第13讲 弧长及扇形面积【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第13讲 弧长及扇形面积 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握弧长的计算公式； 2．掌握扇形的面积计算公式； 一、弧长公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 二、扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即 　　 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 三、圆锥的侧面积和全面积 　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 　　圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 　　圆锥的侧面积， 圆锥的全面积. 要点：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的. 教材习题01 一段圆弧形的公路弯道，圆弧的半径是 2km，一辆汽车以每小时60 km的速度通过弯道，需时 20s. 求弯道所对圆心角的度数（精确到 0.1°） 解题方法 如果能求出弯道的弧长，那么由于半径已知，根据弧长公式就可以求出弯道所对圆心角的度数援 【答案】 解：汽车在 20s内通过的路程为l= ×20＝ （km） 由弧长公式 l＝ ，得圆心角的度数为 n＝ ＝＝ ≈9.5（度） 答：弯道所对圆心角的度数约为 9.5毅。 考点一： 求弧长 例1．如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 变式1-1．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 考点二：求扇形半径 例2．一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的弧长为（    ）． A．3 B．2 C． D． 变式2-1．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆形的半径为1，扇形的圆心角等于，则这个扇形的半径的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 变式2-2．已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 考点三：求某点的弧形运动路径 例3．如图，已知在中，现将绕点逆时针旋转后得到，那么在旋转的过程中，点所走过的路径长为（    ）．    A． B． C． D． 变式3-1．如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．如图，在打开房门时，将门扇绕着门轴逆时针旋转后可以开到最大，若门扇的宽度，则旋转过程中点经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 考点四：求扇形面积 例4．荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，裙长为0.6米，圆心角，则马面裙的面积为 平方米． 变式4-2．在源远流长的岁月中，扇子除日用外，还孕育着中华文化艺术的智慧，凝聚了古今工艺美术之精华．将如图①所示的扇子完全打开后可近似看成如图②所示的几何图形，外侧两根竹条、的夹角，点为和所在圆的圆心，点、分别在、上，经测量，，，则贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 考点五：求弓形面积 例5．如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 变式5-1．如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 考点六：求不规则图形面积 例6．如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．如图，在中，直径，点D为上方圆上的一点，，于点E，点P是上一点，连接，得出下列结论： Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． 下列判断正确的是（    ）． A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确 变式6-2．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 1．如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 2．已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（   ） A． B．1 C． D． 3．如图，是的直径，弦，垂足为点，，，则图中阴影部分面积等于（      ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，弦， ，，则阴影部分的面积为(　　)    A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为4，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．如图，点在上，，，．若的半径为，则的长为（   ）    A． B． C． D． 8．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（   ）    A．1 B． C． D．2 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点逆时针旋转，旋转后点B的对应点的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 11．一个扇形的弧长为，这条弧所对的圆心角为，则这个扇形的面积为 ． 12．如图， 四边形中，，，交于点E，以点E为圆心，为半径的圆交于点 F，若，则阴影部分的面积为 ． 13．动滑轮是日常生活中常用的简单机械，它具有省力、费距离的特点．如图，用一个半径为20厘米的动滑轮带动重物上升，滑轮上一点P绕滑轮中心旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 厘米．（结果保留） 14．如图，正方形中，扇形与扇形的弧交于点，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 15．如图，正方形的边长为，曲线叫“正方形的渐开线”，其中、、、、的圆心依次按，，，循环，长度分别标记为，，，，当弧线长度标记为时，的值为 ． 16．如图，为的直径，为的弦，，为的中点，连接，，交于点． (1)求的度数； (2)若，求扇形的面积． 17．求下图阴影部分的面积．（单位：米．） 18．求阴影部分的面积，如图，正方形的边长是厘米，是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积． 19．如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)若，求劣弧的长．(结果保留) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 弧长及扇形面积 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握弧长的计算公式； 2．掌握扇形的面积计算公式； 一、弧长公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 二、扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即 　　 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 三、圆锥的侧面积和全面积 　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 　　圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 　　圆锥的侧面积， 圆锥的全面积. 要点：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的. 教材习题01 一段圆弧形的公路弯道，圆弧的半径是 2km，一辆汽车以每小时60 km的速度通过弯道，需时 20s. 求弯道所对圆心角的度数（精确到 0.1°） 解题方法 如果能求出弯道的弧长，那么由于半径已知，根据弧长公式就可以求出弯道所对圆心角的度数援 【答案】 解：汽车在 20s内通过的路程为l= ×20＝ （km） 由弧长公式 l＝ ，得圆心角的度数为 n＝ ＝＝ ≈9.5（度） 答：弯道所对圆心角的度数约为 9.5毅。 考点一： 求弧长 例1．如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算．根据，先计算，再用弧长公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 变式1-1．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶求解即可． 【详解】解∵，， ∴的长为， 故选∶C． 变式1-2．如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，有圆周角定理得出，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，证明是等边三角形，得出，最后再由弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 考点二：求扇形半径 例2．一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的弧长为（    ）． A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的面积求出半径，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 则：， ∴（负值已舍掉）； ∴这个扇形的弧长为； 故选B． 【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握扇形的面积公式和弧长公式，是解题的关键． 变式2-1．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆形的半径为1，扇形的圆心角等于，则这个扇形的半径的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据扇形的弧长与圆的周长相等，列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得， 故选：B 【点睛】本题考查扇形弧长公式，圆的周长，掌握扇形弧长公式，圆的周长公式，抓住扇形弧长与圆的周长相等构造等式是解题关键． 变式2-2．已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用弧长公式计算扇形半径，扇形的半径为，然后用弧长公式即可求解，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】设扇形的半径为， ∴， 解得：， 故选：． 考点三：求某点的弧形运动路径 例3．如图，已知在中，现将绕点逆时针旋转后得到，那么在旋转的过程中，点所走过的路径长为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，旋转性质，弧长公式，根据弧长公式计算即可． 【详解】根据题意，得， 故， 又， 故， 故选C． 变式3-1．如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算公式：，其中表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．如图，连接，由的内心为M，可得到，并且易证，得到，所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、M、三点作，如图，连，，在优弧取点，连接，，可得，得，，然后利用弧长公式计算弧的长即可． 【详解】解：如图，连接， 的内心为M， ，， ， ∵， ∴， ， 又，为公共边， 而， ， ， 所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上； 过、M、三点作，如图，连接，，在优弧取点，连接，， ， ， ， ∵， ， 弧的长， 所以内心M所经过的路径长为． 故选：B． 变式3-2．如图，在打开房门时，将门扇绕着门轴逆时针旋转后可以开到最大，若门扇的宽度，则旋转过程中点经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长的应用，解题的关键是掌握弧长公式，据此解答即可． 【详解】解：旋转过程中点A经过的路径长为：． 故选：B． 考点四：求扇形面积 例4．荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是： ， 故选：B 变式4-1．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，裙长为0.6米，圆心角，则马面裙的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，扇形的面积公式．由题意知，，求得，得到米，由马面裙的面积，结合扇形的面积公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∵裙长为米， ∴米， ∴马面裙的面积． 故答案为：． 变式4-2．在源远流长的岁月中，扇子除日用外，还孕育着中华文化艺术的智慧，凝聚了古今工艺美术之精华．将如图①所示的扇子完全打开后可近似看成如图②所示的几何图形，外侧两根竹条、的夹角，点为和所在圆的圆心，点、分别在、上，经测量，，，则贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解题关键是熟练掌握扇形的面积公式． 先根据已知条件求出，然后根据阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积，进行计算即可． 【详解】解：由题意可知：， ，， ， 阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积 ， 贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为， 故选：C． 考点五：求弓形面积 例5．如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，过点O作于点F，求出，由圆周角定理得，得，由三角形外角的性质得，由垂径定理得，根据勾股定理得，根据求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点F，    则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠， ∴∠， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键． 变式5-1．如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 变式5-2．如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，过点作于点，先证出是等边三角形，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，    由题意可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ， 故选：A． 考点六：求不规则图形面积 例6．如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论． 【详解】解：连接， 根据题意可得， ∵矩形，∴，， 在中，， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 变式6-1．如图，在中，直径，点D为上方圆上的一点，，于点E，点P是上一点，连接，得出下列结论： Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． 下列判断正确的是（    ）． A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】B 【分析】此题考查了扇形面积和弧长、垂径定理、圆周角定理等知识，连接，证明，得到阴影部分的面积为，即可判断Ⅰ；证明当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，即为8，得到阴影部分的周长的最小值为，即可判断Ⅱ． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ∴阴影部分的面积随着点P的位置的改变而不改变，其值为． 故Ⅰ错误； ∵垂直平分， ∴点D与点B关于对称， ∴， 当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，即为8， ∴阴影部分的周长的最小值为， ∴阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． 故Ⅱ正确； 故选：B 变式6-2．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆中不规则图形的面积求法，熟练掌握割补法、勾股定理、等边三角形的性质与判定是解题的关键．连接，先判定是等边三角形，得出有关三角形的角度，再利用勾股定理、直角三角形的性质进行边的求解，最后利用割补法求面积． 【详解】解：如图，连接， ∵以点为圆心，的长为半径画弧交于点， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为中点， ∴， ∴， 故选：D． 1．如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，先根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可．解题关键是掌握弧长公式． 【详解】解：， ， 的半径是2， 劣弧的长是． 故选：B． 2．已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】此题是圆锥的计算，主要考查了圆锥的侧面积和底面积公式，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 设出圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积和底面积之间的倍数关系求得圆锥的底面半径即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 根据题意得：， 解得：． 故选：B． 3．如图，是的直径，弦，垂足为点，，，则图中阴影部分面积等于（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，连接．证明，推出即可解决问题． 【详解】解：连接． ， ， ， ， ， ， ， ，都是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．如图，是的直径，弦， ，，则阴影部分的面积为(　　)    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，连接，则根据垂径定理可得出，继而将阴影部分的面积转化为扇形的面积，代入扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，   ， 故 即可得阴影部分的面积等于扇形的面积， 又 ， ， 故 即阴影部分的面积为 故选D． 5．如图，正方形的边长为4，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积计算，勾股定理，先根据正方形的性质，得出，，，根据勾股定理求出，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 6．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：设该扇面所在圆的半径为， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为， ∴， ∴， ∴是的正比例函数， ∵， ∴它的图像是过原点的一条射线． 故选：C． 7．如图，点在上，，，．若的半径为，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，弧长公式，连接，由可得，进而得，即得，得到，再根据圆周角定理可得，，即可得，最后根据弧长公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：． 8．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（   ）    A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键．过点作于点，设等边三角形的边长为，求出等边的面积为，根据“莱洛三角形”的面积为列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，设等边三角形的边长为，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴等边的面积为， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴等边三角形的边长为， 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点逆时针旋转，旋转后点B的对应点的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质以及旋转变换的性质，弧长的计算． 利用勾股定理、矩形的性质以及旋转变换的性质，弧长公式解决问题即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， ，， ，， 由旋转变换的性质可知， 由勾股定理，得， ∴点B在旋转过程中绕过的路径长， 故选：A． 10．如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求弧长．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得的度数，证明，再由，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得的度数，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴， 又， ∵ ∴， ∴的长度为， 故选：C． 11．一个扇形的弧长为，这条弧所对的圆心角为，则这个扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是弧长公式以及扇形的面积公式．先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：， ∴扇形的面积， 故答案为：． 12．如图， 四边形中，，，交于点E，以点E为圆心，为半径的圆交于点 F，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，过点E作交于点G，求出，根据求解即可． 【详解】解：过点E作交于点G， ∵交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为： 13．动滑轮是日常生活中常用的简单机械，它具有省力、费距离的特点．如图，用一个半径为20厘米的动滑轮带动重物上升，滑轮上一点P绕滑轮中心旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 先根据弧长公式计算出点P绕滑轮中心旋转了的路径，即半径为20厘米圆心角为的弧长，然后根据动滑轮省一半的力，则重物上升的高度为弧长的一半，计算即可． 【详解】解：点的路径长为（厘米）， 重物上升的高度为（厘米）． 故答案为：． 14．如图，正方形中，扇形与扇形的弧交于点，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的求法，仔细观察图形，利用图形是解题的关键． 根据阴影部分面积扇形 扇形,根据圆的性质，证明为等边三角形，即可得出的度数，即可解答． 【详解】解：扇形与扇形的弧交于点， 为等边三角形， ， 四边形为正方形，， ，, ． 故答案为： 15．如图，正方形的边长为，曲线叫“正方形的渐开线”，其中、、、、的圆心依次按，，，循环，长度分别标记为，，，，当弧线长度标记为时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式．每一条渐开线都是一段弧，圆心角都等于，半径分别为，，，，，再计算弧长． 【详解】解：当时，由题意可得：的半径为，圆心角为， 故． 故答案为：． 16．如图，为的直径，为的弦，，为的中点，连接，，交于点． (1)求的度数； (2)若，求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了圆周角定理，扇形的面积，准确识图，熟练掌握圆周角定理和扇形的面积公式是解决问题的关键． （1）连接，则，根据点为的中点得，进而得，据此可得的度数； （2）先求出半径为3，再根据得，然后根据扇形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：连接，如下图所示： ∵为的直径，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积为：． 17．求下图阴影部分的面积．（单位：米．） 【答案】6平方米 【详解】本题考查了圆的面积，观察图形可知，阴影部分面积直径是3米的圆的面积一半直径是4米的圆的面积一半底是3米，高是4米的三角形面积直径是5米的圆的面积一半，根据圆的面积公式，三角形面积公式，代入数据，即可解答． 【分析】解：阴影部分面积为：（平方米）． 18．求阴影部分的面积，如图，正方形的边长是厘米，是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积． 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，利用割补法把箭头所示阴影部分转移到空白部分，即可得阴影部分的面积正方形的面积个等腰直角三角形的面积，据此即可求解，掌握割补法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，利用割补法把箭头所示阴影部分转移到空白部分，则阴影部分的面积正方形的面积个等腰直角三角形的面积， ∴阴影部分的面积为平方厘米， 答：四个扇形的弧围成的阴影部分面积是平方厘米． 19．如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)若，求劣弧的长．(结果保留) 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是正方形，为直径，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为的直径， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是边长为4的正方形 ∴ ∴的长度为． 【点睛】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$