专题02 一元二次方程的解法（8大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题02 一元二次方程的解法 目录 【题型一 直接开平方法解一元二次方程】 1 【题型二 配方法解一元二次方程】 1 【题型三 配方法的应用】 2 【题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 3 【题型五 根据一元一次方程根的情况求参数】 3 【题型六 公式法解一元二次方程】 3 【题型七 因式分解法解一元二次方程】 4 【题型八 换元法解一元二次方程】 4 【题型一 直接开平方法解一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·广西百色·期中）一元二次方程的根为（    ） A． B． C．， D． 【变式训练】 1．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（    ） A． B．2 C． D． 2．（2024·江苏宿迁·二模）方程的解是 ． 【题型二 配方法解一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·吉林长春·期中）将一元二次方程化成的形式，则 ． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【题型三 配方法的应用】 例题：（2024·广东深圳·三模）将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知x为全体实数，则的最大值为 ． 2．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）解答： 例： ， 请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题； 探究： （1）无论x取何值，试说明代数式的值一定是负数； 应用： （2）记某个正方形的面积为，边长为，某个矩形的面积为，若该矩形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为6，请比较与的大小，并说明理由． 【题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 例题：（2024·河南濮阳·三模）一元二次方程解的情况，下列说法正确的是（    ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程无实数根 D．方程有一个实数根 【变式训练】 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）下列方程中有两个不相等实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林松原·一模）一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【题型五 根据一元一次方程根的情况求参数】 例题：（2024年四川省广安市中考数学试题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【变式训练】 1．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 2．（2024年江苏省连云港市中考真题数学试卷）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【题型六 公式法解一元二次方程】 例题：（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，它的根是 ． 2．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【题型七 因式分解法解一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·安徽亳州·期中）关于的一元二次方程的根是（    ） A． B．0 C．1和2 D．和2 【变式训练】 1．（2024·陕西渭南·二模）方程的解是 ． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 【题型八 换元法解一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值是 ． 2．（2024八年级下·安徽·专题练习）． 一、单选题 1．（2024·浙江杭州·二模）若一元二次方程的根的判别式的值是5，则b的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（2024·浙江金华·二模）已知和是关于x的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数a，使得，则称函数和是“奇妙函数”．以下函数和不是“奇妙函数”的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（2024·河南周口·三模）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 （   ） A． B．且 C． D．且 4．（2024·河南周口·二模）关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数k的最大整数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）代数式的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 二、填空题 6．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的解为： ． 7．（2024·山东聊城·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可以取到的最小整数值是 ． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 9．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知x为实数，若，则 ． 10．（2024·陕西渭南·二模）欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则的长是该方程的一个正根．当，时，的长为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 12．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 13．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 14．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 15．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的解法 目录 【题型一 直接开平方法解一元二次方程】 1 【题型二 配方法解一元二次方程】 2 【题型三 配方法的应用】 4 【题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 6 【题型五 根据一元一次方程根的情况求参数】 7 【题型六 公式法解一元二次方程】 8 【题型七 因式分解法解一元二次方程】 10 【题型八 换元法解一元二次方程】 11 【题型一 直接开平方法解一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·广西百色·期中）一元二次方程的根为（    ） A． B． C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，运用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 直接开方得：， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程的，解答此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ∴， ． 故选D． 2．（2024·江苏宿迁·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型二 配方法解一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·吉林长春·期中）将一元二次方程化成的形式，则 ． 【答案】 【分析】此题考查的是配方法的应用，在方程的两边都加上 ，配方后可求解的值，从而可得答案． 【详解】解：∵ ， ， ， ． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即， ． （2）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根． 【题型三 配方法的应用】 例题：（2024·广东深圳·三模）将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中的方程利用配方法即可求出，本题考查解一元二次方程，配方法的应用，解题的关键是会用配方法解方程． 【详解】 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知x为全体实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴的最大值为． 2．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）解答： 例： ， 请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题； 探究： （1）无论x取何值，试说明代数式的值一定是负数； 应用： （2）记某个正方形的面积为，边长为，某个矩形的面积为，若该矩形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为6，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析． 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． （1）利用配方法，将原式变形为，即可解答； （2）利用作差法，再将计算的结果变形，即可解答． 【详解】解：（1） ， ，， ∴无论x取何值，代数式的值一定是负数； （2） 理由：由题意，得，， ， ，即， . 【题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 例题：（2024·河南濮阳·三模）一元二次方程解的情况，下列说法正确的是（    ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程无实数根 D．方程有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是正确理解一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的值判断根的情况． 【详解】解：由得：， ，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式训练】 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）下列方程中有两个不相等实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，分别计算的值，根据，方程有两个不相等的实数根； ，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，进行判断． 【详解】解：A．，方程有两个相等实数根； B．无实数解； C．，方程没有实数根； D．，方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 2．（2024·吉林松原·一模）一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【答案】52 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式为．根据一元二次方程根的判别式公式代入数值计算即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴该方程根的判别式， 故答案为：52． 【题型五 根据一元一次方程根的情况求参数】 例题：（2024年四川省广安市中考数学试题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 【变式训练】 1．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 2．（2024年江苏省连云港市中考真题数学试卷）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：． 【题型六 公式法解一元二次方程】 例题：（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，它的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】解： ，， ∴， ∴ 解得，． 故答案为：，． 2．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）根据公式法求解； （2）根据因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ，，， 根据公式法可得： ． ∴方程的根为：，． （2）解：， ， ， ，， ∴方程的根为：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和因式分解法是解答此题的关键． 【题型七 因式分解法解一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·安徽亳州·期中）关于的一元二次方程的根是（    ） A． B．0 C．1和2 D．和2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·陕西渭南·二模）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程中的因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 或， 所以， 故答案为：， 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）采用因式分解法作答即可； （2）两边同时开方转化为一元一次方程，即可作答． 【详解】（1）， 方程左边分解因式，得 所以或， 解得，； （2）， 开平方，得，或， 解得，． 【题型八 换元法解一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．利用整体思想设得到方程，再根据关于x的一元二次方程有一根为，即可得到t的值，从而可求解． 【详解】解：∵， ∴，即．　 设，则． ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴一元二次方程必有一根为2026． 故选C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，令，根据换元法的求解方程作答即可． 【详解】令，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 2．（2024八年级下·安徽·专题练习）． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将看作一个整体，设，利用因式分解法求得的值，进而即可求得． 【详解】解：设，则原方程即， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得，或． 一、单选题 1．（2024·浙江杭州·二模）若一元二次方程的根的判别式的值是5，则b的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式列得方程求解即可，正确掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键 【详解】解： 解得， 故选：B 2．（2024·浙江金华·二模）已知和是关于x的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数a，使得，则称函数和是“奇妙函数”．以下函数和不是“奇妙函数”的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令，然后得出关于x的方程，如果方程有解，则称函数和是“奇妙函数”，若无解，则称函数和不是“奇妙函数”． 【详解】解：A、令， 则， 整理得：， 解得：，， ∴函数和是“奇妙函数”，故A不符合题意； B、令， 则， 整理得：， ∵， ∴方程无实数解， ∴函数和不是“奇妙函数”，故B符合题意； C、令， 则， 整理得：， 解得：，， ∴函数和是“奇妙函数”，故C不符合题意； D、令， 则， 整理得：， 解得：，， ∴函数和是“奇妙函数”，故D不符合题意． 故选：B． 3．（2024·河南周口·三模）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 （   ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题容易忽视和这一隐含条件．据此本题分两种情况：①若，则方程是一元二次方程，利用根的判别式，使；②若，则方程是一元一次方程，是有实数根的． 【详解】解：①当时，关于x的方程是一元二次方程， ∴，则， 解得且； ②当时，原方程为，此方程有实数根， 综上，k的取值范围是， 故选：A． 4．（2024·河南周口·二模）关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数k的最大整数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．据此求解即可． 【详解】∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴实数k的最大整数为 4． 故选 C． 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）代数式的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将原式整理为，即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 故选：A． 二、填空题 6．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的解为： ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ，， 故答案为：，． 7．（2024·山东聊城·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可以取到的最小整数值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据判别式为正，求得m的取值范围，根据范围即可求得最小整数值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 则m可以取到的整数值是不小于2的整数， 但，即． 故m可以取到的最小整数值是3． 故答案为：3． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2020 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得， ， 则代数式的最小值是2020． 故答案为：2020． 9．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知x为实数，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，设，则原方程转化为关于y的一元二次方程，然后利用因式分解法解该方程求得y的值即可． 【详解】解：设，则， 整理，得． 所以或． 解得或． 当时，，此时该方程无解，故舍去． 综上所述，． 故答案为：1． 10．（2024·陕西渭南·二模）欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则的长是该方程的一个正根．当，时，的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的应用，将，代入中，解方程即可得解，熟练掌握求根公式法解方程是解本题的关键． 【详解】将，代入中得， 解方程得，， ∵的长是方程的一个正根， ∴的长为：， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴或， ∴； （2）， 整理得：， ∴， 或， ． 12．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 【答案】(1) (2)和 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想． （1）设，用代替方程中的，然后解关于的一元二次方程，然后再来求关于的一元二次方程即可； （2）根据已知方程的解，得出或，求出的值即可． 【详解】（1）令，则， 或， 解得或． 当时，， 即， 解得． 当时，， 即， 解得． 综上，原方程的解为． （2）一元二次方程的两根分别为， 方程中或． 解得：或． 即方程的两根分别是和． 13．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为________； (2)已知：，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用， （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，即可得解． 掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【详解】（1）解：∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴代数式的最大值为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 14．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法，根据方程的特点，选择合适的方法解方程是解决问题的关键． （1）用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）， 其中， ∴， ∴， ，． 15．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)k的值为12或3 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与直角三角形结合等，熟练掌握一元二次方程相关定义与性质是解决问题的关键． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【详解】（1）由题意得： ∴方程有两个不相等的实数根 （2）∵，即 解得： 当为直角边时，，解得： 当为斜边时，，解得：（不合题意，舍） 综上：k的值为12或3 1 学科网（北京）股份有限公司 $$