13.4 轴对称（最短路径问题 ） 讲义 2023-2024学年人教版八年级数学上册

个性化辅导讲义（教师版） 授课主题 第13章：05最短路径问题 教学目标 1、 理解垂线段最短、两点之间线段最短等基本概念； 2、 理解“将军饮马”、“造桥选址”、“最短路径”等基本知识； 3、 认识最短路径基本题型。 B（Basis）——基础示范 ( 知识梳理 ) 一、将军饮马 什么是将军饮马？ 传闻在亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦， 有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得 其解的问题。 如图，将军每天从军营A出发，先到河边饮（yìn）马，然后 再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？ 据说，海伦稍加思索就解决了它，此后，这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今。 为了方便，接下来我们将这一系列问题简化为一般的数学问题进行再次研究。 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 【教材解读】 例题1、如图，在直线l两侧各有一个定点A、B，怎样在直线l上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度。 构图：连接AB，AB与l的交点即为点P，如右图所示。 例题2、如图，在直线l同侧有A、B两个定点，怎样在直线l上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 思路：和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段。 构图：作点A关于l的对称点A’，连接A’B，A’B与直线l的交点即为点P，如右图所示。 方法总结：利用“点对称”解决将军饮马问题。 【变式拓展】 例题3、如图，在直线l同侧有A、B两个定点，怎样在直线l上找到一点P，使得的值最大？ 构图：连接AB并延长与l的交点即为点P，如右图所示。 例题4、如图，在直线l两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线l上找到一点P，使得 的值最大？ 构图：作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’并延长与l的交点即为点P，如右图所示。 例题5、如图，在直线l同侧有A、B两个定点，怎样在直线l上找到一点P，使得的值最小？ 构图：连接AB，作AB的垂直平分线与直线l交于点P，此时为0，如右图所示。 二、选址造桥 后来，将军想要将军营由A地迁往河对岸的B地，现在要在河上 造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ 聪明的海伦仔细思索了一下，又轻易的解决了这个问题，这便是 “造桥选址”问题。 为了方便，接下来我们将这一系列问题简化为一般的数学问题进行再次研究。 如图，在直线l1与l2上分别找点M、N，使得AM+MN+NB最小？ 【教材解读】 例题6、如图，在一组平行线l1、l2两侧各有两点A、B，在l1、l2间找一条线段MN,使MN⊥l1并且使得AM+MN+NB 之和最短。 构图：将A点向下平移，使AA’=MN，连接A’B交l2于一点，此为N’，过点N’向上作M’N’=MN交l1于点M’，连接AM’，此时AM+MN+NB最短，如右图所示。 方法总结：利用“平移”解决造桥选址问题。 【变式拓展】 例题7、在直线l上找两个点M，N，已知MN=3，使得AM＋MN+NB最短。 构图：将A点向右平移，使AA’=MN，作A’关于l的对称点A’’，连接A’’B交l于一点，此为点N，向左画出 MN=3，连接MA，此时AM+MN+NB最短，如右图所示。 三、最短路径问题 如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。 为了方便，接下来我们将这一系列问题简化为一般的数学问题进行再次研究。 如图，在直线l1与l2上分别找点M、N，使得AM+MN+NB最小？ 【教材解读】 例题8、如图，在l1、l2内各有两点A、B，在直线l1、l2上分别找点M、点N，使得AM+MN+NB之和最短。 构图：作点A关于l1的对称点A’，作点B关于l2的对称点B’，连接A’B’交l1、l2于点M、N，连接AM、BN，此时AM+MN+NB最短，如右图所示。 方法总结：利用“对称”解决最短路径问题。 【变式拓展】 例题9、在如图，点P在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点D，在OA边上求作一点C，使的周长最小。 构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如右图所示。 ( 精做精练 ) 练习1、正方形中的将军饮马--关于对角线对称 1、 如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1，N是AC边上的一动点，则△DMN周长的 最小值是___________。 2、如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点， 点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为________。 3、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点， 则PC+PD的最小值为__________。 练习2、三角形中的将军饮马--等边系列 4、如图，在等边△ABC中，AB=6，N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________。 5、如图，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为AB上一点且BN=2AN， M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________。 6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD 上的动点，则CE+EF的最小值为___________。 7、如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是___________。 练习3、特殊角度中的最短路径问题--30°、60° 8、 如图，，点位于内，，点、分别是射线、上的动点， 求的最小周长。 10、如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再去河边饮马，最后回到A地，已知OA=2km，请在图中计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程。 11、 如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的一定点， 点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_________。 12、如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是_________。 练习4：综合应用 13、在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过A（2，0）、B（4，0）两点，直线 交y轴于点C，且过点D（8，m）。 （1）求抛物线的解析式。 （2）在x轴上找一点P，使CP＋DP的值最小，求出点P的坐标。 （3）将抛物线左右平移，记平移后点A的对应点A’，点B的对应点为B’，当四边形A’B’DC的周长最小时，求平移后抛物线的解析式及此时四边形A’B’DC周长的最小值。 （4）设抛物线的顶点为Q，过点C作x轴的平行线l，点M在直线l，且MN⊥x轴，垂足为N，若DM+MN+NQ 最小，直接写出此时M、N的坐标。 14、 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像与x轴交于A（－1，0）、 B（3，0）两点，顶点为C。 （1）求此二次函数的解析式。 （2）点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：交BD于点E，过点B作直线BK∥AD 交直线l于K点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 （3）在（2）的条件下.若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连接DN、NM、MK，求DN+NM+MK的最小值。 （4）设抛物线交y轴于点R，若点K在抛物线对称轴上，当|KB－KR|的值最大时，直接写出此时点K的坐标。 15、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式及A,B,C的坐标； （2）直线AN交y轴于点F，P是抛物线的对称轴x=1上动点，H是x轴上一动点，请探索：是否存在这样的P点和H点，使得四边形CFHP的周长最短？若存在，请求出四边形CFHP的周长最小值和点P、H的坐标；若不存在，请说明理由。 （3）若点Q是∠MDB的角平分线上动点，点R是线段DB上的动点，Q、R在什么位置时，BQ+QR的值最小。请直接写出BQ+QR的最小值和Q点、R点的坐标。 E(Exercise)——限时训练 ( 实战演练 ) 1、 如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小。 2、 如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长 是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为____________。 3、 如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=10，点M、N分别在OA、OB上，求△PMN的周长的 最小值。 4、如图，在∠MON的边OM,ON上分别有点A、D，且∠MON＝30º，OA＝10，OD＝6，B、C两点分别是边OM，ON上的动点，则AC＋BC＋BD的最小值为____________。 5、如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC，P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为____________。 6、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点， 若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为____________。 7、 如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积使12，腰AB的垂直平分线EF交AB于点F，交AC于点E，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，求△BDM的周长最小值。 8、 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线。若点P、Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值。 S(Summary)——总结复述 ( 课堂总结 ) 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组合的）中两结点之间的最短路径。 算法具体形式包括： ①确定其点的最短路径问题--即已知起始结点，求最短路径的问题； ②确定终点的最短路径问题--与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题； ③确定起点终点的最短路径问题--即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径； ④全局最短路径问题--求图中所有的最短路径。 【问题原型】“将军饮马”、“造桥选址”、“费马点” 【涉及知识】“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”、“平移” 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，有“三折线”转“直”等变式问题的考查。 【十二个基本问题】 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$