． 求出人首日乘坐该地铁的概率，即可解答． 【解答】 解： 即该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是 11.【答案】  【解析】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于附近，所以估计此事件发生的概率约为， A、摸出标记数字为偶数的小球的概率为，不符合题意； B、摸出标记数字为的小球，概率为，不符合题意； C、摸出标记数字比大的小球的概率为，不符合题意； D、摸出标记数字能被整除的小球的概率为，符合题意； 故选：． 随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于附近，所以估计此事件发生的概率为，再分别求出四个试验的概率即可得出答案． 此题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了频率估计概率；熟练掌握频率和概率之间的关系是解题的关键． 由于右转车辆不受红绿灯限制，故计算南北走向直行占题中四种走向流量的比例可计算绿灯时长． 【解答】 解：因右转车辆不受红绿灯限制 要重新计算南北走向直行占题中四种走向流量的比例 即 ， 故选B． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查用利用频率估计概率，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量． 根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率． 【解答】 解：设草鱼有条，根据题意得： ， 解得：， 由题意可得，捞到鲤鱼的概率为， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用频率估计概率，解题关键是掌握大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率． 根据大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率求解即可． 【解答】 解：观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在附近， 故摸到黑球的概率估计值为； 故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系． 先由频率频数数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可． 【解答】 解：摸了次，其中有次摸到黑球，则摸到黑球的频率是， 设口袋中大约有个白球，则， 解得． 经检验是原方程的解，符合题意， 故答案为． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是用频率估计概率，可设盒中大约有白球个，利用黑球的概率摸出黑球的频率可列式计算求解． 【解答】 解：设盒中大约有白球个， 由题意得， 解得， 即盒中大约有白球个， 故答案为． 17.【答案】解：； ，， 答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； 设需要往盒子里再放入个白球， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：需要往盒子里再放入个白球．  【解析】【分析】 根据题意容易得出结果； 由，，即可得出结果； 设需要往盒子里再放入个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．大量反复试验下频率稳定值即概率，本题难度适中． 【解答】 解：根据题意得：当很大时，摸到白球的概率将会接近，假如摸一次，摸到白球的概率为， 故答案为：； 见答案； 见答案． 18.【答案】【小题】 【小题】 不可以取，理由：当时，列表如下： 则两个小球上数字之和为的概率为，故的值不能取． 画树状图如图： 出现“和为”的概率是，即有种可能，或或，解得或或出现“和为”的概率约是，当时，两个小球上数字之和为的概率是，故符合题意；当时，两个小球上数字之和为的概率是，故符合题意；当时，两个小球上数字之和为的概率是，故不符合题意，舍去．故符合要求的的值为或．   【解析】 略  见答案 19.【答案】【小题】   【小题】 由树状图图略可得，任意摸出个球，共有种等可能的结果，其中恰好摸到个白球，个红球的结果有种，所以所求概率为．   【解析】 略  见答案 20.【答案】【小题】 【小题】 设封闭图形的面积为，根据题意得，解得，则估计封闭图形的面积为平方米．   【解析】 略  见答案 21.【答案】【小题】 画树状图如图所示．由图，可知共有种等可能的结果，其中两次抽到的都是合格品的结果有种，两次抽到的都是合格品 【小题】 大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在，抽到合格品的概率可看成，解得推算出的值是   【解析】 见答案  见答案 22.【答案】【小题】   【小题】 【小题】 估计这个运动员分球投篮次，命中次，能得分   【解析】 略  略  见答案 23.【答案】解：有道理． 理由： 设鱼塘中共有条鱼，捞出的条鱼中有条鱼带记号，带记号鱼出现的频率为． 根据频率估计概率可得， 所以．   【解析】见答案 24.【答案】【小题】 略． 【小题】 当不变、减小时，概率减小； 当不变、减小时，概率增大．   【解析】 略   点拨：针与线相交的概率只与针长和平行线间距有关． 25.【答案】  【解析】解：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近，所以摸到白球的概率为， 所以可估计口袋中白球有个； 故答案为：； 将第一个口袋中个白球分别记为白，白，白，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有种． 两个球颜色相同的概率为． 根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数． 先利用画树状图法展示所有种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$