第十章概率章末综合测试-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章《概率》章末综合测试 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的频率为(　　) A. 0.49 B. 49 C. 0.51 D. 51 2. 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A. 恰好有1件次品和恰好有2件次品 B. 至少有1件次品和全是次品 C. 至少有1件正品和至少有1件次品 D. 至少有1件次品和全是正品 3. 在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是（ ） A. 2件都是一级品 B. 2件都是二级品 C. 一级品和二级品各1件 D. 至少有1件二级品 4. 某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类画的概率为(　　) A. B. C. D. 5. 已知，若向量，则向量与向量夹角为锐角的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（    ） A. B. C. D. 7.甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰有一人击中靶”，对下列关系式(表示A的对立事件，表示B的对立事件)：①E＝，②F＝AB，③F＝A＋B，④G＝A＋B，⑤G＝B＋A，⑥P(F)＝1－P(E)，⑦P(F)＝P(A)＋P(B).其中正确的个数是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 8. 将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件不相互独立的是（ ） A. 甲与丙 B. 乙与丙 C. 乙与丁 D. 丙与丁 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某高中一年级共有甲、乙、丙3个班级，其中甲班40人，乙班50人，丙班40人，在某次数学月考中，甲班的及格率为，乙班的及格率为，丙班的及格率为，则（ ） A. 若用简单随机抽样法从一年级所有学生中抽取13人，则甲班应抽取4人 B. 若按照各班人数比例用分层随机抽样法从一年级所有学生中抽取26人，则丙班应抽取8人 C. 这次一年级数学月考的平均及格率为 D. 若从这次一年级数学月考及格的学生中随机抽1人，则该学生来自丙班的概率最大 10. 小明参加文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互不影响，文学社面试成功的概率为，话剧社面试成功的概率为，辩论社面试成功的概率为，则（ ） A. 文学社和话剧社均面试成功的概率为 B. 话剧社与辩论社均面试成功的概率为 C. 有且只有辩论社面试成功的概率为 D. 三个社团至少一个面试成功的概率为 11. 连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为p，第二次向上的点数为q，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（    ） A. B. 事件与互斥 C. D. 事件与对立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，语文和数学同时及格的概率为0.75，则至少有一科及格的概率为________. 13. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为____________. 14. 某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为______．（结果用最简分数表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂对工人的专业技能做了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中． （1）求测试成绩的分位数； （2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的工人中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率． 16. 甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次质检，首次质检合格的零件作为一等品出售，不合格的零件交由原技工进行重新加工，重新加工完进行再次质检，再次质检合格的产品作为二等品出售，不合格的作废品处理．已知甲加工的零件首次质检的合格率为，重新加工后再次质检的合格率为，乙加工的零件首次质检和重新加工后再次质检的合格率均为，且每次质检合格与否相互独立，现由甲、乙两人各加工1个零件． （1）求这2个零件均质检合格的概率； （2）若一等品的价格为100元，二等品的价格为50元，废品的价格为0元，求这2个零件的价格之和不低于100元的概率. 17. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛． (1) 求从这三个协会中分别抽取的运动员的人数； (2) 将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛． ①用所给编号列出所有可能的结果； ②设事件A为“编号为A3和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率． 18.亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第19届杭州2022年亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，某地举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，右图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间）， （1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第10的选手分数； （2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至少有1位是95分以下选手的概率是多少？ （3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为12，试求所有选手的平均分和方差. 19. 某电子产品制造企业为了提升生产质量，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）. 质是指标值 产品 60 100 160 300 200 100 80 （1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； （2）设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初步稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章《概率》章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D B B B B D BC BCD BCD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的频率为(　　) A. 0.49 B. 49 C. 0.51 D. 51 解：由题意知“正面朝上”的频率为0.49，故“正面朝下”的频率为1－0.49＝0.51. 2. 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A. 恰好有1件次品和恰好有2件次品 B. 至少有1件次品和全是次品 C. 至少有1件正品和至少有1件次品 D. 至少有1件次品和全是正品 解：A. 由条件可知，恰好有1件次品和恰好有2件次品互斥事件，但不是对立事件，故A正确； B.至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故B错误； C.至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故C错误； D. 至少有1件次品和全是正品是对立事件，故D错误. 3. 在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是（ ） A. 2件都是一级品 B. 2件都是二级品 C. 一级品和二级品各1件 D. 至少有1件二级品 解：设，，分别表示3件一级品，，分别表示2件二级品, 任取2件，则样本空间， 共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等， 记事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，则. 记事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，则. 记事件C表示“2件中1件一级品、1件二级品”，包含6个样本点，则. 事件A，B，C两两互斥，所以， 又由表示“至少有1件二级品”. 4. 某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类画的概率为(　　) A. B. C. D. 解：设事件A＝“恰好抽到2幅不同种类画”．某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数n＝15，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数m＝12，则恰好抽到2幅不同种类的概率为P(A)＝＝＝. 5. 已知，若向量，则向量与向量夹角为锐角的概率为（ ） A. B. C. D. 解：向量与向量夹角为锐角等价于且与不同向， 即，且； 易知共有16个，分别是， ， 满足条件的为共4个， 故所求的概率为， 6. 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（    ） A. B. C. D. 解：设甲校2男1女编号分别为1，2，A，乙校1男2女编号分别为B，3，4， 若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名， 写出所有可能的结果有：，，，，，，， ，共计9个， 选出的2名教师性别相同的结果有，，，共计4个， 故选出的2名教师性别相同的概率为． 7.甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰有一人击中靶”，对下列关系式(表示A的对立事件，表示B的对立事件)：①E＝，②F＝AB，③F＝A＋B，④G＝A＋B，⑤G＝B＋A，⑥P(F)＝1－P(E)，⑦P(F)＝P(A)＋P(B).其中正确的个数是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解：由题可得，E＝，所以①正确；F＝AB＋B＋A或F＝A＋B，所以②错误，③正确；G＝B＋A，所以④错误，⑤正确；E，F互为对立事件，则P(F)＝1－P(E)，所以⑥正确；事件F＝“靶被击中”，则P(F)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以⑦错误.故正确的是①③⑤⑥. 8. 将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件不相互独立的是（ ） A. 甲与丙 B. 乙与丙 C. 乙与丁 D. 丙与丁 解：由题可得，样本空间 共36个样本点， 记甲、乙、丙、丁4个事件分别为 则, , , 所以 因为,所以, 所以甲与丙事件相互独立，A错误； 因为,所以, 所以乙与丙事件相互独立，B错误； 因为, 所以, 所以乙与丁事件相互独立，C错误； 因为, 所以, 所以丙与丁事件不相互独立，D正确； 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某高中一年级共有甲、乙、丙3个班级，其中甲班40人，乙班50人，丙班40人，在某次数学月考中，甲班的及格率为，乙班的及格率为，丙班的及格率为，则（ ） A. 若用简单随机抽样法从一年级所有学生中抽取13人，则甲班应抽取4人 B. 若按照各班人数比例用分层随机抽样法从一年级所有学生中抽取26人，则丙班应抽取8人 C. 这次一年级数学月考的平均及格率为 D. 若从这次一年级数学月考及格的学生中随机抽1人，则该学生来自丙班的概率最大 解：A.如果是按照分层抽样甲班应抽取人，但是用简单随机抽取 就不一定了，故A错误； B.按照分层抽样，丙班应抽取人，故B正确； C.一年级的平均及格率为，故C正确； D.甲班及格的的有20人，乙班及格的有30人，丙班及格的有28人，从这次一年级数学月 考及格的学生中随机抽1人，来自甲班的概率为，来自乙班的概率为， 来自丙班的概率为，所以该学生来自乙班的概率最大，故D错误. 10. 小明参加文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互不影响，文学社面试成功的概率为，话剧社面试成功的概率为，辩论社面试成功的概率为，则（ ） A. 文学社和话剧社均面试成功的概率为 B. 话剧社与辩论社均面试成功的概率为 C. 有且只有辩论社面试成功的概率为 D. 三个社团至少一个面试成功的概率为 解：对于A中，根据题意，文学社和话剧社均面试成功的概率为，所以A不正确； 对于B中，根据题意，话剧社与辩论社均面试成功的概率为，所以B正确； 对于C中年，根据题意，有且只有辩论社面试成功的概率为，所以C正确； 对于D中，三个社团都不成功的概率为，所以三个社团至少一个面试成功的概率为，所以D正确. 11. 连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为p，第二次向上的点数为q，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（    ） A. B. 事件与互斥 C. D. 事件与对立 解：若，，A错误； 若，则恒成立，即事件与不可能同时发生 事件与互斥，正确； ，正确； 所有取值为， 当，所有取值为， 所以事件与对立，正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，语文和数学同时及格的概率为0.75，则至少有一科及格的概率为________. 解：设“小张语文成绩及格”，“小张数学成绩及格”， 则“语文和数学同时及格”，“语文数学两科至少有一科及格”， 由已知得，，，， 代入和事件概率公式得， . 13. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为____________. 解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数所有可能的结果有：，共个基本事件； 其中满足的有：，共个基本事件， 所求概率. 14. 某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为______．（结果用最简分数表示） 解：记至少有一次成功的概率为事件，实验甲、乙、丙成功分别为事件 由题意，，， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂对工人的专业技能做了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中． （1）求测试成绩的分位数； （2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的工人中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率． 解：（1）由频率分布直方图可知，即， 又，所以，． 前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 则分位数，且． （2）成绩在和内的人数之比为， 故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，，成绩在内的有1人，设为， 再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种， 这2人成绩均在内的情况有，，，共3种， 故这2人成绩都在内的概率为． 16. 甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次质检，首次质检合格的零件作为一等品出售，不合格的零件交由原技工进行重新加工，重新加工完进行再次质检，再次质检合格的产品作为二等品出售，不合格的作废品处理．已知甲加工的零件首次质检的合格率为，重新加工后再次质检的合格率为，乙加工的零件首次质检和重新加工后再次质检的合格率均为，且每次质检合格与否相互独立，现由甲、乙两人各加工1个零件． （1）求这2个零件均质检合格的概率； （2）若一等品的价格为100元，二等品的价格为50元，废品的价格为0元，求这2个零件的价格之和不低于100元的概率. 解：（1）设事件表示“甲加工的零件质检合格”，事件表示“甲加工的零件首次质检合格”，事件表示“甲重新加工的零件再次质检合格”；设事件表示“乙加工的零件质检合格”，事件表示“乙加工的零件首次质检合格”，事件表示“乙重新加工的零件再次质检合格”． 由题意知，，，且事件与，与互斥，事件与，与，与相互独立. 则， . 所以. （2）设事件表示“这2个零件的价格之和不低于100元”，则， ， ， 则. 17. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛． (1) 求从这三个协会中分别抽取的运动员的人数； (2) 将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛． ①用所给编号列出所有可能的结果； ②设事件A为“编号为A3和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率． 解：(1) 由题意，得甲、乙、丙三个乒乓球协会共有运动员27＋9＋18＝54(人)， 抽样比为＝，所以从这三个协会中抽取的运动员的人数分别为3,1,2. (2) ①由题意，得从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛所有可能结果为 {A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种． ②编号为A3和A6的两名运动员中至少有1人被抽到所有可能结果为 {A1，A3}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种， 所以事件A发生的概率为＝. 18. 亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第19届杭州2022年亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，某地举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，右图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间）， （1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第10的选手分数； （2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至少有1位是95分以下选手的概率是多少？ （3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为12，试求所有选手的平均分和方差. 解：（1）因为已有矩形的面积和为， 所以缺失的矩形面积为， 所以高度为， 由于，所以第10名记为第75百分位数， 设第10名的成绩为，则位于第5组，且，解得， 所以成绩排名第10的选手分数为129； （2）105以下合计6个人，将6人依次编号为1，2，3，4，5，6（95分以下的人编号为1，2），任选2个人的方法数， 列举出所有样本点：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共计15种， 包含1，2的有9种，故概率为； （3）男子组选手的平均分 ， 男子组得分的方差 所有选手的平均得分为， 所以所有选手得分的方差. 19. 某电子产品制造企业为了提升生产质量，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）. 质是指标值 产品 60 100 160 300 200 100 80 （1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； （2）设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初步稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？ 解：（1）解：由检测数据的统计图表，可得： 平均数， 方差为 （2）解：由（1）知，，因为，，所以， 又因为精确到个位数，所以， 则， 该抽样数据落在内的概率约为， 又由，， 所以该抽样数据落在内的概率约为， 所以，可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功. 学科网（北京）股份有限公司 $$