第12讲 圆内接四边形与正多边形【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第12讲 圆内接四边形与正多边形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握圆内接四边形的概念和定理； 2．掌握圆与正多边形的关系； 一、圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 二、圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 三、正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 四、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 五、正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 六、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形. 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形. 　　②正六、三、十二边形的作法. 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点. 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点. 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……. 要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 教材习题01 已知：如图，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，与△ABC的外接圆交于点 D.求证：DB＝DC. 解题方法 要证明 DB＝DC，只需证明∠DBC＝∠DCB.根据“在同圆中，同弧所对的圆周角相等”，得∠DBC＝∠DAC.又根据“圆内接四边形的对角互补”和“同角的补角相等”，可得∠DCB＝∠DAE.而已知∠DAC＝∠DAE，这就证明了∠DBC＝∠DCB. 【答案】 证明：∵ AD 是∠EAC 的平分线， ∴ ∠DAC＝∠DAE. ∵ 四边形 ABCD 内接于圆 O， ∴ ∠BAD＋∠DCB＝180°（圆内接四边形的对角互补）. ∴ ∠DCB＝∠DAE. 而∠DAC＝∠DBC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等）， ∴ ∠DCB＝∠DBC， ∴ DB＝DC. 考点一： 已知圆内接四边形求角度 例1．如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，，再根据直角三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， ∵ ， 是的直径， ， ， 故选：B． 变式1-1．如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可得的度数，由圆的内接四边形对角互补可得，又由可得，从而可得的度数． 本题主要考查了圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】， ， ∵四边形内接于， ， ， ． 故选：C． 变式1-2．如图，的三个顶点均在上，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和直角三角形的两锐角互余，连接，由四边形是圆内接四边形得，然后求出，通过圆周角定理得，则，最后通过同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 考点二：求四边形外接圆的直径 例2．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 变式2-1．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 变式2-2．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 考点三：已知正多边形的中心角求边数 例3．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可． 【详解】解：∵正多边形的中心角为， ∴这个多边形的边数是， ∴正多边形的边数是8． 故选：C． 变式3-1．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：． 变式3-2．如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 考点四：求正多边形的中心角 例4．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴这个正n边形的中心角为， 故选：D． 变式4-1．如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，易得：，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，则： ∴， ∵正方形内接于， ∴， ∴， ∴； 故选C． 变式4-2．如图，是正五边形的外接圆，点P是上的的一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接多边形性质，以及同弧所对圆周角等于圆心角的一半，根据圆内接多边形性质求得，再根据圆周角定理得到，即可解题． 【详解】解： 是正五边形的外接圆， ， ， ， 故选：B． 考点五：正多边形与圆综合 例5．如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，根据正多边形的性质求得中心角为，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， 依题意， ∵， ∴ 故选：A． 变式5-1．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形的周长是，则这个正六边形的外接圆半径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；连接，相交于点，根据题意得出是等边三角形是解题关键．由正六边形的性质证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可解题． 【详解】解：连接，相交于点，    由正多边形性质可知，， 为等边三角形， 正六边形的周长是， ， ． 这个正六边形的外接圆半径是． 故选：C． 变式5-2．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查的是正多边形与圆，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 如图：可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，据此可求得剩余部分的面积即可． 【详解】解：如图： 将正六边形可分为6个全等的三角形， ∵拼成的四边形的面积为2， ∴每一个三角形的面积为1， ∵剩余部分可分割为4个三角形， ∴原正六边形纸片的面积为6． 故选B． 1．如图，四边形内接于⊙O，是的直径，连接交于点E，若，则的度数是（    ）    A．100° B．105° C．110° D．115° 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据圆周角定理得到，求得根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于⊙O， ∴． 故选：D． 2．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，若， ∴， ∴． 故选D． 3．如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为：． 故选：A 【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 4．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 5．每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆，求出正六边形的中心角度数，即可得出结果． 【详解】解：正六边形的中心角的度数为， ∴绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转； 故选D． 6．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求正五边形的中心角，圆周角定理，三角形内角和定理，连接，求出，即得到，由，可得，与相加得到，即可求解，掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， 故选：． 7．如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO， ∴， ∴这个正多边形的边数为=10． 故选：B． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 8．如图，正六边形与正三角形共顶点，若三角形的边长为，则这个六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，设交于点G，根据正六边形性质证明是等边三角形， 推出，，推出，得到,． 【详解】连接、，设交于点G， ∵正六边形中，，， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正三角形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正多边形．熟练掌握正六边形性质，等边三角形的判断和性质，垂径定理，圆周角定理，含的直角三角形性质，是解决问题的关键． 9．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论： ①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由，，故Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误；证明，得，故③说法正确． 【详解】解：如图所示：    ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确； ∴，， ∴Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴，故③说法正确； 故选． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 10．如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，根据题意求出中心角的度数是解题的关键．根据求出，继而求出，再根据求出的度数，则由边数中心角得解． 【详解】解：连接，在优弧上取点D，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 11．如图，是的直径，点，是上的两点．若则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆内接四边形性质、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握圆内接四边形性质、圆周角定理是解决问题的关键．连接，如图所示，由圆内接四边形性质得到，再由直径所对的圆周角是直角及直角三角形性质即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是圆内接四边形， ， 是的直径， ， ， 故答案为：． 12．如图，四边形内接于以为直径的，平分，，交的延长线于点E．若四边形的面积是，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，首先证明，从而得到的面积等于四边形的面积，证明为等腰直角三角形，根据三角形面积公式即可求出，解题的关键是将四边形的面积转化为的面积． 【详解】∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，圆内接四边形中，，连接．则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由题意知，，则，，进而可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则 ．（填“、或”） 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接正多边形，分别求出、，再根据作差法即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作于，连接，过作于， 在图中，，，，， ∴，， ∴， ∴ ， 在图中，，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，点O是正八边形的中心，连接、，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，根据是正八边形即可求出． 【详解】解：∵是正八边形， ∴， 故答案为：45． 16．如图，两个大小相同的正六边形的一边重合在一起，正六边形的边长为2，连接顶点A，B，则线段的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了六边形的性质，作出右边正六边形的对角线，三条对角线交于点C，结合正六边形可以看作是6个正三角形拼接而成，即可作答． 【详解】作出右边正六边形的对角线，三条对角线交于点C，为左边正六边形的边长， ∵正六边形可以看作是6个正三角形拼接而成， ∴， ∴， ∵正六边形的边长为2，， ∴， 故答案为：． 17．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 18．如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作于点H，连结、，则可得，，在根据垂径定理和勾股定理即可求出的长； （2）由，，可得是等边三角形，先求出的面积，即可得正六边形的面积． 本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键． 【详解】（1） 如图，过点O作于点H，连结、， 则，， ， 在中， ， ， ， 故圆心O到的距离为． （2），， 是等边三角形， ， ， ∴正六边形的面积为． 19．如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．    (1)求的度数； (2)过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 【答案】(1) (2)圆的半径长是4． 【分析】（1）证明，则，根据圆内接四边形的性质得到； （2）证明是等边三角形，则，得到，则，则，再利用直角三角形的性质即可到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，    ∴， ∵     ， ∴    ， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形． ∴． ∴； （2）∵，   ∴是圆的直径， ∵，    ∴  ， ∴是等边三角形， ∴， ∴   ，    ∴ ， ∵，     ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴圆的半径是4． 【点睛】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质等知识，得到是解题的关键． 20．如图，内接于，，，点为上一点，点为的中点，连接并延长与交于点，连接，． (1)求证：． (2)当经过圆心时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，然后利用等角的补角相等得到结论； （2）连接并延长交于点，如图，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，设，则，则，解得，接着利用是的中位线得到，然后证明，从而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ； （2）解：连接并延长交于点，如图， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， 解得， ，， 是的中位线， ； 点为的中点， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理以及勾股定理． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 圆内接四边形与正多边形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握圆内接四边形的概念和定理； 2．掌握圆与正多边形的关系； 一、圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 二、圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 三、正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 四、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 五、正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 六、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形. 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形. 　　②正六、三、十二边形的作法. 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点. 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点. 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……. 要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 教材习题01 已知：如图，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，与△ABC的外接圆交于点 D.求证：DB＝DC. 解题方法 要证明 DB＝DC，只需证明∠DBC＝∠DCB.根据“在同圆中，同弧所对的圆周角相等”，得∠DBC＝∠DAC.又根据“圆内接四边形的对角互补”和“同角的补角相等”，可得∠DCB＝∠DAE.而已知∠DAC＝∠DAE，这就证明了∠DBC＝∠DCB. 【答案】 证明：∵ AD 是∠EAC 的平分线， ∴ ∠DAC＝∠DAE. ∵ 四边形 ABCD 内接于圆 O， ∴ ∠BAD＋∠DCB＝180°（圆内接四边形的对角互补）. ∴ ∠DCB＝∠DAE. 而∠DAC＝∠DBC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等）， ∴ ∠DCB＝∠DBC， ∴ DB＝DC. 考点一： 已知圆内接四边形求角度 例1．如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 变式1-2．如图，的三个顶点均在上，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点二：求四边形外接圆的直径 例2．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 变式2-1．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 变式2-2．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 考点三：已知正多边形的中心角求边数 例3．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 变式3-1．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 变式3-2．如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 考点四：求正多边形的中心角 例4．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 变式4-2．如图，是正五边形的外接圆，点P是上的的一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 考点五：正多边形与圆综合 例5．如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 变式5-1．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形的周长是，则这个正六边形的外接圆半径是（    ）    A． B． C． D． 变式5-2．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 1．如图，四边形内接于⊙O，是的直径，连接交于点E，若，则的度数是（    ）    A．100° B．105° C．110° D．115° 2．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 5．每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转（    ） A． B． C． D． 6．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 8．如图，正六边形与正三角形共顶点，若三角形的边长为，则这个六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论： ①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 11．如图，是的直径，点，是上的两点．若则的度数是 ． 12．如图，四边形内接于以为直径的，平分，，交的延长线于点E．若四边形的面积是，则 ．    13．如图，圆内接四边形中，，连接．则的度数是 ． 14．如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则 ．（填“、或”） 15．如图，点O是正八边形的中心，连接、，则 ． 16．如图，两个大小相同的正六边形的一边重合在一起，正六边形的边长为2，连接顶点A，B，则线段的长为 ． 17．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 18．如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 19．如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．    (1)求的度数； (2)过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 20．如图，内接于，，，点为上一点，点为的中点，连接并延长与交于点，连接，． (1)求证：． (2)当经过圆心时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$