3.4 数列的实际应用举例（分层作业）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（北师大版2021·拓展模块一上册）

3.4 数列的实际应用举例 分层作业 基础巩固 1．某件家用电器现价2000元，现实行分期付款，每期付款数相同，若购买后每月付款一次，共付12次，一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，则每月应付款多少？（） 2．某企业为了进行技术改造，设计了两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中哪种获利更多？ (参考数据：取1.0510≈1.629，1.310≈13.786，1.510≈57.665) 3．某公司本年度的研发投入估计为100万元，由于时代数据的日新月异，该公司也决定与时倶进．为将公司发展提升到一个新高度，该公司预计今后的研发投入每年都会比上一年增加． (1)求该公司n年内研发的总投入； (2)试估计大约几年后，该公司的研发总投入超过3000万元． （参考数据：，，，） 4．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元) ？ 能力进阶 1．借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元（保留整数）？(1.016≈1.061，1.015≈1.051) 2．某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%．若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？付清全部贷款后，买这件家电实际花费多少钱？ 3．某市近8年的生产总值第一年为1000亿元，从第二年开始以10％的速度增长，那么这个城市近8年的生产总值一共是多少亿元（精确到0.01亿元）？ 素养提升 1．王老师在手机店买了一部手机，价值元．双方协商，按分期付款方式，以月利率为，每月以复利计息还款，王老师从拿到手机后第二个月开始等额还款，分个月还清，试问每月应还款多少元？, 2．某林区原有树木量为a，改变植树计划，第一年植树增长率为200%，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的. （1）假设成活率为100%，第四年末，林区的树木量a4是原来的树木量的多少倍？ （2）如果每年都有5%的树木死亡，设第n年末的树木量为bn，写出数列{bn}的递推公式． 3．据相关数据统计，2019年底全国已开通基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个. （1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.（精确到0.1万个） （2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个） 4．小杨年向银行贷款万元用于购房，银行住房贷款的年利率为，并按复利计息若双方协议自年元月起生效，每年年底还银行相同金额的贷款，到年年底全部还清（即用年时间等额还款）．则小杨每年年底还银行贷款的金额是多少元？（精确到元） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4 数列的实际应用举例 分层作业 基础巩固 1．某件家用电器现价2000元，现实行分期付款，每期付款数相同，若购买后每月付款一次，共付12次，一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，则每月应付款多少？（） 【答案】176元． 【分析】根据复利的计算方法可知，每月付款的未来价值成等比数列，利用等比数列求和公式可得结果. 【详解】设每月应付款x元． 第1个月付款钱数到最后一次付款时的未来值为， 第2个月付款钱数到最后一次付款时的未来值为， … 第12个月付款的现值即到最后一次付款时的未来值． 所以各月付款连同利息之和为， 又所购电器的现价及其利息之和为， 所以．解得． 所以每月应付款176元． 2．某企业为了进行技术改造，设计了两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中哪种获利更多？ (参考数据：取1.0510≈1.629，1.310≈13.786，1.510≈57.665) 【答案】甲方案. 【分析】根据甲方案，利用等比数列的求和公式，求得10年所获得的总利润，以及需要偿还银行的本息，得出使用甲方案所获纯利润，根据乙方案，利用等比数列求得10年所获得的总利润和偿还银行的本息，得出纯利润，比较即可得到答案. 【详解】甲方案中，每年所获利润组成等比数列，首项为1，公比为(1＋30%)， 所以10年所获得的总利润为 S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9（万元）， 贷款到期时，需要偿还银行的本息是10(1＋5%)10≈16.29(万元)， 故使用甲方案所获纯利润为42.62－16.2926.33(万元). 乙方案中，每年的利润组成等差数列，首项为1，公差为0.5，所以10年所获得的总利润为 T10＝1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) (万元)， 从第一年起，每年的贷款在到期时所产生的本息组成等比数列， 首项为1×(1＋5%)10万元，公比为， 故贷款到期时，需要偿还银行的本息是： 1×[(1＋5%)10＋(1＋5%)9＋…＋(1＋5%)] (万元)， 故使用乙方案所获纯利润为32.5－13.2119.29(万元). 综上可知，甲方案获利更多. 3．某公司本年度的研发投入估计为100万元，由于时代数据的日新月异，该公司也决定与时倶进．为将公司发展提升到一个新高度，该公司预计今后的研发投入每年都会比上一年增加． (1)求该公司n年内研发的总投入； (2)试估计大约几年后，该公司的研发总投入超过3000万元． （参考数据：，，，） 【答案】(1)万元 (2)9年 【分析】（1）根据题意，由条件可得数列是等比数列，再由其前项和公式，即可得到结果； （2）根据题意，由（1）中结果，代入计算，求解不等式，即可得到结果. 【详解】（1）设第n年该公司研发的投入估计为万元， 则，，所以数列是公比为的等比数列， 所以， 即该公司n年内研发的总投入为万元． （2）由（1）知，令，所以， 由参考数据易得，，所以，所以大约9年后，该公司的研发总投入超过3000万元． 4．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元) ？ 【答案】18.8%，2009年2月. 【分析】设每月平均下降的百分比为，则每月的价格构成了等比数列，可得，再利用等比数列求得9月份的值，列出方程即可求解． 【详解】设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列，记 (7月份价格)， 则8月份价格， 9月份价格， ∴，解得. 设，则 ，解得 即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶． 能力进阶 1．借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元（保留整数）？(1.016≈1.061，1.015≈1.051) 【答案】1739 【分析】设每月还贷元，每个月还贷后欠款为（，），由求得的值. 【详解】设每月还贷元，每个月还贷后欠款为（，）， ， ， …… 以此类推 ， 即， ， . 2．某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%．若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？付清全部贷款后，买这件家电实际花费多少钱？ 【答案】分期付款的第10个月该交付55．5元，付清全部贷款后，买这件家电实际花费1255元． 【解析】根据购买家电时支付150元，欠款为1000元，每月付50元，则需20次付清，第一次付款为，第二次付款为，……，依次类推得到是以60为首项，-0．5为公差的等差数列求解. 【详解】因为购买家电时支付150元，则欠款为1000元，每月付50元，则需20次付清， 设每次交款数额依次构成数列，则， ，……， ，即第10个月应付款55．5元． 依次类推可知，是以60为首项，-0．5为公差的等差数列， 所以， 全部付清后实际付款1105+150=1255（元）． 所以分期付款的第10个月该交付55．5元，付清全部贷款后，买这件家电实际花费1255元． 3．某市近8年的生产总值第一年为1000亿元，从第二年开始以10％的速度增长，那么这个城市近8年的生产总值一共是多少亿元（精确到0.01亿元）？ 【答案】11435.89 【分析】由题意每年的生产总值构成一个以首项，公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求这个城市近8年的生产总值． 【详解】某市近8年的生产总值第一年为1000亿元，从第二年开始以的速度增长， 每年的生产总值构成一个以首项，公比为的等比数列， 这个城市近8年的生产总值一共是： （亿元）． 素养提升 1．王老师在手机店买了一部手机，价值元．双方协商，按分期付款方式，以月利率为，每月以复利计息还款，王老师从拿到手机后第二个月开始等额还款，分个月还清，试问每月应还款多少元？, 【答案】元 【分析】法一：根据已知条件设每月还款元，列出每月还款后还剩下的欠款元的通项公式，由计算值； 法二：将元以相同的条件存储个月，计算它的本利和，设每个月还款元，分个月还清，计算到还清时其本利和，根据两者相等列出方程求值. 【详解】[解析]  法一：设每个月还款元，第1个月后欠款为元，以后第个月还款元后， 还剩下欠款元， 则，， ， … 由题意，可知，即， 所以    因为所以， 故每月应还款元． 法二：一方面，将元以相同的条件存储个月，则它的本利和为 （元）. 另一方面，设每个月还款元，分个月还清，到还清时，其本利和为 元. 由，得. 以下解法同方法一，得，故每月应还款元． 2．某林区原有树木量为a，改变植树计划，第一年植树增长率为200%，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的. （1）假设成活率为100%，第四年末，林区的树木量a4是原来的树木量的多少倍？ （2）如果每年都有5%的树木死亡，设第n年末的树木量为bn，写出数列{bn}的递推公式． 【答案】（1）倍；（2）bn＝. 【分析】（1）设林区调整计划后，第n年末的树木量为an(n＝1，2，3，…)，然后根据题意依次可求出， （2）由题意可得b1＝a(1＋200%)(1－5%)＝×a(1＋200%)＝a，bn＝bn－1(1＋)×(1－5%)＝×bn－1×(1＋)，从而可得答案 【详解】（1）设林区调整计划后，第n年末的树木量为an(n＝1，2，3，…)，则 a1＝a(1＋200%)＝3a， a2＝a1(1＋100%)＝2a1＝6a，a3＝a2(1＋)＝a2＝9a， a4＝a3(1＋)＝a3＝a. 所以第四年末，林区树木量是原来树木量的倍． （2） 由题知，第n年末的树木量为： b1＝a(1＋200%)(1－5%)＝×a(1＋200%)＝a， b2＝b1×(1＋100%)×(1－5%)＝×b1(1＋)， b3＝b2(1＋)×(1－5%)＝×b2(1＋)， b4＝b3(1＋)×(1－5%)＝×b3(1＋)， b5＝b4(1＋)×(1－5%)＝×b4(1＋)， bn＝bn－1(1＋)×(1－5%)＝×bn－1×(1＋)， ∴bn＝. 3．据相关数据统计，2019年底全国已开通基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个. （1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.（精确到0.1万个） （2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个） 【答案】（1）62.2万个，（2）2021年181万个，2022年547万个 【分析】（1）今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0.2万，根据等差数列的求和公式可得今年建设基站的个数，再加上去年基站的个数即可得到答案； （2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为，根据题意列式，可得，再求出和即可得到答案. 【详解】（1）依题意，今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0.2万， 所以今年一共建设基站万个， 所以今年底全国共有基站万个. （2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为， 则，即，解得， 所以万个， 万个. 所以2021年至少新建万个基站，2022年至少新建万个基站才能完成计划. 4．小杨年向银行贷款万元用于购房，银行住房贷款的年利率为，并按复利计息若双方协议自年元月起生效，每年年底还银行相同金额的贷款，到年年底全部还清（即用年时间等额还款）．则小杨每年年底还银行贷款的金额是多少元？（精确到元） 【答案】元 【分析】以每年年底还款后的本利欠款数构造数列，令求解即可. 【详解】设小杨每年年底还银行贷款的金额为元，第年年底还款后的本利欠款数为， 则，      ，      ，      ， ……             ∵年后，到年年底全部还清，∴， ∴， ∴（元） ∴小杨每年年底还银行贷款的金额为元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$