2024年中考数学高频压轴题突破——二次函数的最值

2024年中考数学高频压轴题突破——二次函数的最值 1． 如图，△ABC中，，，，，反比例函数的图象与AB交于点，与BC交于点E． （1）求m，k的值； （2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 2．已知二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b为常数）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0），与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线y＝﹣x+4与x轴交于点D. （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，△CDP的面积最大，并求出最大面积； （3）如图2，点M是二次函数图象上一动点，过点M作ME⊥CD于点E，MF//x轴交直线CD于点F，是否存在点M，使得△MEF≌△COD，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 3．已知函数y= （1）点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点， （2）当n=1时，此函数的最大值为 　 　 4．九年级孟老师数学小组经过市场调查，得到某种运动服的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、月销售量、月销售利润w（元）的三组对应值如下表： 售价x（元/件） 130 150 180 月销售量y（件） 210 150 60 月销售利润w（元） 10500 10500 6000 注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价） （1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②运动服的进价是　 　元/件；当售价是　 　元/件时，月销利润最大，最大利润是　 　元． （2）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（m＞0），商家规定该运动服售价不得低于150元/件，该商店在今后的售价中，月销售量与售价仍满足（1）中的函数关系式，若月销售量最大利润是12000元，求m的值． 5．某市政府为了扶贫，鼓励当地农民养殖小龙虾，如图：张叔叔顺着圩梗AN、AM（AN＝3 m，AM＝10m，∠MAN＝45°），用8m长的渔网搭建了一个养殖水域（即四边形ABCD），圩梗边不需要渔网，AB∥CD，∠C＝90°．设BC＝xm，四边形ABCD面积为S（m2）． （1）求出S关于x的函数表达式及x的取值范围； （2）x为何值时，围成的养殖水域面积最大？最大面积是多少？ 6．如图，二次函数 的图象经过点 与 . （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为 ，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值. 7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示. （1）求该二次函数的表达式； （2）当 时，则函数值y的取值范围为　 　； （3）将该二次函数的图象向上平移　 　个单位长度后恰好经过点 . 8．已知抛物线经过点，. （1）求，的值. （2）已知为正数，当时，的最大值和最小值分别为，，且，求的值. 9．抛物线 过点（0，-5）和（2，1）. （1）求b,c的值； （2）当x为何值时，y有最大值？ 10．如图是某个二次函数的部分图像。 （1）求该二次函数的解析式。 （2）补全函数图象。 （3）若抛物线上点P(m，n)到y轴的距离不大于2，请根据图像直接写出n的取值范围。 11．已知抛物线y=﹣x2﹣3x+t经过A（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P（m，n）在该抛物线上，求m+n的最大值． 12．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克价格为每千克30元物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元经市场调查发现：日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100在销售过程中，每天还要支付其他费用450元。 （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 （2）求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式。 （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大?最大获利是多少元? 13．如图，函数的图象经过点，两点，m，n分别是方程的两个实数根，且． （1）求m，n的值以及函数的解析式； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接，，，．求证：； （3）对于(1)中所求的函数，当时，求函数y的最大值和最小值． 14．某公司销售某一种新型通讯产品，已知每件产品的进价为4万元，每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元.在销售过程中发现，月销售量夕(件)与销售单价x (万元)之间存在着如图所示的一次函数关系 （1）求y关于x的函数关系式(直接写出结果) （2）试写出该公司销售该种产品的月获利z(万元)关于销售单价x(万元)的函数关系式、当销售单价x为何值时，月获利最大?并求这个最大值 (月获利一月销售额一月销售产品总进价一月总开支，) （3）若公司希望该产品一个月的销售获利不低于5万元，借助(2)中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少万元 15．居民小区要在一块一边靠墙（墙长 ）的空地上修建一个矩形花园 ，花园的一边靠墙，另三边用总长为 的栅栏围成.如图，若设花园的一边为 ，花园的面积为 . （1）求y与x之间的数关系式，写出自变量x的取值范围； （2）满足条件的花园面积能达到200 吗？如果能，求出此时的x的值；若不能，请说明理由； （3）请结合题意判断：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？ 16．某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？ （2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x. （1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC； （2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由； （3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值. 18．如图，已知二次函数，其中n为正整数，它与 y轴相交于点C． （1）求二次函数L的最小值（用含n的代数式表示）． （2）将二次函数L向左平移个单位得到二次函数． ①二次函数顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式； ②若二次函数L与二次函数关于y轴对称，求n的值． 19．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）若设该种品脚玩具上x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式； （2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润． 20．某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系. （1）若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，请计算说明理由. （2）为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽略不计）. 21．如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． （1）求这条抛物线的表达式； （2）过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ （3）点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．二次函数的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移m（）个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的m阶变换. （1）二次函数的顶点关于原点的对称点为　 　，这个抛物线的2阶变换的解析式为　 　； （2）若二次函数M的5阶变换的关系式为. ①二次函数M的解析式为 ▲ ； ②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中右侧交点为点B，动点P在抛物线y5上，过点P作于点H，请求出最小时，点P的坐标. 23．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为． （1）求关于的函数表达式； （2）当取何值时，四边形的面积为10？ （3）四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 24．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 25．为了落实国家的惠农政策，某地政府制定了农户投资购买收割机的补贴办法，其中购买Ⅰ、Ⅱ型收割机所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系： 型号 金额 Ⅰ型收割机 Ⅱ型收割机 投资金额（万元） 5 2 4 补贴金额（万元） 2 2.4 3.2 （1）分别求出 和 的函数表达式； （2）某农户准备投资10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型收割机． 设其共获得政府补贴金额为 万元，求 与其购买Ⅰ型收割机投资金额 的函数关系式． 并请你帮该农户设计一个能获得最大补贴金额的投资方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额． 26．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣3），过点P作x轴的垂线，交线段AF于点D，求线段PD长度的最大值； （3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 27．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当平行于轴时，求的值； （3）将抛物线点和点之间的部分记为图象，当的最大值和最小值之差为1时，求的取值范围； （4）以、为邻边作平行四边形，当对称轴将四边形分成两部分，且面积比为时，直接写出的值． 28．如图， 的顶点坐标分别为 ， ， ，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动.过点Q作 分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN.设运动时间为t（秒）. （1）求点M的坐标（用含t的式子表示）； （2）当t为何值时，四边形MNBP的面积最大： （3）连接AP，是否存在点P使 ，若存在，求出此时t的值，若不存在，请说明理由. 29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D为BC的中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若GA+GC有最小值，求此时点G的坐标； （3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+4x+m(m为常数)与y轴的交点为A，M(4，0)与N(0，-3) 分别是x轴、y轴上的点。 （1）若抛物线过点M(4，0)，求该抛物线顶点Q的坐标。 （2）若3≤x≤m时，抛物线y=-x2+4x+m有最小值-6，求m的值。 （3）连结AM，当AM的垂直平分线I恰好经过点N时，求直线I的解析式。 （4）若抛物线与线段MN有公共点，直接写出m的取值范围是　 　。 学科网（北京）股份有限公司 $$