6.2 二元一次方程组的解法 课件-2023-2024学年冀教版数学七年级下册

[考点解读] 第一课时 代入消元法 -1- ■考点一 代入消元法 1. 代入消元法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程， 通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法. 2. 代入消元法的实质：多个未知数 一个未知数. 6.2 二元一次方程组的解法 -2- 典题精析 例 1 （1）把 x+3y=9 改写成用含 x 的式子表示 y 的形式，得 _________； （2）四名学生解二元一次方程组 提出四种不同的解法，其中解法不正确的是 （ ） A． 由①，得 ，代入② B． 由①，得 ，代入② C． 由②，得 ，代入① D． 由②，得 x=3+2y，代入① 6.2 二元一次方程组的解法 -3- 解析：（1）把方程移项，得 3y=9-x，y 的系数化为 1，得 ； （2）由方程①，用含 y 的代数式表示 x，得 x= ，代入②可消去 x；用含 x 的代数式表示 y，得 ，代入②可消去 y，故 A，B 正确. 由方程②，用含 y 的代数式表示 x，得 x=3+2y，代 入①可消去 x，故 D 正确；用含 x 的代数式表示 y，得 ，代入 ① 可消去 y， 故 C 错误． 答案：（1） （2）C 易错：（1）x=9-3y 错因：错写成用含 y 的代数式表示 x. 满分备考：将一个二元一次方程改写成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，是用代入法解二元一次方程组的关键，其方法就是利用等式的性质将其变形为 y=ax+b（或 x=ay+b） 的形式，其中 a，b 为常数，a≠0.变形的具体过程是先移项，再把系数化为 1. 6.2 二元一次方程组的解法 -4- ■考点二 用代入法解二元一次方程组 1. 一般步骤 ①变形：将其中的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，如 ax+y=1，变形为 y= 1-ax； ②代入：把“①”中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③求解：解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值； ④定解：把求得的一个未知数的值代入“①”中的方程，求出另一个未知数的值； ⑤写解：把求得的未知数的值用“{”联立起来，就是原方程组的解. 2. 实质 二元一次方程组 一元一次方程. 6.2 二元一次方程组的解法 -5- 3. 应用技巧 方程组中若含有未知数的系数是 1 或-1 的方程，一般采用代入消元法. 注意事项： （1）进行变形时往往选择一个系数比较简单的方程进行变形，当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法；若 方程组中含有未知数的系数为 1（或 -1）的方程，选择系数为 1（或 -1）的方程进行变形； （2）利用二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含有另一个未知数的式子表示后，一定要把该式代入另一个方程消元求解，而不能代入变形 之前的方程消元，这样就只能得到一个恒等式，从而不能求出方程的解. 6.2 二元一次方程组的解法 -6- 典题精析 例 2 用代入法解二元一次方程组 6.2 二元一次方程组的解法 -7- 解析：方程组中的第②个方程的系数比较简单，可以选择将②变形后代入①求解. 答案：解：由②，得 x=4+y③， 把③代入①，得 3（4+y）+4y=19， 解这个方程，得 y=1， 把 y=1 代入③，得 x=4+1=5， 故方程组的解是 易错：解：由②，得 x=4+y③， 把③代入②，得 4+y-y=4，故方程组有无数个解. 错因：把变形后的方程代入变形前的方程，从而得到一个恒等式，求出方程组有无数个解. 满分备考：当方程组中有一个未知数的系数为 ±1 时，通常用代入法解题较为简便.另外，注意不能把变形后的方程代入变形前的方程求解. 6.2 二元一次方程组的解法 -8- 6.2 二元一次方程组的解法 ■题型一 代入法巧解二元一次方程组 [题型探究] 例 1 用代入法解二元一次方程组 时，最好的变式是 （ ） A. 由①，得 B. 由①，得 C. 由②，得 D. 由②，得 y=2x-5 解析：用代入法最好的变式是由②，得 y=2x-5. 答案：D 题型解法：当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的方程时，可以直接利用代入法求解.若方程组中有未知数的系数为 1（或-1）的方程，则选择系数为 1（或-1）的方程进行变形比较简便；若未知数的系数都不是 1（或-1），则选择绝对值较小的方程进行变形比较简便. -9- 6.2 二元一次方程组的解法 ■题型二 二元一次方程组与其他问题的综合 例 2 若（x+y-5）2 与 互为相反数，则 x，y 的值为 （ ） A. x=3，y=2 B. x=2，y=3 C. x=0，y=5 D. x=5，y=0 解析：由于（x+y-5）2 与 互为相反数， 故（x+y-5）2+ =0， 所以 由①，得 x=5-y③， 把③代入②，得 3（5-y）-2y+10=0，解得 y=5， 把 y=5 代入③，得 x=5-5=0. 答案：C 题型解法：解决本题的关键是理解互为相反数这个条件，即和为 0，再通过代入法解二元一次方程组即可得解. -10- 6.2 二元一次方程组的解法 例 3 （永州期末）若 3x2a+by2 与-4x3y3a-b 是同类项，则 a-b 的值是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：因为 3x2a+by2 与-4x3y3a-b 是同类项， 所以 由①，得 b=3-2a③，将③代入②，得 a=1. 将 a=1 代入③，得 b=1，所以 a-b=0. 答案：A 题型解法：理解同类项的定义，根据同类项构造出二元一次方程组，本题就可迎刃而解. -11- 6.2 二元一次方程组的解法 ■题型三 二元一次方程组的同解问题 例 4 （杭州西湖区月考）若方程组 与方程组 有相同的解，求 a，b 的值． -12- 6.2 二元一次方程组的解法 解析：先求出第二个方程组的解，再代入第一个方程组即可求出a，b的值． 答案：解： 由②，得 y=x③，将③代入①，得 x=1， 故该方程组的解为 由题意知，该方程组的解也是方程组 的解，即 由④，得 a=3-b⑥，将⑥代入⑤，得 b=2， 所以 题型解法：两个方程组有相同的解，可以理解成四个方程具有相同的解，先将不含参数的方程组成方程组，求出未知数的值，再代入含有参数的方程（组）求出参数. -13- 6.2 二元一次方程组的解法 ■考点一 加减消元法 将二元一次方程组中两个方程相加（或相减，或进行适当变形后再加减），消去一个未知数，得到一元一次方程.通过求解一元一次方程，再求得二元一次方程组的解.这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法. [考点解读] 第二课时 加减消元法 -14- 6.2 二元一次方程组的解法 典题精析 例 1 二元一次方程组 的解是（ ） -15- 6.2 二元一次方程组的解法 解析：解方程组 方法一：①+②，得（x+y）+（x-y）=2+0，即 2x=2，解得 x=1，把 x=1 代入①，得 1+y=2，解得 y=1， 故方程组的解为 方法二：①-②，得（x+y）-（x-y）=2-0，即 2y=2， 解得 y=1，把 y=1 代入①，得 x+1=2，解得 x=1， 故方程组的解为 答案：B 易错：D 错因：①-②，得-2y=2，解得 y=-1. 满分备考：解方程组时，首先观察两个方程中未知数的系数特点，若有一个未知数的系数相同或互为相反数，用加减消元法求解比较简便. -16- 6.2 二元一次方程组的解法 ■考点二 用加减法解二元一次方程组 1. 一般步骤 ①变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，那么就用适当的数同乘方程的两边，使同一个未知数的系数互 为相反数或相等； ②加减：将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④回代：把这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤写解：把求得的未知数的值用“{”联立起来，就是原方程组的解. -17- 6.2 二元一次方程组的解法 2. 实质 二元一次方程组 一元一次方程. 3. 应用技巧 如果两个方程的相同未知数的系数相同 或互为相反数， 一般采用加减消元法. 注意事项： （1）选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单； （2）尽量避免出现未知数的系数为负数的情况； （3）回代时选择系数较简单的方程； （4）解出方程组后，口算检验所得解是否满足方程组中的两个方程. -18- 6.2 二元一次方程组的解法 典题精析 例 2 用加减法解二元一次方程组 -19- 6.2 二元一次方程组的解法 解析：②×2 后可使两个方程中 y 的系数相等，利用加减法消去 y，得到一元一次方程，从而得解. 答案：解：①-②×2，得 11x=22，解得 x=2， 把 x=2 代入①，得 8y+5×2=2，解得 y=-1， 故方程组的解为 易错：①-②×2，得 8x=12，解得 x= . 错因：①-②×2 时， 只将②中 4y 乘 2消去， 其他项没有乘 2，从而出错. -20- 满分备考：用加减消元法解二元一次方程组时，一般有三种情况：①方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等，则直接利用加减法求解；②方程组中两个方程的任一个未知数的系数的绝对值都不相等，但某个未知数的 系数的绝对值成整数倍关系，则把其中相应一个方程乘这个倍数后再利用加减法求解；③方程组中两个方程的任一个未知数的系数的绝对值既不相等，也不成整数倍关系，可利用最小公倍数的知识把两个方程都适当地乘一个数，使某个 未知数的系数的绝对值相等，然后利用加减法求解. 6.2 二元一次方程组的解法 -21- 6.2 二元一次方程组的解法 例 1 解方程组 ■一、方程两边乘同一个不为 0 的常数时，常数项漏乘 [易错分析] -22- 6.2 二元一次方程组的解法 解析：②×3，得 3x+9y=21③，再利用③-①消去 x 可得 y 的值，进而可以得解. 答案：解：②×3，得 3x+9y=21③，③-①，得 11y= 22，解得 y=2. 将 y=2 代入②，得 x=1，故原方程组的解为 易错： 错因：②×3 时，常数项漏乘. 易错警示：在用加减法解二元一次方程组时，为了把两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数，可根据等式的基本性质，在方程两边乘同一个不为 0 的数，注意不要漏乘任何一项. -23- 6.2 二元一次方程组的解法 ■二、运用加减消元时，出现符号错误 例 2 解方程组 解析：①-②，得 y 的值，再将 y 的值代入方程即可得出 x 的值. 答案：解：①-②，得-4y=-4，解得 y=1.把 y=1 代入②，得 ， 所以原方程组的解为 易错： 错因：①-②时，易错为-6y=-4. 易错警示：运用加减消元时，若减数中含有“-” 时，一定要注意符号的变化. -24- 6.2 二元一次方程组的解法 [题型探究] ■题型一 加减法巧解二元一次方程组 例 1 （河北中考）利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是 （ ） A. 要消去 y，可以将①×5+②×2 B. 要消去 x，可以将①×3+②×（-5） C. 要消去 y，可以将①×5+②×3 D. 要消去 x，可以将①×（-5）+②×2 解析：利用加减消元法解方程组 要消去 x，可以将①×（-5）+②×2.故选 D. 答案：D 题型解法：用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成形如 的一般形式，再设法加减消元，这样不易出错. -25- 6.2 二元一次方程组的解法 例 2 解方程组 解析：利用加减消元法将方程组简化再进行求解即可. 答案：解：①-②，得 x-3y=-1③. ①+②，得 4 037x-4 037y=4 037，即 x-y=1④. 联立③④，解得 所以原方程组的解为 题型解法：两个方程中未知数的系数均较大时，用一般的代入消元法或加减消元法都会很复杂，通过观察发现未知数的系数都比较接近，故可以将两个方程相加或者相减，使未知数的系数简化. -26- 6.2 二元一次方程组的解法 ■题型二 构造二元一次方程组解决问题 例 3 （南宁中考）已知 是方程组 的解，则 3a-b＝________． 解析：因为 是方程组 的解， 所以 ①+②，得 3a-b＝5. 答案：5 题型解法：解决由二元一次方程组的解的意义构造二元一次方程组进而求值的问题，需要通过把方程组的解代入得到一个新的方程组，通过解新的方程组，得到字母的值. -27- 6.2 二元一次方程组的解法 ■题型三 二元一次方程组开放探究类问题 例 4 关于 x，y 的二元一次方程组 是否有解？ 若有，请解出方程组；若没有，请说明理由. -28- 6.2 二元一次方程组的解法 解析：把 k 当作已知数，再对 k 的取值范围进行讨论即可得解. 答案：解：①+②，得（8+4k）y=0，即（2+k）y=0. 若 k≠-2，则 y=0. 把 y=0 代入②，得-4x=1，解得 ， 所以原方程组的解为 若 k=-2，则 2+k=0， 即（2+k）y=0 不论 y 取何值恒成立， 所以原方程组有无数组解. 综上所述，若 k≠-2，原方程组的解为 若 k=-2，原方程组有无数组解. 题型解法：用加减消元法把方程组化为一元一次方程，然后在一元一次方程中根据 k 的取值讨论方程组的解. $$