2021年清华大学自主招生数学试卷（文科营暨工科营冬令营）

2021年清华大学自主招生数学试卷(文科营暨工科营冬令营) 一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分) 1、已知全集,且,则 ( ). A. B. C. D. 2、已知,为两条不同的直线,,为两个不同的平面,且,,则“”是“”的( )条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 3、已知函数的最大值在处取到,则是( ). A. 奇函数,且关于点中心对称 B. 偶函数,且关于点中心对称 C. 奇函数,且关于点中心对称 D. 偶函数,且关于点中心对称 4、已知,,是非零向量,且,,设为任意实数,当与的夹角为时,的最小值为( ). A. B. C. D. 5、已知随机变量的分布列如下表所示: 若,,成等比数列,则的最大值为( ). A. B. C. D. 6、已知,,是椭圆:上不同的三点,且原点是的重心,若点,直线的斜率恒为,则椭圆的离心率为( ). A. B. C. D. 7、已知数列满足,,其中,记表示数列的前项乘积,则( ). A. B. C. D. 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 8、在中,为边的中点,为边上一点,且,,若,则的面积等于 . 9、已知双曲线的左右焦点分别为,,过点作与一条渐近线垂直的直线,且与双曲线的左右两支分别交于,两点,若,则该双曲线的渐近线方程为 . 10、已知函数,当时,记函数的最大值为,则的最小值为 . 三、解答题(本大题共4小题,共50分) 11、已知是公差不等于的等差数列,且是等比数列,其中,,. (1) 求的值. (2) 设,,证明:. 12、如图,在四棱柱中,平面平面,底面为等腰梯形,,,,且为中点. (1) 证明:平面. (2) 若,求与平面所成线面角的正弦值. 13、已知抛物线,点在抛物线上,且在第一象限,以点为切点作抛物线的切线,并与轴交于点,过点作垂直于的直线交抛物线于,两点,其中点在第一象限,设与轴交于点. (1) 若点的横坐标为,求切线的方程. (2) 连接,,,,记,,的面积为,,,求的最小值. 14、已知函数,其中 . (1) 证明:函数有唯一的零点. (2) 设为函数的零点,证明: ① . ② (注:,). 1 、【答案】 A; 【解析】 ∵全集且, ∴. 故选. 2 、【答案】 C; 【解析】 由已知有,, 当时,平面与平面可能平行,也可能相交,故充分性不满足, 当时, ∵, ∴, ∵, ∴, 故必要性满足, ∴“”是“”的必要不充分条件. 故选. 3 、【答案】 D; 【解析】 将已知函数变形 , 其中, 又在处取得最大值, ∴()得(), ∴, ∴函数, ∴函数是偶函数且它的图象关于点对称. 故选. 4 、【答案】 C; 【解析】 分别记,,,, 设线段的中点为,由极化恒等式,得 , 即是以点为圆心,为半径的圆周上的动点, 则. 故选. 5 、【答案】 C; 【解析】 依题意,有, 则, 注意到,, 则 , 由不等式,得:, 从而的最大值为, 当且仅当,时取等号. 故选. 6 、【答案】 D; 【解析】 记线段的中点为. 设直线与直线的斜率分别为,,则,. 又注意到,则. 从而离心率. 故选. 7 、【答案】 C; 【解析】 如图所示,作出曲线与直线的图象. 设曲线与直线相切于点. 借助蛛网工作法,得单调递增,且. 下面归纳证明,. 当时,结论显然成立. 假设结论对成立. 则当时,由归纳假设只需要证明 . 又注意到,则上式成立. 即当时结论也成立. 从而结论成立. 又,则. 故选. 8 、【答案】 ; 【解析】 设,则, 在中,由余弦定理,得 , 则的面积. 故答案为:. 9 、【答案】 ; 【解析】 依题意,有,. 设直线与渐近线交于点,则,. 作直线且交直线于点,则即为的中位线. 故,. 又注意到. 则. 从而该双曲线的渐近线方程为. 故答案为:. 10 、【答案】 ; 【解析】 注意到是偶函数,则. 由绝对值三角不等式,得. 上式当且仅当时取等号, 即的最小值为. 故答案为:. 11 、【答案】 (1) . ; (2) 证明见解析. ; 【解析】 (1) 设. 则,,. 依题意,有. 则. 又是等比数列,且. 则是以为首项, 为公比的等比数列. 故. 从而. (2) 方法一 : 原不等式等价于证明. 由()的结论,得, 由 Cauchy 不等式,得 . 一方面,有. 另一方面,有 . 从而. 即原不等式成立. (2) 方法二 : 由()的结论,得. 则原不等式等价于证明. 又注意到 . 则只需要证明. 事实上,整理后即得. 这即为 Cauchy 不等式. 从而原不等式成立. 12 、【答案】 (1) 证明见解析. ; (2) . ; 【解析】 (1) 如图,连接, 依题意,有, 又,则四边形为平行四边形, 故, 又平面,平面, 则平面 . (2) 方法一 : 如图, 连接,则, 由平面平面,得平面, 又平面,则, 作交于点,连接,则, 又,则平面, 作交于点,连接,则, 又, 则平面, 即为与平面所成线面角, 设, 又,, 则, 故, 又, 则. (2) 方法二 : 以为坐标原点, 为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,, 故, ,, 设是平面的法向量,则 , 取,即 时,则 , 故与平面所成角的正弦值为 . 13 、【答案】 (1) . ; (2) . ; 【解析】 (1) . (2) 如图, 设,则. 联立直线与抛物线方程, 得. 设,, 则, 显然,, 则. 又注意到, 则 . 易知, 则 .① 最后一步即为不等式. ①式当且仅当时取到等号. 从而的最小值为. 14 、【答案】 (1) 证明见解析. ; (2) ① 证明见解析. ② 证明见解析. ; 【解析】 (1) . 则函数在区间上单调递增. 又,. 由零点存在定理,得函数在区间上存在唯一的零点. (2) ① 引理:, 设,, 则, 函数在区间上单调递减, 故,即引理得证. 一方面,设, 则, 即函数在区间上单调递减, 则 , 另一方面,结合引理,得: . 又注意到函数在区间上单调递增. 则. ② 首先证明. 注意到, 则 . 结合引理及①中结论,得: . 然后证明. 引理:, 设,, 则, 函数在区间上单调递增, 故,即引理得证. 结合①中结论,得: . 另外,注意到: , 在引理中令即知上式成立. 从而原不等式成立. 第页, 共页 学科网(北京)股份有限公司 $$