精品解析：山东省滨州市阳信县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中学业水平诊断数学试题

2023～2024学年度第二学期期中学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 由可以组成无重复数字三位数的个数为（ ） A. 4 B. 24 C. 64 D. 81 2. 如图，在某城市中两地之间有整齐的方格形道路网，是道路网中的一个交汇处，小明要从道路网的处出发，途经处到达处，则小明可以选择的最短路径条数为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 3. 若随机变量，，则（ ） A. 0.15 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.7 4. 甲、乙两人各自独立射击，甲射击两次，乙射击一次．若甲每次射击命中目标的概率为，乙每次射击命中目标的概率为，甲、乙两人每次射击是否命中目标互不影响．则在两人三次射击中至少命中目标两次的条件下，甲恰好命中目标两次的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若能被8整除，则的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 7 6. 已知随机变量，若，且，则（ ） A B. C. 5 D. 6 7. 依次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的正六面体骰子两次，设事件“第一次出现的点数是奇数”，“第一次出现的点数是1”，“两次的点数之和为奇数”，“两次的点数之和为7”，则下列结论错误的是（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C 与相互独立 D. 与相互独立 8. 排球比赛一般采用五局三胜制，第一局比赛用抽签的方式，等可能地决定首先发球的球队，在每局比赛中，发球方赢得此球后可获得下一球的发球权，否则交换发球权．甲、乙两队进行排球比赛，若甲队发球，则甲队赢得此球的概率为，若乙队发球，则甲队赢得此球的概率为．则在第一局比赛中，甲队获得第三个球的发球权的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 离散型随机变量的方差越大，随机变量取值越集中 B. 经验回归方程的决定系数越大，该模型的拟合效果越好 C. 回归分析中，两个变量的相关系数的绝对值越大，它们的线性相关程度越强 D. 正态曲线是单峰，其与轴围成的面积是随参数的变化而变化的 10. 一个袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比．现从袋子中随机摸出3个球，用分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数．则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛，约定比赛规则如下：每局比赛获胜的一方积1分，负者积0分，无平局，积分首先达到3分的一方获得最终胜利，比赛结束．若甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，表示比赛结束时两人的积分之和，则（ ） A. 服从二项分布 B. C. 比赛结束时，甲、乙的积分之比为的概率为 D. 随机变量的数学期望为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中的系数为21，则实数的值为______． 13. 甲、乙、丙、丁等6名同学站成一排照相，若要求甲与乙、丙均相邻，丁不站在两端，则不同的站法种数为______．（用数字作答） 14. 如果是离散型随机变量，则在条件下的期望满足，其中是所有可能取值的集合．现甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．若表示“甲第一次获胜时已进行的比赛局数”，表示“甲恰好第二次获胜时已进行的比赛局数”，则______；______．（两空均用数字作答．） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中第6项与第7项的系数相等． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）若，求的值． 16. 乒乓球是我国的国球，是一种世界流行的球类体育项目．某学校为了解学生是否喜欢“乒乓球运动”，从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查．统计数据整理如下：男生喜欢乒乓球运动的人数比女生喜欢乒乓球运动的人数多20人，设事件“喜欢乒乓球运动”，“学生为男生”，，． （1）完成如图列联表； 喜欢乒乓球运动 不喜欢乒乓球运动 合计 男生 女生 合计 100 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢乒乓球运动与性别有关联？ 参考公式：，其中．． 17. 某小微企业对其产品研发的年投入金额（单位：万元）与其年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： 1 5 7 8 9 2 3 6 8 11 0.7 1.1 18 2.1 2.4 （1）公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程； （2）统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和3.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量． 参考公式：对于一组数据，其回归直线斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：，，． 18. 某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图： （1）估计这100名学生的平均体育活动时间； （2）从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望； （3）以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求当为何值时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大？ 19. 已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球． （1）若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率； （2）设是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量．设的一切可能取值为，记表示在中出现的概率，其中．若表示第一次摸出的是号球，表示第二次摸出的是号球． ①求； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度第二学期期中学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 由可以组成无重复数字三位数的个数为（ ） A. 4 B. 24 C. 64 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数直接计算即可. 【详解】由题意，4个不同数字中取出3个，排成一列，共有个不同数字， 故选：B 2. 如图，在某城市中两地之间有整齐的方格形道路网，是道路网中的一个交汇处，小明要从道路网的处出发，途经处到达处，则小明可以选择的最短路径条数为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及组合计数问题，列式计算即得. 【详解】依题意，从到最短路径是共行3段，向右2段向上1段，有种方法， 同理从处到达处有种方法， 由分步乘法计数原理得小明可以选择的最短路径条数为. 故选：B 3. 若随机变量，，则（ ） A. 0.15 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.7 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，可知，即可得解. 【详解】由随机变量，， 可知， 故选：A 4. 甲、乙两人各自独立射击，甲射击两次，乙射击一次．若甲每次射击命中目标的概率为，乙每次射击命中目标的概率为，甲、乙两人每次射击是否命中目标互不影响．则在两人三次射击中至少命中目标两次的条件下，甲恰好命中目标两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由独立事件概率乘法公式求出，再根据条件概率公式求解. 【详解】设甲、乙两人三次射击中至少命中目标两次为事件，甲恰好命中目标两次为事件， 则, ， 所以. 故选：C 5. 若能被8整除，则的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理展开，结合整除即可得解. 【详解】因为， 所以能被整除，故四个选项中只有D符合. 故选：D 6. 已知随机变量，若，且，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式及方差的性质求解. 【详解】因为， 所以，即，解得， 所以， 又，所以. 故选：C 7. 依次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的正六面体骰子两次，设事件“第一次出现的点数是奇数”，“第一次出现的点数是1”，“两次的点数之和为奇数”，“两次的点数之和为7”，则下列结论错误的是（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据独立事件同时发生的概率乘法公式及互斥事件概率公式求出对应事件的概率，再逐项由是否满足公式判断事件的独立性即可得解. 【详解】由题意， 当两次分别为或或时，两次的点数之和为7， 所以， 对A，，所以， 即与相互独立，故A正确； 对B，，，所以，故B正确； 对C，，所以，故C正确； 对D，，，所以，故D错误. 故选：D 8. 排球比赛一般采用五局三胜制，第一局比赛用抽签方式，等可能地决定首先发球的球队，在每局比赛中，发球方赢得此球后可获得下一球的发球权，否则交换发球权．甲、乙两队进行排球比赛，若甲队发球，则甲队赢得此球的概率为，若乙队发球，则甲队赢得此球的概率为．则在第一局比赛中，甲队获得第三个球的发球权的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按第一球发球方进行分类，第二球必是甲胜列式计算即得. 【详解】甲乙获得发第一个球的概率均为，由甲获得第三个球的发球权，得第二球甲必胜， 当甲发第一个球时，有甲胜甲胜和乙胜甲胜两种情况，概率为， 当乙发第一个球时，有甲胜甲胜和乙胜甲胜两种情况，概率为， 所以甲队获得第三个球的发球权的概率为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 离散型随机变量的方差越大，随机变量取值越集中 B. 经验回归方程的决定系数越大，该模型的拟合效果越好 C. 回归分析中，两个变量的相关系数的绝对值越大，它们的线性相关程度越强 D. 正态曲线是单峰的，其与轴围成的面积是随参数的变化而变化的 【答案】BC 【解析】 【分析】根据方差概念，决定系数，相关系数的概念判断ABC，再由正态曲线的性质判断D. 【详解】离散型随机变量的方差越大，随机变量取值越分散，故A错误； 经验回归方程的决定系数越大，模型的拟合效果越好，故B正确； 回归分析中，两个变量的相关系数的绝对值越大，则线性相关程度越强，故C正确； 正态曲线是单峰的，其与轴围成的面积不随参数的变化而变化，始终为1，故D错误. 故选：BC 10. 一个袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比．现从袋子中随机摸出3个球，用分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数．则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用超几何分布及二项分布的期望公式计算判断A；求出概率判断BCD. 【详解】对于A，分别服从超几何分布和二项分布，而摸到黄球的概率为， 则，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，，， ，因此，D正确. 故选：ABD 11. 甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛，约定比赛规则如下：每局比赛获胜的一方积1分，负者积0分，无平局，积分首先达到3分的一方获得最终胜利，比赛结束．若甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，表示比赛结束时两人的积分之和，则（ ） A. 服从二项分布 B. C. 比赛结束时，甲、乙的积分之比为的概率为 D. 随机变量的数学期望为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二项分布的特征判断A；计算概率判断BC；求出分布列及期望判断D. 【详解】对于A，的可能取值为，而二项分布的随机变量取值是从0开始的连续自然数， 因此不服从二项分布，A错误； 对于B，表示比赛结束时，赛了3局，要么是甲胜3局，要么是乙胜3局， 因此，B正确； 对于C，比赛结束时，甲、乙的积分之比为，则甲乙共赛4局，第4局甲胜，前3局甲输1局， 概率，C正确； 对于D，，， ，，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中的系数为21，则实数的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由确定展开式的幂指数即可列式求解. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式中项为， 则，解得， 所以实数的值为3. 故答案为：3 13. 甲、乙、丙、丁等6名同学站成一排照相，若要求甲与乙、丙均相邻，丁不站在两端，则不同的站法种数为______．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】甲、乙、丙均相邻，则甲在乙、丙之间，再利用捆绑法即可. 【详解】甲、乙、丙均相邻，则甲在乙、丙之间， 乙丙的排列有种，把甲、乙、丙视为一个整体，与余下3个人共4个位置， 丁只能在中间两个位置之一，不同的排法种数是种， 故答案为：24. 14. 如果是离散型随机变量，则在条件下的期望满足，其中是所有可能取值的集合．现甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．若表示“甲第一次获胜时已进行的比赛局数”，表示“甲恰好第二次获胜时已进行的比赛局数”，则______；______．（两空均用数字作答．） 【答案】 ①. ②. ##2.5 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生乘法公式计算，再由新定义及条件概率公式计算期望即可. 【详解】由题意，时甲恰好第二次获胜时已进行的比赛局数为5，即前4局甲获胜1局， 所以. 当时，的可能取值为， 所以， ， ， ， 所以 . 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中第6项与第7项的系数相等． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据展开式的通项公式求出，确定二项式系数最大的项即可得解； （2）变形二项式为，赋值即可得解. 【小问1详解】 二项式的展开式中的第项为， 由题得，解得， 所以展开式中共9项，第5项的二项式系数最大， 第5项为. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 令得， 令得， 所以. 16. 乒乓球是我国的国球，是一种世界流行的球类体育项目．某学校为了解学生是否喜欢“乒乓球运动”，从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查．统计数据整理如下：男生喜欢乒乓球运动的人数比女生喜欢乒乓球运动的人数多20人，设事件“喜欢乒乓球运动”，“学生为男生”，，． （1）完成如图列联表； 喜欢乒乓球运动 不喜欢乒乓球运动 合计 男生 女生 合计 100 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢乒乓球运动与性别有关联？ 参考公式：，其中．． 【答案】（1）见解析 （2）是否喜欢乒乓球运动与性别有关联 【解析】 【分析】（1）根据条件概率结合题目条件求出男女生人数及男女生中分别喜欢乒乓球的人数，列表即可； （2）计算，根据独立性检验，比较与的大小关系，得出结论. 【小问1详解】 设抽取100名学生中男生有人，则女生人， 因为，所以女生中喜欢乒乓球运动的有人， 又因为，所以， 所以喜欢乒乓球运动的共有人， 所以，解得， 所以抽取100名学生中男生55人，女生45人，其中喜欢乒乓球运动的女生为20人，不喜欢乒乓球运动的女生为25人，喜欢乒乓球运动的男生为40人，不喜欢乒乓球运动的男生为15人，所以列联表为： 喜欢乒乓球运动 不喜欢乒乓球运动 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 【小问2详解】零假设为：是否喜欢乒乓球运动与性别无关联. 根据列联表中数据，计算得到， 依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联. 17. 某小微企业对其产品研发的年投入金额（单位：万元）与其年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： 1 5 7 8 9 2 3 6 8 11 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 （1）公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程； （2）统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和3.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：，，． 【答案】（1）， （2）模型②拟合效果更好，11.94万件 【解析】 【分析】（1）求出变量的均值后，根据经验回归方程中的公式计算即可求出系数，得到回归方程； （2）根据残差平方和选择模型，利用模型的回归方程预测时的销售量即可. 【小问1详解】 由题知， 所以， 所以，， 所以模型①的经验回归方程为， 由，两边取自然对数可得，即， 所以，， 所以模型②的经验回归方程为 【小问2详解】 因为，即②的残差平方和较小，所以，模型②的拟合效果更好. 所以当时，， 即当年投入金额为10万元时的年销售量的估计值为11.94万件. 18. 某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图： （1）估计这100名学生的平均体育活动时间； （2）从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望； （3）以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求当为何值时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大？ 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）7 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求平均值即可得解； （2）由题意求出位于和的两组学生人数，再由超几何分布求出分布列与期望； （3）根据独立重复试验列出概率不等式式组，求解即可得. 【小问1详解】 这100名学生的平均活动时间 分钟. 【小问2详解】 因为体育活动时间位于和的频率分别为和， 所以抽取的12名学生中位于的有人， 位于的有人， 所以随机变量所有可能取值为，且服从超几何分布， 故，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为： . 设“抽取的名学生中每天的运动时间不低于40分钟的人数”为，则， ， 设， 则当“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大时， 有，即， 化简得，解得， 因为且，所以. 19. 已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球． （1）若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率； （2）设是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量．设的一切可能取值为，记表示在中出现的概率，其中．若表示第一次摸出的是号球，表示第二次摸出的是号球． ①求； ②证明：． 【答案】（1），，； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出第一次摸到第1，2，3号球的概率，结合已知条件，利用全概率公式及条件概率公式依次计算即得. （2）①求出第一次摸出1号球，并放入1号袋子，第二次从该袋子摸出2号球的概率；②利用全概率公式推理即得. 【小问1详解】 设第一次摸到球的事件为，第二次摸到的是3号球的事件为， 第二次在第号袋子里摸到的是3号球的事件为，， ， 于是， 所以第二次摸到的是3号球，它来自1号袋子的概率； 第二次摸到的是3号球，它来自2号袋子的概率； 第二次摸到是3号球，它来自3号袋子的概率. 【小问2详解】 ①依题意，，即第一次摸出1号球，并放入1号袋子，第二次从该袋子摸出2号球的概率， 所以. ②由定义及全概率公式知， ， 所以. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $