6.3 二元一次方程组的应用 课件-2023-2024学年冀教版数学七年级下册

[考点解读] 第一课时 二元一次方程组的应用（一） -1- ■考点一 列二元一次方程组解决和差倍分问题 1. 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：审题，弄清题意，找出等量关系； （2）设：设未知数，可直接设元，也可间接设元； （3）列：根据等量关系列方程组； （4）解：解二元一次方程组，求出未知数的值； （5）检：检验所求的解是否符合题意，并写出答案. 注意事项：在“设”和“答”时，注意写清楚单位名称. 2. 根据题目中存在的和差倍分关系，用准确的数学符号表达出来，列出方程组，即可使问题得到解决. 6.3 二元一次方程组的应用 -2- 典题精析 例 1 某中学组织各年级参加秋游活动，七、八年级学生分别去东莞的长隆和深圳的世界之窗，已知这两个年级共有 2 350 人，七年级人数的 2 倍比 八年级人数的 3 倍少 550 人，则七、八年级学生分别有多少人？ 6.3 二元一次方程组的应用 -3- 6.3 二元一次方程组的应用 解析：本题中的等量关系是：①七年级人数+八年级人数=2 350 人；②七年级人数的 2 倍=八年级人数的 3 倍-550 人． 答案：解：设七、八年级学生分别有 x 人，y 人.由题意，得 解这个方程组，得 答：七、八年级学生分别有 1 300 人和 1 050 人． 易错：列方程组为 错因：七年级人数的 2 倍比八年级人数的 3 倍少 550 人，这个等量关系找错. 满分备考：解决和差倍分问题时，要弄清楚谁是谁的几倍，或谁比谁多多少，切记不要弄反等量关系. -4- ■考点二 列二元一次方程组解决分配与配套问题 解决分配和配套问题，首先根据题干条件设出所求的量，再根据配套的比例关系列出二元一次方程组，解方程组即可. 6.3 二元一次方程组的应用 -5- 6.3 二元一次方程组的应用 典题精析 例 2 某工厂有 A，B，C，D 四个小组制造同一型号的螺栓与螺母，A 组每天能制造螺栓 8 个或者螺母 10 个，B 组每天能制造螺栓 9 个或者螺母 12 个，C 组每天能制造螺栓 7 个或者螺母 11 个，D 组每天能制造螺栓 6 个或者螺母 7 个．现在把一个螺母和一个螺栓配套组装成一个新型零件，则 7 天中这四个小组最多可组装 _______ 个零件． -6- 6.3 二元一次方程组的应用 解析：四个小组每天能制造螺栓： 8+9+7+6=30（个）， 四个小组每天能制造螺母： 10+12+11+7=40（个）． 设四个小组制造螺栓 x 天，制造螺母 y 天．依据“把一个螺母和一个螺栓配套组装成一个新型零件，以及一共制造了 7 天”列方程组，得 解得 所以 30x=120，即 7 天中这四个小组最 多可组装120 个零件． 答案：120 易错：100 错因：弄错题目中存在的等量关系或直接设 7 天 中这四个小组最多可组装 x 个零件，从而找不到等 量关系，列不出方程组，导致出错. -7- 满分备考：应用二元一次方程组解决实际问题时，有时可以直接设所求的量列出方程组，有时直接设所求的量找不到等量关系，则需设与所求量相关联的量，列出方程组，解决问题. 6.3 二元一次方程组的应用 -8- 6.3 二元一次方程组的应用 [易错分析] ■忽略了时间变化引起的年龄变化问题 例 4 月 9 日上午 8 时，某地国际马拉松赛鸣枪开跑，一名 34 岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话： -9- 6.3 二元一次方程组的应用 解析：设今年妹妹的年龄为 x 岁，哥哥的年龄为 y 岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 答案：解：设今年妹妹的年龄为 x 岁，哥哥的年龄为 y 岁. 根据题意，得 解得 答：今年妹妹的年龄为 6 岁，哥哥的年龄为 10 岁． 易错： 错因：忽略了时间发生变化，年龄都在增长. 易错警示：用二元一次方程组解决年龄问题时，要注意年龄问题的特点，即时间发生变化，年龄在增长，但年龄差始终不变. -10- 6.3 二元一次方程组的应用 [题型探究] ■题型一 和差倍分问题 例 1 （邯郸月考）已知乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的 调入甲组，则甲组比乙组多 15 人，甲、乙两组的人数分别为_________. 解析：设甲组有 x 人，乙组有 y 人，根据乙组人数是甲组人数的一半，得 ； 根据乙组人数的 调入甲组后，甲组比乙组多15人，得 可列方程组为 解得 答案：18，9 题型解法：从实际问题中提取信息得出二元一次方程组，解决二元一次方程组的和差倍分问题，注意理清各量之间的关系是解题的前提. -11- 6.3 二元一次方程组的应用 ■题型二 分配与配套问题 例 2 用铁皮做罐头盒，每张铁皮可以做盒身 16 个或盒底 43 个，1 个盒身与 2 个盒底配成一个罐头盒．现有 150 张铁皮，则用多少张铁皮做盒身，多少张铁皮做盒底，能使盒身与盒底刚好配套？ 解析：设用 x 张铁皮做盒身，y 张铁皮做盒底.由题意，得 答案：解：设用 x 张铁皮做盒身，y 张铁皮做盒底.由题意，得 解得 答：用86张铁皮做盒身，64张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底刚好配套． 题型解法：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套，盒身和盒底的配套，桌面和桌腿的配套等.每种配套都会有各自的比例关系，依据比例设未知数表示等量关系，使问题得以解决. -12- 6.3 二元一次方程组的应用 ■考点一 列二元一次方程组解决增长率及销售问题 1. 增长率问题，在审题时，必须要清楚增长或降低的百分率是多少，尤其要找出是相对于哪一个量进行增减变化的，常见的公式有实际数量=原数量×（1±x%）. 2. 销售问题中常用的等量关系： 利润=成本×利润率； 标价=成本×（1+利润率）； 利润=售价-进价. [考点解读] 第二课时 二元一次方程组的应用（二） -13- 6.3 二元一次方程组的应用 典题精析 例 1 某市今年共种植甲、乙两种作物 8 万亩，甲、乙的种植面积分别比去年增长 10%和 20%，去年甲种作物的种植面积比乙种作物的种植面积多 1 万亩．今年这两种作物的种植面积各是多少万亩？ -14- 6.3 二元一次方程组的应用 解析：设去年甲种作物的种植面积为 x 万亩，乙种作物的种植面积为 y 万亩，根据增长百分比表示出今年甲、乙两种作物的种植面积，然后根据“今年共种植甲、乙两种作物 8 万亩”、“去年甲种作物的种植面积比乙种作物的种植面积多 1 万亩”列出方程组，解方程组即可． 答案：解：设去年甲种作物的种植面积为 x 万亩，乙种作物的种植面积为 y 万亩.根据题意，得 所以（1+10%）×4=4.4（万亩），8-4.4=3.6（万亩）. 答：今年种植甲种作物的面积为 4.4 万亩，种植乙种作物的面积为 3.6 万亩． -15- 6.3 二元一次方程组的应用 易错：解：设今年甲种作物的种植面积为 x 万亩，乙种作物的种植面积为 y 万亩. 根据题意，得 错因：没有看清增长率是相对于哪个量进行的增减变化. 满分备考：当题目中直接设未知数不易找等量关系时，可以间接设未知数，同时看清把哪个量看作单位“1”，即增长率是相对于哪个量进行的变化. -16- 6.3 二元一次方程组的应用 ■考点二 列二元一次方程组解决行程及其他问题 解决行程问题常用的解题方法是画线段图，弄清楚各个物体运动路线之间的数量关系，基本数量关系有： （1）路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间= 路程÷速度； （2）航行问题中的数量关系：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度； （3）火车过桥（或隧道）的数量关系：火车速度× 过桥时间=桥长+车长； （4）火车与某一物体错车问题（从车头相遇到车尾离开） ①同一方向行进错车：（火车速度-物体速度）× 时间 = 火车长度； ②反方向行进错车：（火车速度+物体速度）× 时间 = 火车长度. -17- 6.3 二元一次方程组的应用 典题精析 例 2 甲、乙两人从同一起点沿着同一条公路骑自行车比赛，两人同向而行，如果甲让乙先骑 6 m，则甲骑 6 s 就可追上乙；如果甲让乙先骑 3 s，则甲骑 4 s 离乙还有 20 m，求甲和乙的平均速度分别为多少？ -18- 6.3 二元一次方程组的应用 解析：根据题意可设甲和乙的平均速度分别为 x m/s，y m/s，再根据“甲 6 s 比乙 6 s 多行驶 6 m，乙 7 s 比甲 4 s 多行驶 20 m”列出方程组，解方程组即可. 答案：解：设甲和乙的平均速度分别为 x m/s， y m/s.根据题意，得 解得 答：甲和乙的平均速度分别为 9 m/s，8 m/s. 易错：设甲和乙的平均速度分别为 x m/s，y m/s， 根据题意，得 错因：弄反题目中存在的等量关系. 满分备考：解题关键是找到时间与两人路程差的关系，再结合公式“路程=速度×时间”列出方程组. -19- 6.3 二元一次方程组的应用 ■解决行程问题时因考虑不周而导致漏解 例 甲、乙两人同时分别从相距 30 km 的 A，B 两地匀速相向而行，经过 3 h 后相距 3 km，再经过 2 h，甲到 B 地所剩路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍，设甲、乙两人的速度分别为 x km/h，y km/h，请列方程组求甲、乙两人的速度． [易错分析] -20- 6.3 二元一次方程组的应用 解析：设甲的速度为 x km/h，乙的速度为 y km/h，那么可以分两种情况： ①当甲和乙相遇前相距 3 km 时，根据“经过 3 h 后 相距 3 km，再经过 2 h，甲到 B 地所剩路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍”可以列出方程组 解决问题； ②当甲和乙相遇后相距 3 km 时，根据“经过 3 h 后相距 3 km，再经过 2 h，甲到 B 地所剩路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍”可以列出方程组 解决问题． -21- 6.3 二元一次方程组的应用 答案：解：设甲的速度为 x km/h，乙的速度为 y km/h，则有两种情况： ①当甲和乙相遇前相距 3 km 时， 依题意，得 ②当甲和乙相遇后相距 3 km 时， 依题意，得 答：甲、乙两人的速度分别为 4 km/h，5 km/h 或 km/h， km/h． 易错： 错因：只考虑相遇前相距 3 km，没有考虑相遇后相距 3 km 这种情况，考虑不全面而导致漏解. -22- 6.3 二元一次方程组的应用 易错警示：解决行程问题的相距问题要分情况进行讨论，一种是相遇前相距的距离问题，另外一种是相遇后相距的距离问题.考虑要全面，避免漏解. -23- 6.3 二元一次方程组的应用 [题型探究] ■题型一 增长率问题 例 1 小明的妈妈在菜市场买回 3 斤萝卜、2 斤排骨，准备做萝卜排骨汤.仔细阅读小明父母之间的对话，妈妈：“今天买这两样食材共花了 45 元， 上月买同质量的这两样食材只要 36 元.”爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨 50%，排骨的单价上涨 20%.”小明听后很快计算出今天排骨的单价为 ____ 元. 解析：设上个月萝卜的单价为 x 元，排骨的单价为 y 元.由题意，得 解得 则今天排骨的单价为 15×（1+20%）=18（元）. 答案：18 题型解法：解决增长率问题的关键是弄清题意，找合适的等量关系，列出方程组． -24- 6.3 二元一次方程组的应用 ■题型二 销售问题 例 2 某商场购进甲、乙两种服装后，都加价 40%标价出售，“春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售．某顾客购买甲、乙两种服装共付款 182 元，两种服装标价之和为 210 元．问这两种服装的进价和标价各是多少元？ -25- 6.3 二元一次方程组的应用 解析：由题意可知，本题存在两个等量关系，即甲种服装的标价+乙种服装的标价=210 元，甲种服装的标价×0.8+乙种服装的标价×0.9=182 元，根据 这两个等量关系可列出方程组并求解即可． 答案：解：设甲种服装的标价为 x 元，则依题意进价为 元；乙种服装的标价为 y 元，则依题意进价为 元. 根据题意列方程组，得 答：甲种服装的进价是 50 元、标价是 70 元，乙种服装的进价是 100 元、标价是 140 元． -26- 6.3 二元一次方程组的应用 题型解法：在销售问题中，要把进价、标价、售价、利润、利润率这几个量及它们之间的关系弄清楚，另外销售问题中常用的等量关系要牢记，如售价=标价× （当打 n 折销售时），利润率= ×100%，利润=售价-进价.“提价”问题中：价格为 m 元的商品提价 a% 后的价格为（1+ a%）m 元. -27- 6.3 二元一次方程组的应用 ■题型三 行程问题 例 3 甲、乙两地相距 160 km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地出发相向而行， h 后相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1 h 后调转车头原速返回，在汽车再次出发 h 后追上了拖拉机．这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ -28- 6.3 二元一次方程组的应用 解析：画出示意图，如图所示： 这里有两个未知数：①汽车的速度；②拖拉机的速度. 有两个等量关系：①相向而行：汽车 h 行驶的路程+拖拉机 h 行驶的路程=160 km；②同向而行：汽车 h 行驶的路程=拖拉机 h 行驶的路程. -29- 6.3 二元一次方程组的应用 答案：解：设汽车的速度为 x km/h，拖拉机的速度为 y km/h. 根据题意，得 解这个方程组，得 答：汽车行驶了 165 km，拖拉机行驶了 85 km. 题型解法：行程问题中的几个关系式：路程=速度×时间；速度= ；时间= .相遇问题中的等量关系：两者的路程和=原相距的路程.追及问题中的等量关系：两者的路程差=原相距的路程. -30- 6.3 二元一次方程组的应用 ■题型四 方案问题 例 4 学校提倡练字，小冬和小红一起去文具店买钢笔和字帖，小冬在文具店买 1 支钢笔和 3 本字帖共花了 38 元，小红买了 2 支钢笔和 4 本字帖共花了 64 元． （1）每支钢笔与每本字帖分别多少元？ （2）帅帅在儿童节当天去买，正巧碰到文具店搞促销，促销方案有两种形式（每次只可选一种）： ①所购商品均打九折； ②买一支钢笔赠送一本字帖. 帅帅要买 5 支钢笔和 15 本字帖，他有三种选择方案： （Ⅰ）一次买 5 支钢笔和 15 本字帖，然后按九折付费； （Ⅱ）一次买 5 支钢笔和 10 本字帖，文具店再赠送 5 本字帖； （Ⅲ）分两次购买，第一次买 5 支钢笔，文具店会赠送 5 本字帖，第二次再去买 10 本字帖，可以按九折付费.问帅帅最少要付多少钱？ -31- 6.3 二元一次方程组的应用 解析：（1）设每支钢笔 x 元，每本字帖 y 元，由 1 支钢笔和 3 本字帖共花了 38 元，小红买了 2 支钢笔和 4 本字帖共花了 64 元，组成方程组求解即可；（2）先分别求出三种选择方案需要的钱数， 再比较大小即可求解． 答案：解：（1）设每支钢笔 x 元，每本字帖 y 元. 依题意，有 故每支钢笔 20 元，每本字帖 6 元． （2）方案（Ⅰ）：（20×5+6×15）×0.9＝171（元）； 方案（Ⅱ）：20×5+6×10＝160（元）； 方案（Ⅲ）：20×5+6×10×0.9＝154（元）． 154＜160＜171，故帅帅最少要付 154 元钱． 题型解法：方案问题首先要列举出所有可能的方案，然后按照题目要求分别求出每种方案的具体结果，进行比较，最后选择最优方案. $$