1.1集合的概念与表示讲义-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

导语 在体育课上，体育老师常说的一句话就是“集合”，这个时候，同学们从四面八方集合到一起，而这个集合是一个动词，在我们数学课上，也有一个名词“集合”，比如在小学和初中，我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，为了进一步了解集合的有关知识，请同学们观察下面的几个例子． 一、集合的相关概念 问题1　看下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？ (1)1～10之间的所有偶数； (2)立德中学今年入学的全体高一学生； (3)所有正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的所有点； (5)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根； (6)地球上的四大洋． 知识梳理 1．集合：一般地，一定范围内某些_____、_______对象的全体组成一个集合，通常用_____拉丁字母来表示集合． 元素：集合中的_________称为该集合的元素，简称 _．通常用______拉丁字母来表示． 2．常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 问题2　如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？ 3．元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A a∉A或aA a不属于A 例1　(1)下列对象能组成集合的是(　　) A.的所有近似值 B．某个班级中学习好的所有同学 C．2022年高考数学试卷中所有难题 D．北京冬奥会的全体运动员 (2)(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．2∈Q B．|－3|∈N C．|－3|∈Z D．0∉N 跟踪训练1　(1)(多选)下列说法正确的有(　　) A．花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合 B．正方体的全体构成一个集合 C．未来世界的高科技产品构成一个集合 D．不大于3的所有自然数构成一个集合 (2)设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(　　) A．a∈M B．a∉M C．a＝M D．a≠M 二、集合元素基本属性的应用 知识梳理 集合元素的基本属性 (1)确定性：集合的元素必须是确定的． (2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的． (3)无序性：集合中的元素可以任意排列． 注意点： 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． 例2　已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. 延伸探究　在本例中，若集合A中的三个元素换为a－3，2a－1，a2－4，其余不变，求实数a的值． 跟踪训练2　设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. (1)求实数x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x的值． 解　(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3， 且x≠x2－2x，x2－2x≠3. 解得x≠－1且x≠0，x≠3. (2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2. 由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴x＝－2. 三、集合的表示 问题3　用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 知识梳理 列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内的表示集合的方法叫做列举法． 注意点： (1)集合中的元素之间用逗号分隔，元素不重复，元素无顺序． (2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元素个数较多且有明显规律，可用列举法，但必须把规律显示清楚，然后加省略号． 问题4　你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？ 问题5　仿照上面的例子以及阅读课本，你能表示偶数集吗？ 知识梳理 1．描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式，这样表示集合的方法称为描述法． 注意点： (1)用描述法表示集合时，应写清该集合中元素的代表符号，并用简明、准确的语言描述集合的特征性质． (2)从上下文的关系来看，若元素的取值(或变化)范围是明确的，则可省略不写． 2．为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图． 3．集合的分类 按照集合元素的多少，集合可以分为有限集和无限集． (1)一般地，含有有限个元素的集合称为有限集． (2)一般地，含有无限个元素的集合称为无限集． (3)不含任何元素的集合称为空集，记作∅. 4．集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等． 例3　(1)用恰当的方法表示下列给定的集合： ①不大于10的非负偶数组成的集合A； ②方程x2－2x－3＝0的实数根组成的集合C； ③方程组的解集D； ④不等式2x－3<1的解组成的集合A； ⑤被3除余2的正整数的集合B； ⑥平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D. (2)设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A，B相等，则实数x的值为________，y的值为________． 跟踪训练3　(1)用列举法或描述法表示下列集合． ①由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； ②A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}； ③比1大又比10小的实数组成的集合； ④不等式3x＋4≥2x的所有解； ⑤直线y＝x上的点的集合． 1．(多选)下列各组对象能构成集合的有(　　) A．接近于1的所有正整数 B．小于0的实数 C．点(2 022，1)与点(1，2 022) D．某班级里身高较高的学生 2．已知集合A中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是(　　) A．3∈A且－3∉A B．3∈A且－3∈A C．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A 3．集合{x|x－3<2，x∈N*}的另一种表示法是(　　) A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 4．设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，则a＝______，b＝______. 1．(多选)下列选项中能构成集合的是(　　) A．高一年级跑得快的同学 B．中国的大河 C．3的倍数 D．大于6的有理数 2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　) A．3.14 B．－5 C. D. 3．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是(　　) A.∈M B．0∉M C．1∈M D．－∈M 4．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 5．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　) A．{1，1} B．{1} C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0} 6．(多选)下列说法中不正确的是(　　) A．0与{0}表示同一个集合 B．集合M＝{3，4}与N＝{(3，4)}表示同一个集合 C．方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2} D．集合{x|4<x<5}不能用列举法表示 7．设由2，4，6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________. 8．若集合与集合{a2，a＋b，0}相等，则a2 022＋b2 022的值为________． 9．已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． 10．用适当的方法表示下列集合： (1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集； (2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x－2>6的解的集合； (4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合； (5)方程组的解集． 11．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　) A．{x|－3<x<11，x∈Z} B．{x|－3<x<11} C．{x|－3<x<11，x＝2k} D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z} 1 学科网（北京）股份有限公司 $$