专题08 幂函数与二次函数练习-2025届高三数学一轮复习

专题08 幂函数与二次函数（练习） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（    ） A． B．或 C． D． 2.若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 3.已知幂函数图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 4.函数在区间上存在反函数的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 5.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6.方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．的图象经过点 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 10.随机变量的分布列如表：其中，下列说法正确的是（    ） 0 1 2 P A． B． C．有最大值 D．随y的增大而减小 11.已知函数，则（    ） A．当有2个零点时，只有1个零点 B．当有3个零点时，只有1个零点 C．当有2个零点时，有2个零点 D．当有2个零点时，有4个零点 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12若“，”是假命题，则实数的取值范围是______． 13.已知函数，则关于的表达式的解集为 . 14.若，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 16.已知是二次函数，且，. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最大值. 17.已知函数. (1)若对任意，都有，则的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若，求的最小值. 18. 已知幂函数的图象过点 (1)解不等式：； (2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 19.已知函数， (1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域； (2)当时，记函数的最大值为，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 幂函数与二次函数（练习） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递减，则. 故选：A 2.若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【解析】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得， 所以，所以. 故选：C 3.已知幂函数图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得，该幂函数的解析式为； 故选：B 4.函数在区间上存在反函数的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由反函数的定义可知，要存在反函数，则原函数在此区间上是单调的. 函数的对称轴为， 函数在区间上存在反函数的充分必要条件为： 或， 即或. 故选：C. 5.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，而， 所以a，b，c的大小关系为. 故选：C 6.方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内， 另一根在区间（3，4）内， 只需，即， 解不等式组可得，即的取值范围为， 故选：C. 7.已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】幂函数为偶函数，解得，函数在区间上为单调函数，利用二次函数的性质，列不等式求实数a的取值范围. 【解析】为幂函数，则，解得或， 时，；时，. 为偶函数，则. 函数在区间上为单调函数， 则或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故选：D. 8.设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【解析】令,可得． 设 根据题意与直线只有两个交点， 不妨设，结合图形可知，当时如右图， 与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点， 根据对称性可得，即，此时， ， 同理可得，当时如左图，， 故选：B． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．的图象经过点 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】ABC 【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断. 【解析】由幂函数的图象经过点， 则，得，所以幂函数，所以A正确； 又，即的图象经过点，B正确； 且在上单调递增，C正确； 不等式，即，解得，D错误. 故选：ABC. 10.随机变量的分布列如表：其中，下列说法正确的是（    ） 0 1 2 P A． B． C．有最大值 D．随y的增大而减小 【答案】ABC 【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选项的正误即可． 【解析】由题意可知，即，故A正确； ，故B正确； ， 因为，，易得， 而开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得最大值， 所以随着y的增大先增大后减小，当时取得最大值，故C正确，D错误. 故选：ABC. 11.已知函数，则（    ） A．当有2个零点时，只有1个零点 B．当有3个零点时，只有1个零点 C．当有2个零点时，有2个零点 D．当有2个零点时，有4个零点 【答案】BD 【解析】令，得， 利用指数函数与二次函数的性质作出的大致图象，如图所示， 由图可知，当有2个零点时，或， 此时无零点或只有1个零点，故A错误； 当有3个零点时，，此时只有1个零点，故B正确； 当有2个零点时，，此时有4个零点．故C错误，D正确. 故选：BD. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12若“，”是假命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出给定命题的否定，再由所得命题为真命题，求解作答. 【解析】命题“，”的否定是：，， 依题意，命题“，”为真命题， 当时，成立，则， 当时，不等式恒成立，则，解得， 综上得：， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 13.已知函数，则关于的表达式的解集为 . 【答案】 【解析】由题意可知，的定义域为， 所以， 所以函数是奇函数， 由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增， 由，得，即， 所以，即，解得， 所以关于的表达式的解集为. 故答案为：. 14.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式结合求得，将整理变形为，令，结合二次函数知识即可求得答案. 【解析】由可得， 而，当且仅当时，等号成立， 即，解得， 由可知， 所以， 令，则， 函数在单调递增，在单调递减 故， 即的取值范围是， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据函数为幂函数得，从而求出代入解析式检验，进而可求出的解析式； （2）求出的对称轴，然后由在上是单调函数，得或，从而可求出实数的取值范围. 【解析】（1）由题意，解得或3， 若是偶函数，代入检验可得，故； （2），对称轴是， 若在上是单调函数，则或，解得或． 所以实数的取值范围为或． 16.已知是二次函数，且，. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设，由，求得，再由，列出方程组，求得，即可求得函数的解析式； （2）由（1）知，结合二次函数的性质，即可求解. 【解析】（1）解：根据题意，设， 因为，可得，即， 又由， 且， 又因为，即， 所以， 可得，解得，所以. （2）解：由（1）知， 可得函数的图象开口向上，且对称轴为，所以， 当时，根据二次函数的对称性，可得， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，根据二次函数的对称性，可得， 所以函数在区间上的最大值为， 综上可得，当时，的最大值为；当时，的最大值为. 17.已知函数. (1)若对任意，都有，则的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件列出等量关系，由此求解出的值，则解析式可知； （2）根据区间与对称轴的关系列出不等式，由此求解出的取值范围； （3）分析对称轴与区间的关系，结合二次函数的单调性求解出. 【解析】（1）因为， 所以， 化简得，且不恒为， 所以，所以， 所以； （2）因为的对称轴为，又在区间上不单调， 所以，所以， 所以的取值范围为； （3）的对称轴为， 当时，即时，在上单调递增，所以； 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以； 当时，即时，在上单调递减，所以， 综上可知，. 18.已知幂函数的图象过点 (1)解不等式：； (2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象所过点求出幂函数解析式，再由二次不等式求解即可； （2）分离参数后由题意转化为求二次函数的最小值即可得解. 【详解】（1）因为幂函数的图象过点， 所以，解得 所以， 由， 所以， 整理得，即 解得或 故不等式的解集为 （2）由（1）可知，，则， 由得，， 即， 令，根据题意，存在实数，， 则 ，由于， 所以当时，取最小值，故， 所以的取值范围为. 19.已知函数， (1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域； (2)当时，记函数的最大值为，求的最小值． 【解析】（1）当时，函数， 当时，函数， 此时，函数在上单调递增， 当时，函数， 此时，函数在上单调递增， 所以函数单调递增区间为和； 因为函数单调递增区间为和， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，， 因为，， ，， 所以函数在区间的值域为； （2）由已知可得，， 当时，即时，，对称轴为， 当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以， 当时，即时， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 当时，即时，若，，若，， 因为当时，，对称轴为， 所以函数在区间上单调递增，所以， 当，即时，此时， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 若，即时，， 若，即时，， 综上所述，， 函数在区间上单调递减， 函数在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$