第10讲 函数的单调性和最值（3大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第10讲 函数的单调性和最值（3大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 定义法判断或证明函数的单调性 题型二 求函数的单调区间 题型三 根据函数的单调性求参数值 题型四 利用函数单调性求最值或值域 题型五 根据函数的最值求参数 题型六 函数图象 题型七 复合函数的单调性 题型八 根据函数的单调性解不等式 题型九 比较函数值的大小关系 题型十 根据解析式直接判断函数的单调性 题型十一 函数不等式恒成立问题 知识点01：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点02：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点03：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点四：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【典型例题一 定义法判断或证明函数的单调性】 1．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 2．（2020·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为A：区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1<x2时，都有 ，那么就说函数f（x）在区间I上是单调增函数 当x1<x2时，都有 ，那么就说函数f（x）在区间I上是单调减函数 4．（22-23高一上·云南曲靖·阶段练习）若对于区间上的函数，满足对于任意的，，则函数在上是 .（选填增函数或减函数） 5．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）判断，在上的单调性，并用定义法加以证明. 【典型例题二 求函数的单调区间】 1．（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 3．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调区间为 4．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 5．（23-24高一上·广东惠州·期中）如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． (1)求的解析式； (2)指出的单调区间； (3)直接写出的值域． 【典型例题三 根据函数的单调性求参数值】 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）若函数在集合内为单调递增函数，则实数t的取值范围为 . 4．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 5．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数，． (1)若，证明：在上单调递增； (2)若在上是单调的，求的取值范围． 【典型例题四 利用函数单调性求最值或值域】 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2、（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知函数，则在区间的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为 4．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数，的值域是，则实数 . 5．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的定义域； (2)若的最小值为3，求的值． 【典型例题五 根据函数的最值求参数】 1．（23-24高一上·河南郑州·期中）若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·福建福州·期中）设，若是的最小值，则a的取值范围是 ． 4．（22-23高三·全国·课后作业）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是 . 5．（23-24高二上·广东·期中）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明. 【典型例题六 函数图象】 1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）如图所示是函数的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 2．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数在区间上是增函数，则使得为增函数的区间为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·全国·课后作业）函数的单调区间是 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）设函数的定义域为.如果在区间上单调递减，在区间上单调递增，画出的一个大致的图象，从图象上可以发现是函数的一个 . 5．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在R上的函数，. (1)将函数写成分段函数的形式，并画出函数的图象； (2)根据图象写出值域. (3)若与有两个交点，求的取值范围. 【典型例题七 复合函数的单调性】 1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东淄博·期中）函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一·全国·专题练习）函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 4．（23-24高一上·山东青岛·期中）函数的单调递增区间是 ． 5．（23-24高一·江苏·假期作业）已知函数. (1)试判断此函数在上的单调性； (2)根据（1）的判断过程，归纳出解题步骤. 【典型例题八 根据函数的单调性解不等式】 1．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知在定义域R上是增函数．若，则实数a的取值范围是 4．（23-24高一上·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立. (1)证明函数是上的减函数； (2)若，求的取值范围. 【典型例题九 比较函数值的大小关系】 1．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 2．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 4．（23-24高一上·四川南充·期中）已知函数，且，则、的大小关系是 ． 5．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知函数． (1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； (2)比较，的大小． 【典型例题十 根据解析式直接判断函数的单调性】 1．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数中，有（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上单调递减 2．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若函数在是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的定义域是，值域是，则 ． 4．（23-24高一上·北京·阶段练习）设函数同时满足以下条件： ①定义域为；②；③，，当时，； 试写出一个函数解析式 . 5．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值． 【典型例题十一 函数不等式恒成立问题】 1．（2024·河南新乡·二模）函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·北京·期末）已知,其中.若,则的取值范围是 ;若,则的取值范围是 . 5．（23-24高一上·北京·期中）若二次函数满足，且 (1)确定函数的解析式； (2)若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练1 定义法判断或证明函数的单调性】 1．（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通淢后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 2．（23-24高一上·河南郑州·期中）函数在区间内的单调性是 . 3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性. 【变式训练2 求函数的单调区间】 1．（23-24高一上·江西抚州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数的增区间为 ． 3．（23-24高一上·全国·课后作业）求的单调区间． 【变式训练3 根据函数的单调性求参数值】 1．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数是增函数，则实数的取值范围为 . 3．（23-24高一上·北京东城·期中）已知函数 (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上是单调函数，求实数的集合. 【变式训练4 利用函数单调性求最值或值域】 1．（23-24高一上·广东江门·期中）函数，的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数. (1)判断函数在上的单调性，并加以证明. (2)求函数在上的最值. 【变式训练5 根据函数的最值求参数】 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 2．（22-23高一上·贵州铜仁·期中）函数值域是，则实数的取值范围是 ； 3．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知二次函数且. (1)若函数的最小值为，求的解析式； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围. 【变式训练6 函数图象】 1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数，若，且，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）如图是函数的图象，则函数的最大值点与单调减区间分别是 ， . 3．（23-24高一上·浙江嘉兴·期中）给定函数，，．用表示，中的较大者，即. (1)请用图象表示函数； (2)写出函数的值域； (3)若，则求实数a的值． 【变式训练7 复合函数的单调性】 1．（22-23高一上·安徽芜湖·期中）关于函数的结论正确的是（    ） A．值域是 B．单调递增区间是 C．值域是 D．单调递增区间是 2．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）函数的单调递减区间为 ． 3．（23-24高一·全国·课后作业）求下列函数的单调区间 （1）函数的单调递增区间 （2）函数的单调递增区间 【变式训练8 根据函数的单调性解不等式】 1．（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）设为实数，已知函数在定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 3．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)若，求实数的取值范围． 【变式训练9 比较函数值的大小关系】 1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的函数，给出下列三个论断： ①在上单调递增； ②； ③. 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题： ， 推出 .（把序号写在横线上） 3．（22-23高一·全国·随堂练习）已知函数在R上是减函数，，且．请确定与的大小关系，并给出证明． 【变式训练10 根据解析式直接判断函数的单调性】 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北孝感·期中）写出同时满足以下条件的一个函数 ． ①定义域为R，值域为； ②，，且时，； ③，． 3．（2020高一·全国·专题练习）已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性； (2)用定义证明（1）中结论； (3)求该函数在区间上的最大值和最小值. 【变式训练11 函数不等式恒成立问题】 1．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）已知函数，且不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知，.若对，总存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 3．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数，． (1)若，试求函数（）的最小值； (2)对于任意的，不等式成立，试求实数a的取值范围． 1．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．不确定 2．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设，若，则（    ） A．12 B．16. C．2 D．6 5．（2024高一·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．若，当时，，则在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数 在定义域内为增函数 D．函数的单调增区间为 6．（2024高二上·福建·学业考试）若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的单调性 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则函数在区间I上单调递增，区间I叫作的 ，如图所示． 当时，都有 ，则函数在区间I上单调递减，区间I叫作的 ，如图所示． 8．（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则 ． 9．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 10．（2024高二下·浙江杭州·学业考试）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 11．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知二次函数满足． (1)求的解析式． (2)求在上的值域． 12．（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数 (1)若，求的值； (2)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 13．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知函数在区间上具有单调性，求k的取值范围. 14．（22-23高一上·广东深圳·期中）已知二次函数，． (1)求m的值； (2)求在区间上的最小值． 15．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 函数的单调性和最值（3大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 定义法判断或证明函数的单调性 题型二 求函数的单调区间 题型三 根据函数的单调性求参数值 题型四 利用函数单调性求最值或值域 题型五 根据函数的最值求参数 题型六 函数图象 题型七 复合函数的单调性 题型八 根据函数的单调性解不等式 题型九 比较函数值的大小关系 题型十 根据解析式直接判断函数的单调性 题型十一 函数不等式恒成立问题 知识点01：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点02：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点03：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点四：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【典型例题一 定义法判断或证明函数的单调性】 1．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义判断即可. 【详解】因为函数，且成立， 则函数在上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数， 如，满足，但是在上不具有单调性， 故D正确，A、B、C错误. 故选：D 2．（2020·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可判定出结果 【详解】因为函数在上单调递增，且， 由增函数的定义可知，当时，有， 充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾， 若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立. 即对实数，“”是“”的充要条件. 故选：C 3．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为A：区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1<x2时，都有 ，那么就说函数f（x）在区间I上是单调增函数 当x1<x2时，都有 ，那么就说函数f（x）在区间I上是单调减函数 【答案】 【分析】根据单调性的定义作答． 【详解】当x1<x2时，都有，那么就说函数f（x）在区间I上是单调增函数， 当x1<x2时，都有，那么就说函数f（x）在区间I上是单调减函数． 故答案为：；． 4．（22-23高一上·云南曲靖·阶段练习）若对于区间上的函数，满足对于任意的，，则函数在上是 .（选填增函数或减函数） 【答案】增函数 【分析】化简条件，根据增函数的定义可得结论. 【详解】因为对于任意的，， 所以当时，， 即对于任意的，当时，， 所以函数在上是增函数. 故答案为：增函数. 5．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）判断，在上的单调性，并用定义法加以证明. 【答案】在上单调递增，证明见解析. 【分析】根据单调性定义，令并应用作差法比较的大小，即可证. 【详解】在上单调递增，证明如下， 令，则， 由，故，所以，即. 所以在上单调递增. 【典型例题二 求函数的单调区间】 1．（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可. 【详解】 因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 2．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 3．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调区间为 【答案】增区间为和，无单调递减区间， 【分析】分离常数，即可求解. 【详解】，所以的单调递增区间为和 故答案为：单调递增区间为和，无单调递减区间， 4．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】将绝对值去掉，转化为分段函数，画出图象求解即可. 【详解】，画出函数图象，    结合图象得函数的单调递增区间为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·广东惠州·期中）如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． (1)求的解析式； (2)指出的单调区间； (3)直接写出的值域． 【答案】(1) (2)单调增区间为：，；单调减区间为： (3) 【分析】（1）利用待定系数法结合图象即可求出其解析式； （2）根据图象即可得到其单调区间； （3）根据图象即可得到其值域. 【详解】（1）当时，设解析式为，由图象有，解得， ∴，当时，设解析式为． ∵图象过点，∴，解得，∴， 综上，函数在上的解析式为． （2）由图知单调增区间为：，；单调减区间为：． （3）由图可知，其值域为． 【典型例题三 根据函数的单调性求参数值】 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性判断. 【详解】因为函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， ，解得，所以的取值范围是. 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析的单调性，再列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数在区间上不单调，所以， 故选：B． 3．（2024高三·全国·专题练习）若函数在集合内为单调递增函数，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对勾函数的性质可得的单调性，则，解之即可求解. 【详解】由对勾函数的性质知在内为单调递增函数. 要使在内为单调递增函数，则，即， 解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 4．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数写成分段函数，即可得到函数的单调区间，依题意可得，解得即可. 【详解】因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递减，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 5．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数，． (1)若，证明：在上单调递增； (2)若在上是单调的，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用定义法可证得结论； （2）分别讨论、和，结合二次函数单调性可求得结果. 【详解】（1）当时，， 设，则， ，，， 在上单调递增. （2）当，即时，在上单调递增，满足题意； 当，即时，是开口方向向上，对称轴为的抛物线， 若在上单调，则，解得：； 当，即时，是开口方向向下，对称轴为的抛物线， 若在上单调，则，解得：（舍）； 综上所述：实数的取值范围为. 【典型例题四 利用函数单调性求最值或值域】 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设（），则函数等价于，，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，，则， 则函数等价于，， ∵在上是增函数，． ∴函数的最小值是3． 故选：A． 2、（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知函数，则在区间的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数的单调性计算即可得. 【详解】， 则在上单调递减，在单调递增， 又，，， 故在区间的值域为. 故选：C. 3．（2024高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为 【答案】 【分析】 判断函数的单调性，根据单调性可求得函数最小值以及最大值，即得答案. 【详解】 由题意知函数均在上单调递增， 故在定义域上为增函数， 所以，， 即的值域为， 故答案为： 4．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数，的值域是，则实数 . 【答案】或 【分析】分，与三种情况，结合函数单调性得到方程，求出答案. 【详解】若，此时， 其在上单调递增， 故，解得，满足要求， 若，此时， 其在上单调递减， 故，解得，满足要求， 若，此时的最小值为0，当时，等号成立， 此时不满足值域是. 故答案为：或 5．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的定义域； (2)若的最小值为3，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据被开方数大于等于零，直接列不等式求解即可； （2）讨论和时的定义域，再根据单调性表示最小值求解即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 因为，所以，所以， 故的定义域为． （2）因为和在定义域内单调递增，所以在定义域内单调递增， 当时，由（1）得的定义域为， ，即，满足条件； 当时，由得，的定义域为， ，即，满足条件． 综上，或． 【典型例题五 根据函数的最值求参数】 1．（23-24高一上·河南郑州·期中）若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查二次函数在给定区间最值问题，将系数与0比较分类讨论函数在区间的单调性即可求解. 【详解】当时，，为常值函数，显然不合题意，舍去； 当时，为开口向上，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格增，所以，所以; 当时，为开口向下，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格减，所以，所以; 故选：C. 2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可. 【详解】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. 3．（23-24高一上·福建福州·期中）设，若是的最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数的最值即可得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，开口向上，对称轴为， 又是的最小值，， 所以，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 4．（22-23高三·全国·课后作业）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】化简函数，去绝对值后，根据函数有最小值得出函数的变化趋势，即可求出实数a的取值范围. 【详解】解：由题意， 在中， ∵函数有最小值， ∴函数应在上单调递减，在上单调递增或常函数， ∴，解得：， ∴有最小值时，实数a的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高二上·广东·期中）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2)递增，证明见解析 【分析】（1）由可得答案； （2）在递增，利用单调性定义证明即可. 【详解】（1），且， ，解得：； （2）由（1）得：在递增， 证明如下： 设任意， 则 ， ， ， ， 在上单调递增. 【典型例题六 函数图象】 1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）如图所示是函数的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ）    A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】B 【分析】根据的取值范围可以得到函数的定义域和值域，判断AB两个选项；对于分段函数来讲，在每一段上都是增函数，在定义域内不一定是增函数，根据图象可以判断C；在范围内取，可以排除D. 【详解】A选项，函数在上没有定义，定义域应为，故A错误； B选项，值域是的取值范围，由图象可以看出值域为，故B正确； C选项，在定义域内取0和1，，而， 应该是在和上是增函数，故C错误； D选项，当时，，且由图象可知存在使得， 所以有两个自变量与对应， 正确的说法是“对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应”，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数在区间上是增函数，则使得为增函数的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先将函数看作函数向右平移3个单位所得到，再判断增区间即可. 【详解】函数可以看作函数向右平移3个单位所得到，故由函数在区间上是增函数，得在区间上是增函数. 故选：C. 3．（23-24高一上·全国·课后作业）函数的单调区间是 ． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】写出函数的分段形式，画出函数图象，从而求出单调区间. 【详解】， 画出函数图象如下：    可得单调递增区间为，单调递减区间为. 故答案为：单调递增区间为，单调递减区间为. 4．（23-24高一·全国·课后作业）设函数的定义域为.如果在区间上单调递减，在区间上单调递增，画出的一个大致的图象，从图象上可以发现是函数的一个 . 【答案】最小值. 【分析】根据函数的最大（小）值的定义即可得解. 【详解】解析：依题意，在区间上单调递减，在区间上单调递增 从函数图象上可得，图象在上从左至右下降，在上从左至右上升，从而可得在上的大数图象如图所示. 由图可知是函数的一个最小值 故答案为：最小值. 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，函数的最值的概念，属于基础题. 5．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在R上的函数，. (1)将函数写成分段函数的形式，并画出函数的图象； (2)根据图象写出值域. (3)若与有两个交点，求的取值范围. 【答案】(1)，函数图象见详解； (2) (3) 【分析】（1）根据的正负打开绝对值，写出，在给定区间上分别画出二次函数的图象； （2）数形结合，得出函数的值域； （3）结合函数得出结果. 【详解】（1）函数的解析式为， 函数图象如下图所示： （2）当时，有最小值-1，由函数的图象可知，函数的值域为； （3）的图象是保留函数横轴及横轴上方的图象，下方图像象沿轴向上对称翻折， 如图，由的图象可知，当时，直线与函数的图象的交点个数为2， 的取值范围为. 【典型例题七 复合函数的单调性】 1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围. 【详解】函数在区间上单调递减，由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 则有，解得． 所以a的取值范围是. 故选：C 2．（23-24高一上·山东淄博·期中）函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得的定义域，然后根据复合函数单调性的知识求得正确答案. 【详解】由得或，即函数的定义域为， 设，则函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 是增函数， 根据复合函数的单调性的性质可知，函数的递增区间是， 故选：B 3．（2024高一·全国·专题练习）函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 【答案】 【分析】先确定的定义域，然后利用的单调性和的单调性即可确定的单调性. 【详解】函数的定义域为，故函数的定义域为，即的定义域为. 由于在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故单调递增区间是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·山东青岛·期中）函数的单调递增区间是 ． 【答案】（区间开闭都行） 【分析】先求函数的定义域，再结合复合函数单调性分析判断. 【详解】令，解得，即函数的定义域为， 令，其图象开口向下，对称轴为， 则在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故答案为：. 5．（23-24高一·江苏·假期作业）已知函数. (1)试判断此函数在上的单调性； (2)根据（1）的判断过程，归纳出解题步骤. 【答案】(1)单调递减 (2)答案见解析 【分析】（1）根据复合函数的单调性判断即可； （2）根据复合函数的单调性判断的过程书写即可. 【详解】（1）令，则函数在上为增函数，且 又因函数在上为减函数， 所以函数在上单调递减； （2）解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性． 【典型例题八 根据函数的单调性解不等式】 1．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，判断函数值的正负情况，由结合函数的性质列出不等式组，可求得答案. 【详解】因为定义域为的偶函数在内单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以由可得或或或， 所以得或或， 所以满足的的取值范围是． 故选：B． 2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知函数是定义在上的增函数， 则由，得， 解得，即， 故选：D 3．（2024高三·全国·专题练习）已知在定义域R上是增函数．若，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】由函数的单调性去掉对应法则后即可求解. 【详解】因为在定义域R上是增函数．且， 所以，解得. 故答案为： 4．（23-24高一上·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，转化为不等式，即可求解. 【详解】由函数在上是减函数，因为，可得，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立. (1)证明函数是上的减函数； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，则，由条件得，再由条件可得，即可得证； （2）求出，利用单调性脱去函数符号解不等式求解. 【详解】（1）设，则， 当时，恒成立，则， ，即 函数是上的减函数． （2）易知，则． ，所以，解得或 故x的取值范围是. 【典型例题九 比较函数值的大小关系】 1．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】 利用函数单调性的定义易得“”是“函数在区间上单调递增”的必要条件；可通过举例子说明“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件，即得. 【详解】由得不到“函数在区间上单调递增”， 如，，显然满足，但是函数在上递增，在上递减， 故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件； 而由“函数在区间上单调递增”可得.则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：D. 2．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用函数的单调性判断即可. 【详解】由得，，结合在上单调递减， 则必有，显然B正确，A错误， 而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误. 故选：B 3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 【答案】（或） 【分析】 由函数单调递减的性质即可求解. 【详解】 因为函数对于任意的，都有， 所以在区间上是减函数， 所以，所以. 故答案为：(或). 4．（23-24高一上·四川南充·期中）已知函数，且，则、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】，两边平方，化简得到答案. 【详解】，故，即， 故，即， 即. 故答案为：. 5．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知函数． (1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； (2)比较，的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由定义法证明函数的单调性； （2）通过单调性比较函数值的大小. 【详解】（1）函数，任取， ， 由，，，，即， 所以函数在上单调递增. （2），则，当且仅当，即时等号成立， ， 由，有，则，， 函数在上单调递增，所以. 【典型例题十 根据解析式直接判断函数的单调性】 1．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数中，有（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】确定函数的定义域，结合反比例函数的性质，即可判断出答案. 【详解】由题意知函数的定义域为， 该函数图象可由的图象向左平移一个单位得到， 而在上均单调递减，    故在上均单调递减， 结合选项可知A，B，C错误，D正确， 故选：D 2．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若函数在是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】， 令，故，， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增， 故，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的定义域是，值域是，则 ． 【答案】或 【分析】由题意在定义域上单调，结合一次函数性质列方程求参数，即可得结果. 【详解】由题设，则在定义域上单调， 所以或，可得或， 所以或. 故答案为：或 4．（23-24高一上·北京·阶段练习）设函数同时满足以下条件： ①定义域为；②；③，，当时，； 试写出一个函数解析式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解. 【详解】由③，不妨设，即，都有，即，即， 所以由题意可知是定义域为的减函数且满足， 不妨设一次函数满足题意，则，即. 故答案为：. 5．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)22，6 【分析】（1）根据解析式可判断出函数的单调性，结合函数单调性定义即可证明； （2）判断函数在所给区间上的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）函数在区间上单调递增， 证明：设，且， 则 ， 因为，且，故，， 故， 即，故函数在区间上单调递增； （2）由（1）可知该函数在区间上单调递增， 故. 【典型例题十一 函数不等式恒成立问题】 1．（2024·河南新乡·二模）函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解最值，即可根据一元二次不等式求解，即可根据取整函数的定义求解. 【详解】，当且仅当时取等号， 由可得， 所以，故， 故选：C 2．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得. 【详解】令函数，显然在上单调递减，， 因为任意，不等式恒成立，于是， 所以. 故选：A 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据单调性求出的范围，结合二次函数区间最值可得答案. 【详解】由于函数图象的对称轴为直线， 函数在上单调递减，所以. 在区间上，0距对称轴最远，故要使对任意的，都有， 只要即可，即， 解得. 又，所以. 故答案为： 4．（23-24高一上·北京·期末）已知,其中.若,则的取值范围是 ;若,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为,则求出的最大值即可;,根据单调性求出的最小值即可. 【详解】, 因为的对称轴为,所以当时,, 则; , 因为的对称轴为,所以当时,为增函数, 则当时,, 即. 故答案为：;. 5．（23-24高一上·北京·期中）若二次函数满足，且 (1)确定函数的解析式； (2)若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）依题意，问题转化为则在上恒成立，令，利用单调性求最小值即可. 【详解】（1）设二次函数， 则，                 已知，所以，解得， 又，得， . （2）在区间上不等式恒成立，则在上恒成立， 令，可知在上单调递减， 则，得 所以实数的取值范围为. 【变式训练1 定义法判断或证明函数的单调性】 1．（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通淢后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【分析】利用函数单调性的定义即可判断. 【详解】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 2．（23-24高一上·河南郑州·期中）函数在区间内的单调性是 . 【答案】单调递减 【分析】化简函数解析式，用定义证明函数的单调性即可. 【详解】因为， ，且，则 ， 由，则， 于是， ，即， 所以在单调递减. 故答案为：单调递减. 3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性. 【答案】在上单调递增 【分析】 由题意，设，结合和定义法证明函数的单调性，即可求解. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 所以， 因为且，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 【变式训练2 求函数的单调区间】 1．（23-24高一上·江西抚州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，可得答案. 【详解】解析：，作出图象， 可以得到函数的单调递减区间是． 故选：B. 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数的增区间为 ． 【答案】 【分析】根据给定的函数，利用函数单调性定义分析求解即得. 【详解】若的单调递增区间为， 任取，， 因为，，可得恒成立， 即，解得或（舍去）， 所以函数的增区间为． 故答案为： 3．（23-24高一上·全国·课后作业）求的单调区间． 【答案】函数的单调减区间为，单调增区间为. 【分析】任取，则，分与，两种情况讨论即可得结论. 【详解】任取， 则， 时， 由，则，， 则， 函数在上是减函数， 时， 设， 则，， 则， 即函数在上是增函数， 故函数的单调减区间为，单调增区间为. 【变式训练3 根据函数的单调性求参数值】 1．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围. 【详解】由函数的对称轴是， 因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 又因为，因此，所以的取值范围是. 故选：A． 2．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数在各段单调递增且在断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为为增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 3．（23-24高一上·北京东城·期中）已知函数 (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上是单调函数，求实数的集合. 【答案】(1)的最大值是1, 的最小值是; (2)或. 【分析】（1）利用二次函数在的单调性，求出最大值和最小值; （2）该二次函数要在区间上单调，则对称轴或，解不等式即可. 【详解】（1）,,对称轴, 在单调递减；在单调递增. ,. （2）由题意可得：，对称轴, 在上是单调函数，或， 解得：或,所以实数的集合为：或. 【变式训练4 利用函数单调性求最值或值域】 1．（23-24高一上·广东江门·期中）函数，的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先分离常数，再利用函数单调性求解最值即可. 【详解】， 而的图象由函数图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到， 所以在上单调递增， 所以当时，函数，有最大值为. 故选：B 2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，结合对勾函数单调性可求得，根据恒成立的思想可求得结果. 【详解】， 当时，， 令，则在上单调递增，， ，当时，恒成立， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数. (1)判断函数在上的单调性，并加以证明. (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明； （2）根据函数在区间上的单调性，代入求值，即得答案. 【详解】（1）函数在上单调递减，证明如下： 函数，任取，设， 则， 因为，，则， 故，即， 故函数在上单调递减； （2）由（1）知函数在上单调递减， 故. 【变式训练5 根据函数的最值求参数】 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求得函数的对称轴，对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，对称轴的方程为， 当时，则时，函数取得最大值，不满足题意； 当时，可函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 解得或（舍去）. 故选：C. 2．（22-23高一上·贵州铜仁·期中）函数值域是，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【分析】根据二次函数的值域，以及其单调性，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】因为的对称轴为，故在单调递减，在单调递增， 又，，故. 故答案为：. 3．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知二次函数且. (1)若函数的最小值为，求的解析式； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据函数的最小值为，可得，且，可得的值，从而得到的解析式； （2）分离参数，求解二次函数在区间上的最小值，即可得的范围． 【详解】（1）由题意知，且， ∴，∴. （2）在区间上恒成立， 转化为在上恒成立． 设，且对称轴为， 则在取得最小值， ∴． ∴，即的取值范围为． 【变式训练6 函数图象】 1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数，若，且，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意确定，再利用二次函数性质逐项判断. 【详解】若，且，则，故开口向下,故BD错误； 又，故C错误，A正确. 故选：A 2．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）如图是函数的图象，则函数的最大值点与单调减区间分别是 ， . 【答案】 2 和. 【分析】根据图象确定最大值对应的的值；根据图象直接判断出单调递减区间. 【详解】由图象可知：在时取最大值，所以最大值点为； 由图象可知：的单调递减区间为和， 故答案为：；和. 3．（23-24高一上·浙江嘉兴·期中）给定函数，，．用表示，中的较大者，即. (1)请用图象表示函数； (2)写出函数的值域； (3)若，则求实数a的值． 【答案】(1)图象见解析 (2) (3)或 【分析】 （1）结合题意及一元二次不等式求出函数的解析式，进而画出图象即可； （2）根据图象求解即可； （3）根据函数的解析式求解即可. 【详解】（1）由，得，或， 由得到； 由得到或， 故，故的图象如图：                             （2）由图象可知当时，取最小值，故值域为． （3）当时，，即； 当或时，，即或（舍去）. 综上所述，或. 【变式训练7 复合函数的单调性】 1．（22-23高一上·安徽芜湖·期中）关于函数的结论正确的是（    ） A．值域是 B．单调递增区间是 C．值域是 D．单调递增区间是 【答案】D 【分析】求出的定义域，根据在内的单调性与值域判断的单调性与值域. 【详解】因为有意义，所以，解得，即函数的定义域为， 函数，在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，故B错误，D正确； 在上有最大值4，最小值故的值域为，故A、C错误. 故选：D. 2．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）函数的单调递减区间为 ． 【答案】. 【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】令且其对称轴为，且， 的单调减区间是， 又∵在上是增函数， ∴函数的单调递减区间为. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课后作业）求下列函数的单调区间 （1）函数的单调递增区间 （2）函数的单调递增区间 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由和的单调性即可求出； （2）先求出的定义域，再求出的增区间即可. 【详解】（1）令，则，由，得， 又因为在上单调递增，在定义域上是增函数， 所以的单调递增区间是. （2）由解得，也即函数的定义域为， 因为函数开口向下，对称轴为， 所以函数在上递增，在上递减. 而在上是增函数，根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递增区间为. 【点睛】本题考查复合函数单调性的判断，属于基础题. 【变式训练8 根据函数的单调性解不等式】 1．（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性及定义域得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数在定义域上是增函数，且， 则有，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 2．（23-24高一上·全国·课后作业）设为实数，已知函数在定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据单调性得到不等式，解出即可. 【详解】因为函数在定义域上是减函数，且， 所以，解得， 所以a的取值范围. 故答案为：. 3．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增；证明见解析 (2) 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 因为，， 任取，可知， 因为，所以，，， 所以，即， 故在上单调递增； （2）由（1）知在上单调递增， 所以，可得，解得 故实数的范围是． 【变式训练9 比较函数值的大小关系】 1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意能得到函数关于直线轴对称，且在上单调递增，然后根据离对称轴的远近比较大小. 【详解】由，时，得函数在上单调递减， 由得函数关于直线轴对称， 所以函数在上单调递增. 又因为（最远离），（最靠近）， 所以. 故选：A 2．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的函数，给出下列三个论断： ①在上单调递增； ②； ③. 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题： ， 推出 .（把序号写在横线上） 【答案】 ①（答案不唯一） ②（答案不唯一） ③（答案不唯一） 【分析】根据单调性和范围即可推出不等式. 【详解】①②推出③； 证明：当在单调递增且当时，有，得证. ①③推出②； 证明：当在单调递增且当时，有，得证. ①②无法推出③； 取，此时满足且，但不满足在单调递增. 故答案为：①；②；③.（答案不唯一） 3．（22-23高一·全国·随堂练习）已知函数在R上是减函数，，且．请确定与的大小关系，并给出证明． 【答案】，证明过程见解析 【分析】根据函数单调性得到和，相加后得到答案. 【详解】，证明如下： 因为，所以， 因为在R上是减函数，所以， 同理可得，故， 两式相加得 【变式训练10 根据解析式直接判断函数的单调性】 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性列不等式组求的取值范围. 【详解】易知函数在上单调递增， 由得，即，解得. 故的取值范围是. 故选：D. 2．（23-24高一上·湖北孝感·期中）写出同时满足以下条件的一个函数 ． ①定义域为R，值域为； ②，，且时，； ③，． 【答案】(答案不唯一，合理即可) 【分析】根据已知条件分析函数的性质，选用满足题意的基本函数即可. 【详解】由题意可知，函数的图像关于直线对称， 函数在上单调递增，在上单调递减，最小值， 则符合题意. 故答案为： 3．（2020高一·全国·专题练习）已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性； (2)用定义证明（1）中结论； (3)求该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)函数在单调递增 (2)见解析 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）将化为，即可判单调性； （2）取值，作差，变形，定号； （3）根据（2）的结论得出答案. 【详解】（1）， 因为在单调递减，所以在单调递增. （2）任取，设， ， 所以，故函数在单调递增. （3）由（2）得在区间上的最大值为， 在区间上的最小值为， 该函数在区间上的最大值为，最小值为. 【变式训练11 函数不等式恒成立问题】 1．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）已知函数，且不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到对任意恒成立，根据开口方向和对称轴，得到，求出答案. 【详解】由不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， ∵，对称轴， ∴只需即可， 可得． 即， 解得， 又，所以， 故选：D． 2．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知，.若对，总存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求解函数的最值即可求解. 【详解】，当时，， 当时，，对，总存在使得成立， 即，，即， 得，，当时，. 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 3．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数，． (1)若，试求函数（）的最小值； (2)对于任意的，不等式成立，试求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）时，利用基本不等式求函数（）的最小值； （2）任意的不等式成立，问题等价于在上恒成立，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1），时，函数， 当且仅当，即时等号成立， 所以时函数（）的最小值为. （2），任意的，不等式成立， 即在上恒成立， 设，在上恒成立， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 1．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．不确定 【答案】B 【分析】根据函数图象的变换得到值域不变即可得到答案. 【详解】解：由函数的值域为，向左平移2个单位得到，所以的值域为，的最大值为2，所以函数的最大值为． 故选：B． 2．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合不等式加法和乘法性质，以及函数单调性即可作出判断. 【详解】由不等式的加法性质可得成立，所以选项A是正确的； 因为函数在上单调递减，所以选项B是错误的； 当时，显然不成立，所以选项C是错误的； 因为函数在上单调递减，所以选项D是错误的； 故选：A. 3．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设，若，则（    ） A．12 B．16. C．2 D．6 【答案】D 【分析】分析函数的性质，再根据给定等式求出，代入求出函数值. 【详解】依题意，函数在上单调递增，在上单调递增， 由，知，因此，解得， 所以. 故选：D 5．（2024高一·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．若，当时，，则在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数 在定义域内为增函数 D．函数的单调增区间为 【答案】B 【分析】 根据单调函数的定义、函数的单调性和单调区间的概率依次判断即可. 【详解】 对A，由函数单调性的定义知，应为对于任意，没有“任意”二字，故A错误； 对B，该二次函数是一条对称轴为，开口向上的抛物线， 函数在上为增函数，故B正确； 对C，函数在和上分别为增函数， 但不能说定义域内单调递增，故C错误； 对D，函数在和上分别为减函数， 同时区间不能用 “”符号连接，故D错误. 故选：B 6．（2024高二上·福建·学业考试）若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求得抛物线的对称轴方程为，可得，求解即可. 【详解】由题意得抛物线的对称轴方程为 ∵函数在上单调递增， ∴，∴，则的取值范围为. 故答案为： 7．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的单调性 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则函数在区间I上单调递增，区间I叫作的 ，如图所示． 当时，都有 ，则函数在区间I上单调递减，区间I叫作的 ，如图所示． 【答案】 单调增区间 单调减区间 8．（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则 ． 【答案】4 【分析】利用配凑法可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】， 当且仅当即时取等号， 即时取最小值，故． 故答案为：4 9．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 【答案】13 【分析】分析函数的对称轴以及在区间上的单调性，进而即可求得的值，问题得解. 【详解】函数的对称轴为， 且函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值2，即2； 当时，函数取得最大值11，即11； 所以； 故答案为：. 10．（2024高二下·浙江杭州·学业考试）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将原问题条件等价转换为对任意恒成立，故只需求出在上的最大值即可. 【详解】由题意对任意恒成立， 由复合函数单调性可知在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 11．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知二次函数满足． (1)求的解析式． (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，利用换元法代入可求得的解析式； （2）由（1）可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案. 【详解】（1）令，则， ，∴. （2）因为， 所以的图象对称轴为，在上递减，在上递增， ∴，， 即的值域为. 12．（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数 (1)若，求的值； (2)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)； (2)在区间上递增，证明见解析. 【分析】（1）由，将自变量代入求值即可； （2）设，应用作差法比较证明单调性. 【详解】（1）由题设，则，故； （2）在区间上递增，证明如下： 令，则， 又，则，且， 所以，即在区间上递增. 13．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知函数在区间上具有单调性，求k的取值范围. 【答案】 【分析】考察对称轴位置即可求解. 【详解】二次函数的对称轴为， 由题意可知，或，即或， 所以k的取值范围. 14．（22-23高一上·广东深圳·期中）已知二次函数，． (1)求m的值； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得对称轴列出方程，即可求解； （2）根据二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）由二次函数， 因为，函数对称轴为，则，解得. （2）由（1）知，图象开口向上，对称轴为， 则，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 故在区间上的最小值为. 15．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用求得，由可求得，即得答案； （2）依题意可得当时，恒成立，参变分离可得恒成立，再令，，求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）由题意设， 由得； 由得， 即恒成立，故，则， 故； （2）因为当时，的图象恒在图象的上方， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 令，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$