必修第二册综合质量检测-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）

北师大版（2019）必修第二册综合质量检测 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知向量， ， ，若与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，设甲：；乙：复数为纯虚数，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则 5. 已知，则值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 8. 圣·索菲亚教堂（英语： SAINTSOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位. 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 20m B. 30m C. m D. m 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，是两个不共线的向量，，，则与可以作为平面向量的一组基底 B. 在中，，，，则这样的三角形有两个 C. 已知是边长为2的正三角形，其直观图的面积为 D. 已知，，若与的夹角为钝角，则k的取值范围为 10．已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ） A． B．函数在上为增函数 C．直线是函数图象一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 11. 已知正三棱台中，的面积为，的面积为，，棱的中点为，则（ ） A. 该三棱台的侧面积为 B. 该三棱台的高为 C. 平面 D. 二面角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，点为边上的点，且，若，则的值是__________. 13. 已知，，则________． 14. 在直三棱柱中，所有棱长均相等，则二面角正切值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量． （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角． 16. 已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）. （1）求复数和； （2）复数在复平面对应的点在直线上，求实数的值. 17. 已知，，且函数 （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若为锐角且，求的值． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱，上，且，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的大小． 19. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）若，求的值； （2）过点B作BC的垂线l，D为l上一点． ①若，，求线段AD的长； ②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版（2019）必修第二册综合质量检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A D B D D C ABC ABD BCD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知向量， ， ，若与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 解：因为向量， ， ， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得. 2. 已知，设甲：；乙：复数为纯虚数，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：． 若z为纯虚数，则，所以， 故甲是乙的必要不充分条件． 3. 已知圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 解：由题知，如图， 为圆锥的轴截面，边长均为， 则圆锥的高， 底面半径， 故圆锥体积. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则 解：对于A，若，则或和相交，A错误； 对于B，若，则不一定有，还有可能是，B错误； 对于C，若，则或，C错误； 对于D，为异面直线，，由于， 则过n作平面与相交，交线为，则， 因为为异面直线，故必相交，若平行，则可得，不合题意； 又由于，故， 而相交，，故，D正确， 5. 已知，则值为（ ） A. B. C. D. 解： . 6. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 解：因为，所以， 又，，所以，得到， 所以， 设与的夹角为，则， 所以在上的投影向量为：， 7. 已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 解：由题意，是函数的最大值，，即． ，． 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，，符合题意. 的最小值为7. 8. 圣·索菲亚教堂（英语： SAINTSOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位. 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 20m B. 30m C. m D. m 解：由题意可知，在中，， 则， 所以， 在中，， 则， 由正弦定理得， 所以， 在中，， 则，所以， 所以小明估算索菲亚教堂的高度为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，是两个不共线的向量，，，则与可以作为平面向量的一组基底 B. 在中，，，，则这样的三角形有两个 C. 已知是边长为2的正三角形，其直观图的面积为 D. 已知，，若与的夹角为钝角，则k的取值范围为 解：对A，因为，是两个不共线的向量，且，，设， 则，这样的不存在，所以与不共线，则与可以作为平面向量的一组基底，故A正确； 对B，因为在中，，，，由余弦定理可得，， 即，易知且两根之和，两根之积都为正， 所以方程有两根，故B正确； 对C，因为是边长为2的正三角形，则，设其直观图的面积为， 因为直观图的面积与平面图形的面积比为，即，故C正确； 对D，因为，，则， 设与的夹角为，则， 且，解得且，故D错误； 10．已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ） A． B．函数在上为增函数 C．直线是函数图象一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 解：因为的最小正周期为， 所以，即，所以， 对于A：应该为1，故A正确； 对于B：当时，， 函数在上为增函数，故B正确， 对于C：令，， 所以的对称轴为，， 所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误， 对于D：令，，解得，， 当时，，， 所以点是函数图象的一个对称中心，故D正确． 11. 已知正三棱台中，的面积为，的面积为，，棱的中点为，则（ ） A. 该三棱台的侧面积为 B. 该三棱台的高为 C. 平面 D. 二面角的余弦值为 解：对于A，根据条件可得，， 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 因为，，， 所以，，则， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，，所以，， 则，即等腰梯形的高为， 其面积为， 所以该三棱台的侧面积为，故A错误； 对于B，设的中心为，的中心为，可知是直角梯形， 过点在平面内作，垂足为点， 因为，，，则四边形为矩形， 因为，解得，同理可得， 所以，，， 所以，，则， 所以，，故B正确； 对于C，分别延长棱、、交于点， 因为，，则，可得， 则，同理可得， 所以，四面体为正四面体， 延长交于点，则，所以，， 且，即，则为的中点， 又因为，则为正的中心，故平面，故C正确； 对于D，二面角即正四面体相邻侧面的夹角， 因为为的中点，为等边三角形，则， 且， 因为是边长为的等边三角形，则，且， 故二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 则，故二面角的余弦值为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，点为边上的点，且，若，则的值是__________. 解：因为点为边上的点，且， 所以， 又因为，所以， 所以. 13. 已知，，则________． 解：因为，即，可得， 又因为，可得， 所以. 14. 在直三棱柱中，所有棱长均相等，则二面角正切值为______． 解：不妨设直三棱柱的所有棱长均为2，取中点，连结， 因为平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面， 所以 则为二面角的平面角，， 即二面角的正切值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量． （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角． 解：（1）因为， 所以 即， 即， 即， 所以， 所以； （2）由题意可得 又因，所以， 解得， 所以 所以 即 又因为， 所以. 16. 已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）. （1）求复数和； （2）复数在复平面对应的点在直线上，求实数的值. 解：（1）设复数，，由是实数，则， 即，所以， 因为为纯虚数，所以且，解得， 所以， . （2）由（1）知， 在复平面上对应的点为， 又已知在复平面上对应的点在直线上，则有：， 解得：. 17. 已知，，且函数 （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若为锐角且，求的值． 解：（1） ， 最小正周期． 令，， 得，， 则，， 的单调递增区间为，. （2）由，得， 又因为为锐角，即，所以，． 又因为，所以 则． 所以 . 18. 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱，上，且，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的大小． 解：（1）连接．由已知可得， 又，易得四边形是正方形，则． 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以． 又，平面，所以平面． （2）连接，，如图所示． 因为，三棱柱是直三棱柱， 易知平面，又平面， 所以点到平面的距离即为． 设点到平面的距离为． 由，得， 即， 得，解得， 即点到平面的距离为． （3）如图，设与相交于点，连接． 由（1）知，平面，所以是直线与平面所成的角． 由勾股定理得，， 则，得， 故直线与平面所成的角为． 19. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）若，求的值； （2）过点B作BC的垂线l，D为l上一点． ①若，，求线段AD的长； ②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围． 解：（1）由正弦定理，∴，， 代入，整理得∴； （2）①在中，由正弦定理，得， ∴，∴或（舍），∴， ∵，且，所以三点共线， ∴，故， ∴，∴． ②设，，，则，， 在中，，则， 在中，， 则 ， 因为，故，， 则，即的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$