1.3勾股定理的应用（十大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

八年级上册数学《第一章 勾股定理》 1.3 勾股定理的应用 知识点 勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ◆勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 题型一 应用勾股定理解决梯子滑落问题 1．（2024春•滨城区校级月考）如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子底端将向外滑动（　　） A．7m B．8m C．9m D．15m 【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离． 【解答】解；梯子顶端距离墙角的距离为， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为， 15﹣7＝8（m）． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．（2023春•确山县期末）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5m，这时梯子的底端也恰好外移0.5m，则梯子的长度AB为（　　）m． A．2.5 B．3 C．1.5 D．3.5 【分析】设BO＝xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，即可求出AB的长度． 【解答】解：设BO＝xm，依题意，得AC＝0.5，BD＝0.5，AO＝2． 在Rt△AOB中，根据勾股定理得 AB2＝AO2+OB2＝22+x2， 在Rt△COD中，根据勾股定理 CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， ∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， 解得x＝1.5， ∴AB2.5， 答：梯子AB的长为2.5m． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AB＝CD为梯子长等量关系是解题的关键． 3．（2024春•香坊区校级期中）如图，一根长10米的木棒AB，斜靠在与地面垂直的墙上，木棒B端距离墙6米，当木棒A端沿墙下滑至点A'时，B端沿地面向右滑行至点B'，若AA'＝2，则BB'的长为（　　）米． A．1 B． C．3 D．2 【分析】根据勾股定理求出OA、OB'的长，即可解决问题． 【解答】解：根据题意可知，AB＝A'B'＝10米，OB＝6米， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA8（米）， ∵CA′＝CA﹣AA′，AA′＝2米， ∴OA′＝OA﹣AA'＝8﹣2＝6（米）， 在Rt△A′OB′中，由勾股定理得：OB'8（米）， ∴BB′＝OB′﹣OB＝8﹣6＝2（米）， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出OA、OB'的长是解题的关键． 4．（2024春•庆云县月考）如图，25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为7米，若梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯足将向左移（　　） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 【分析】在直角△ABCC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC＝AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角△A1B1C中，已知A1B1＝AB，CA1即可求得CB1的长度，根据BB1＝CB1﹣CB，即可求得BB1的长度． 【解答】解：在直角△ABC中，已知AB＝25米，BC＝7米， 则由勾股定理得（米）． ∵AC＝AA1+CA1， ∴CA1＝24﹣4＝20（米）． ∵在直角△A1B1C中，A1B1＝AB，且A1B1为斜边， ∴由勾股定理得（米）， ∴BB1＝CB1﹣CB＝15﹣7＝8（米）． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2024春•湖北期中）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（　　） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 【分析】根据题意由勾股定理得出AB的长即可得出BC的长，再根据勾股定理求出BD的长即可得出结果． 【解答】解：如图，由题意可知，AE＝2.4米，BE＝0.7米，CD＝1.5米，AB＝BC， 由勾股定理得，AB2.5（米）， ∴BC＝2.5米， ∴BD2（米）， ∴DE＝BD+DE＝2.7米， 即小巷的宽度为2.7米， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 题型二 应用勾股定理解决旗杆高度问题 1．（2023春•同心县校级期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面6米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部8米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？ 【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由旗杆高度＝AB+BC即可解答． 【解答】解：∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形， ∴BC10（米）． ∴旗杆的高＝AB+BC＝6+10＝16（米）． 答：这根旗杆被吹断裂前至少有16米高． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，再根据勾股定理进行解答． 2．（2024春•道里区校级月考）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆AB的底端B处，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到点D处，发现此时点D到旗杆AB水平距离为8m，点D到地面的距离CD为2m，则旗杆AB的高度为（　　） A．23m B．17m C．15m D．10m 【分析】过点D作DE⊥AB于E，设旗杆AB的高度为x m，在Rt△AED中，由勾股定理可得（x﹣2）2+82＝x2，解方程即可求解． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，DE＝BC＝8m，BE＝CD＝2m， 设旗杆AB的高度为x m，则AE＝（x﹣2）m，AD＝AB＝x m， 在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2， ∴（x﹣2）2+82＝x2， 解得x＝17， ∴旗杆AB的高度为17m， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 3．（2023春•济南期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为 　　米． 【分析】设滑轮到地面的高度为x米，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设滑轮到地面的高度为x米， 根据勾股定理，得x2+122＝（x+6）2， 解得：x＝9； 答：滑轮到地面的高度为9米． 故答案为：9． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，从题意中勾画出勾股定理这一数学模型是解决问题的关键． 4．（2023春•罗庄区期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2． 【解答】解：在Rt△ACB中， AC2+BC2＝AB2， 设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m， 故x2＝42+（x﹣1）2， 解得：x＝8.5， 答：绳索AD的长度是8.5m． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 5．（2023秋•邓州市期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知BC＝　 　米，用含有x的式子表示AC为 　 　米； （2）请你求出旗杆的高度． 【分析】（1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空； （2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【解答】解：（1）根据题意知：BC＝5米，AC＝（x+1）米． 故答案为：5；（x+1）； （2）在直角△ABC中，由勾股定理得： BC2+AB2＝AC2， 即52+x2＝（x+1）2． 解得x＝12． 答：旗杆的高度为12米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 题型三 应用勾股定理解决风吹树折问题 1．（2023春•澄迈县期末）如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（　　） A．7米 B．8米 C．9米 D．12米 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，顶端落在地面离木杆底端3米处， ∴折断的部分长为5（米）， ∴折断前高度为5+4＝9（米）． 故选：C． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 2．（2024春•庐阳区校级期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前的高度是（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．16米 【分析】根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长． 【解答】解：∵62+82＝100， ∴10， ∴10+6＝16（米）． ∴树折断之前有16米． 故选：D． 【点评】此题考查了勾股定理的应用．培养同学们利用数学知识解决实际问题的能力，观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 3．（2024春•四平期末）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是（　　） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为16尺，则B'C＝8尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣2）尺， 因为B'E＝16尺，所以B'C＝8尺 在Rt△AB'C中，82+（x﹣2）2＝x2， 解之得：x＝17， 即芦苇长17尺． 故选：C． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键． 4．（2023秋•运城期末）我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原本高12尺，从某处折断，竹梢触地处离竹根3尺，试问折断处距离地（　　） A．4.5 B．5.625 C．4 D．6.375 【分析】根据勾股定理得出关于AB的方程，求出AB的值即可． 【解答】解：由题意知，AB+BC＝12尺，AC＝3尺， ∴BC＝12﹣AB， 由勾股定理得，AB2+AC2＝BC2， 即AB2+9＝（12﹣AB）2， 解得AB＝5.625， ∴折断处距离地5.625尺． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 5．（2023春•潘集区期末）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2， 解得：x＝12， 芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺）， 故选：D． 【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 6．（2024•朝阳区校级模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　 　尺． 【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可． 【解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得： x2+32＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.55， 答：折断处离地面4.55尺． 故答案为：4.55． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 题型四 应用勾股定理解决水杯子中的筷子问题 1．（2024春•丹徒区期中）如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是 　 cm． 【分析】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案． 【解答】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得15（cm）， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：20﹣15＝5（cm）； 故答案为：5． 【点评】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决． 2．（2024春•汝南县期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度，然后求其差即可． 【解答】解：根据题意可得图形：AB＝8cm，BC＝6cm， 在Rt△ABC中：AC10（cm）， ∴18﹣10＝8（cm），18﹣8＝10（cm）． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在8cm～10cm之间． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键． 3．（2024春•乐陵市校级月考）如图将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（　　） A．9＜h＜10 B．9≤h≤10 C．5≤h≤13 D．5＜h＜13 【分析】先找到筷子在杯内最短和最长时筷子所处的位置，再利用勾股定理求解，进而得到h的范围． 【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大为：22﹣12＝10（cm）． 当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小， 此时杯内筷子长度：（cm）， 此时h最小为：22﹣13＝9（cm）． 故h的取值范围是：9≤h≤10． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的实际应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 4．（2024春•昌乐县期中）如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度l的取值范围是（　　） A．9cm≤l≤12cm B．5cm≤l≤8cm C．5cm＜l＜9cm D．12cm≤l≤20cm 【分析】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案． 【解答】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：20﹣15＝5（cm）； 当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为20﹣12＝8（cm）， 即铅笔在笔筒外面最长不超过8cm， 所以这只铅笔露在笔筒外面的长度l的取值范围是5cm≤l≤8cm． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决． 5．（2023春•通榆县期中）如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（　　） A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm 【分析】烧杯的高、玻璃棒被水淹没部分以及这只烧杯的直径构成一个直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：6（cm）． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键． 6．（2024春•潍城区期中）如图，将一根20厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为h厘米，则h的取值范围是（　　） A．h≤14 B．9≤h≤10 C．9≤h≤12 D．10≤h≤12 【分析】根据当筷子垂直于水杯底面放置时，筷子露在杯子外面的长度最长，当筷子如图所示放置时，筷子露在杯子外面的长度最短，分别求出h的值即可． 【解答】解：当筷子垂直于水杯底面放置时，筷子露在杯子外面的长度最长，最长为20﹣8＝12（cm）， 当筷子如图所示放置时，筷子露在杯子外面的长度最短，最短为：2010（cm）， ∴h的取值范围是10≤h≤12， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 题型五 应用勾股定理解决台阶地毯问题 1．（2024春•安次区期中）如图，在高为6m，坡面长为10m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．12m B．13m C．14m D．15m 【分析】由勾股定理求出BC的长，再求出AC+BC的长即可． 【解答】解：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10m，AC＝6m， 由勾股定理得：BC8（m）， ∴AC+BC＝6+8＝14（m）， 即地毯的长度至少需要14m， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出BC的长是解题的关键． 2．（2024春•武威期中）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（　　） A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长． 【解答】解：如图，由题意得：AC＝10×5＝50（cm）， BC＝20×6＝120（cm）， 故AB130（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 3．（2023春•郧阳区期末）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．17m B．18m C．25m D．26m 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【解答】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度12， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是12+5＝17（米）． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性． 4．（2023秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　 　元． 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【解答】解：由勾股定理得AB12（m）， 则地毯总长为12+5＝17（m）， 则地毯的总面积为17×2＝34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）． 故答案为：680． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 题型六 应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题 1．（2024春•中山市校级期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（米），间距为8米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离10（米）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 2．（2024春•太和县月考）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高10m的树顶飞到一棵高5m的树顶上，两棵树相距12m，则喜鹊至少要飞（　　） A．5m B．12m C．13m D．17m 【分析】根据勾股定理，进行计算即可求解． 【解答】解：如图所示， 依题意AC＝12m，BC＝10﹣5＝5（m），∠ACB＝90°， ∴（m）， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确记忆相关公式是解题关键． 3．（2023春•潼关县期末）如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞　 　米． 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解答】解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝13米，CD＝8米，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE＝BD＝12， AE＝AB﹣CD＝13-8=5， 在直角三角形AEC中， 斜边长AC13米，即小鸟至少要飞13米． 故答案为13． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 4．（2023春•海淀区校级期中）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB． 【分析】在Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2+BC2＝AC2，BC＝a（米），AC＝b（米），AD＝x（米），根据两只猴子经过的路程一样可得10+a＝x+b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高＝10+x． 【解答】解：Rt△ABC中，∠B＝90°， 设BC＝a（米），AC＝b（米），AD＝x（米） 则10+a＝x+b＝15（米）． ∴a＝5（米），b＝15﹣x（米） 又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2＝b2， ∴（10+x）2+52＝（15﹣x）2， 解得，x＝2，即AD＝2（米） ∴AB＝AD+DB＝2+10＝12（米） 答：树高AB为12米． 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键． 题型七 应用勾股定理解决是否受台风影响问题 1．（2024春•恩施市期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为 　 s． 【分析】过点A作AC⊥ON，求出AC的长，当火车到B点时开始对A处有噪音影响，直到火车到D点噪音才消失． 【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝150米， ∵∠QON＝30°，OA＝240米， ∴AC＝120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝150米， ∵AB＝150米，AC＝120米， ∴由勾股定理得：BC＝90米，CD＝90米，即BD＝180米， ∵72千米/小时＝20米/秒， ∴影响时间应是：180÷20＝9（秒）． 故答案为：9． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，难度适中． 2．（2023春•富县期末）如图，点A处的居民楼与马路BC相距30米，当居民楼与马路上行驶的汽车的距离在50米内时就会受到噪音污染．如果汽车以每秒20米的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来多长时间的噪音污染？ 【分析】如图，作AH⊥BC于点H，在BC上取一点M，使得AM＝50，连接AM．再利用勾股定理求解HM即可得到答案． 【解答】解：如图，作AH⊥BC于点H，在BC上取一点M，N，使得AM＝50＝AN，连接AM． 在Rt△AHM中，AM＝50＝AN，AH＝30，∠AHM＝90°， ∴HM＝HN，（米）， ∴2×40÷20＝4（秒）． 答：会给这栋居民楼带来4秒的噪音污染． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，熟练的建立几何模型是解本题的关键． 3．（2023秋•北碚区期末）如图，某海港A的正东方向80海里处有一海岛B，气象站发现在海岛B的正南方向60海里的C处有一台风中心，测得它正以20海里/小时的速度沿CA方向向海港A运动，以台风中心为圆心，周围52海里以内为受影响区域． （1）通过计算说明海岛B会受台风影响吗？ （2）求出台风中心同时影响海港A和海岛B的时长． 【分析】（1）求出B在AC的距离，再与52比较大小； （2）先求出台风中心同时影响海港A和海岛B的路程，再求出时间． 【解答】解：（1）过B作BD⊥AC于D，设BE＝BF＝AQ＝52海里， 由勾股定理得：AC＝100海里， ∵AB•BC＝AC•BD， ∴BD＝48＜52， 所以海岛B会收到台风份影响； （2）在Rt△BED中，ED＝20（海里）， 在Rt△ABD中，AD＝64（海里）， ∴AE＝AD﹣ED＝64﹣20＝44（海里）， ∴QE＝AQ﹣AE＝52﹣44＝8（海里）， ∴8÷20×60＝24（分钟）， 答：台风中心同时影响海港A和海岛B的时长为24分钟． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 4．（2024春•武昌区期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km． （1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由； （2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，由勾股定理得BC500（km），由三角形面积公式得到500AH＝300×400，求出AH＝240（km），由AH＜250km，判断农场A会受到台风的影响； （2）台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，得到AM＝AN＝250km，由勾股定理求出MH＝NH＝70（km），得到MN＝140（km），即可求出台风影响该农场持续时间． 【解答】解：（1）农场A会受到台风的影响，理由如下： 过A作AH⊥BC于H， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴BC500（km）， ∵△ABC的面积BC•AHAB•AC， ∴500AH＝300×400， ∴AH＝240（km）， ∵AH＜250km， ∴农场A会受到台风的影响； （2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM， ∴AM＝AN＝250km， ∵AM＝AN，AH⊥BC， ∴MH＝NH， 由勾股定理得：MH＝NH70（km）， ∴MN＝2×70＝140（km）， ∵台风中心的移动速度为20km/h， ∴台风影响该农场持续时间是140÷20＝7（小时）． 【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由以上知识点求出AH的长，求出台风从开始影响农场，到结束影响农场，所移动的距离． 5．（2023秋•渝北区期末）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为km，A，B两岛的距离为68km． （1）求出B，C两岛的距离； （2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求出AD，CD，再在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求出BC，从而解决问题； （2）由25＞20，可知会受影响．以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F，利用勾股定理求出DE，进而得到EF的长，再除以台风移动速度即可求出台风影响岛屿C持续时间． 【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D， 由题意知：∠ACD＝45°， ∴∠A＝∠ACD＝45°， ∴CD＝AD， 在Rt△ACD中， ACkm， 由勾股定理，得AD2+CD2＝AC2， ∴2AD2＝（）2， 解得AD＝20km（负值已舍）， ∴CD＝20km， 在Rt△BCD中， BD＝AB﹣AD＝68﹣20＝48（km）， 由勾股定理，得BC52（km）， 答：B，C两岛的距离为52km； （2）会受影响， 以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F， 则EF＝2DE， 在Rt△CDE中， 由勾股定理，得DE15（km）， ∴EF＝30km， 30÷20＝1.5（h）， 答：台风影响岛屿C持续时间为1.5h． 【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作CD⊥AB构造直角三角形是解题的关键． 题型八 应用勾股定理解决是否超速问题 1．（2023秋•浑南区月考）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由． 【分析】根据勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶76.8千米，进而得出答案． 【解答】解：小汽车已超速，理由如下： 根据题意得：AC＝24米，AB＝40米，∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，根据勾股定理得：BC32（米）， ∵小汽车1.5秒行驶32米， ∴小汽车行驶速度为76.8千米/时， ∵76.8＞60， ∴小汽车已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/时）． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出BC的长是解题的关键． 2．根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速为60km/h，如图，一观测点M到公路l的距离MN为30m，现测得一辆汽车从点A到点B所用时间为5s，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50m，34m，请通过计算判断此车是否超速． 【分析】在Rt△AMN中根据勾股定理求出AN，在Rt△BMN中根据勾股定理求出BN，由AN+NB求出AB的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断． 【解答】解：在Rt△AMN中，AM＝50米，MN＝30米， ∴AN40（米）， 在Rt△MNB中，BM＝34米，MN＝30米， ∴BN16（米）， ∴AB＝AN+NB＝40+16＝56（米）， ∴汽车从A到B的平均速度为56÷5＝11.2（米/秒）， ∵11.2米/秒＝40.32千米/时＜60千米/时， ∴此车没有超速． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确求出AN与BN的长是解本题的关键． 3．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． （1）求小汽车6秒走的路程； （2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ 【分析】（1）过点A作AD⊥BC，可得AD＝50米，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，则有AE＝130米，利用勾股定理可求得DE的长，即小汽车6秒所走的路程； （2）利用速度＝路程÷时间，即可判断． 【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，如图所示： 由题意可得：AD＝50米，AE＝130米， 在Rt△ADE中， DE ＝120（米）， 答：小汽车6秒走的路程为120米； （2）小汽车6秒中的平均速度为：120÷6＝20（米/秒）＝72（千米/小时）， ∵72＞70， ∴小汽车超速了． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形． 4．（2023春•路北区期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m． （1）求BC的长． （2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 【分析】（1）由勾股定理求出BC的长即可； （2）求出这辆小汽车的速度，即可解决问题． 【解答】解：（1）根据题意得：∠ACB＝90°，AC＝30m，AB＝50m， ∴BC40（m）， 答：BC的长为40m； （2）这辆小汽车超速了，理由如下： ∵该小汽车的速度为40÷2＝20（m/s）＝72（km/h）＞70km/h， ∴这辆小汽车超速了． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出BC的长是解题的关键． 5．（2023春•济南期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米． （1）现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？ （2）为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一B辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16.7m/s），请判断该车是否超速，并说明理由． 【分析】（1）根据垂线段最短解决问题； （2）求出BE的长以及速度，可得结论． 【解答】解：（1）过点A作 AD⊥l，交l于点D． ∵AB＝AC，AD⊥l，BC＝120°， ∴°， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ABD 中，∠ADB＝90°， 由勾股定理得 AD2+BD2＝AB2， ∵AB＝100，BD＝60， ∴AD＝80， ∴新路AD长度是80米． （2）该车超速． 理由：在Rt△ADE 中，∠ADE＝90°， 由勾股定理得 AD2+DE2＝AE2， ∵AE＝170，AD＝80， ∴DE＝150， ∴BE＝DE﹣DB＝90， ∵该车经过BE区间用时5s， ∴该车的速度为 ， ∵18m/s＞16.7m/s． ∴该车超速． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型九 应用勾股定理解决折叠问题 1．（2023春•南召县期末）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为（　　） A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm 【分析】根据折叠的性质可得∠BAC＝∠EAC，结合矩形的性质可推出∠EAC＝∠ACD，则AO＝CO＝5cm，根据勾股定理得OD（cm），再由AB＝CD＝CO+OD即可解答． 【解答】解：根据折叠的性质可知∠BAC＝∠EAC， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠EAC＝∠ACD， ∴AO＝CO＝5cm， 在直角三角形ADO中，AD＝4cm， OD（cm）， ∴AB＝CD＝CO+OD＝3+5＝8（cm）． 故选：B． 【点评】本题主要考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 2．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．无法确定 【分析】设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根据折叠的性质得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD中根据勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可． 【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm， ∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE， ∴AD＝BD＝8﹣x， 在△ACD中，∠C＝90°， ∴AD2＝AC2+CD2， ∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x， 即CD的长为cm． 故选：C． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理． 3．（2023春•南召县期末）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为（　　） A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm 【分析】根据折叠的性质可得∠BAC＝∠EAC，结合矩形的性质可推出∠EAC＝∠ACD，则AO＝CO＝5cm，根据勾股定理得OD（cm），再由AB＝CD＝CO+OD即可解答． 【解答】解：根据折叠的性质可知∠BAC＝∠EAC， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠EAC＝∠ACD， ∴AO＝CO＝5cm， 在直角三角形ADO中，AD＝4cm， OD（cm）， ∴AB＝CD＝CO+OD＝3+5＝8（cm）． 故选：B． 【点评】本题主要考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 4．（2023春•大竹县校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6．点E是边BC上一点，沿AE翻折△ABE，点B恰好落在CD边上点F处，则CE的长是（　　） A． B． C． D．3 【分析】根据折叠性质可得AF，再根据勾股定理可得DF，由矩形性质可得CF，设CE为x，由折叠性质可得EF＝BE＝6﹣x，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝10，BC＝6， ∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝6，∠D＝90°， ∵沿AE翻折△ABE， ∴AF＝AB＝10，EF＝BE， 在Rt△ADF中，由勾股定理可得： DF8， ∴CF＝CD﹣DF＝10﹣8＝2， 设CE＝x，则 EF＝BE＝6﹣x， 在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2， 即22+x2＝（6﹣x）2， 解得：x， ∴CE的长为， 故选：B． 【点评】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是由折叠性质得出CF，再利用勾股定理求解． 5．（2023春•沙河口区期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8，则DE的值为（　　） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【分析】连接BE，由折叠可知，DE＝BE，CD＝BG＝4，CF＝GF，∠DEF＝∠BEF，∠D＝∠G＝90°，由AD∥BC可得∠DEF＝∠BFE，进而得到∠BFE＝∠BEF，则BE＝BF＝DE，设CF＝GF＝x，则BF＝8﹣x，Rt△BFG中，利用勾定理建立方程，求解即可． 【解答】解：如图，连接BE， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝8， ∴AB＝CD＝4，∠D＝90°，AD∥BC， 由折叠可知，DE＝BE，CD＝BG＝4，CF＝GF，∠DEF＝∠BEF，∠D＝∠G＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， ∴∠BFE＝∠BEF， ∴BE＝BF＝DE， 设CF＝GF＝x，则BF＝BC﹣CF＝8﹣x， 在Rt△BFG中，GF2+BG2＝BF2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴DE＝BF＝8﹣x＝5． 故选：D． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．再解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 6．（2023春•雁塔区校级期末）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．若AB＝6，AD＝8，那么点E到BD的距离为（　　） ​ A． B． C． D． 【分析】由勾股定理可求得BD＝10，由折叠可知∠CBD＝∠C′BD，由平行线的性质可得∠EDB＝∠CBD，进而得到∠EDB＝∠EBD，BE＝DE，设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程求得x，则AE，DE，过点E作EF⊥BD于点F，由等腰三角形三线合一性质得DF5，在Rt△DEF中，利用勾股定理求出EF的长即可； 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， 在Rt△ABD中，10， ∵将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处， ∴∠CBD＝∠C′BD， ∵AD∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠C′BD，即∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝DE， 设AE＝x，则BE＝DE＝AD﹣AE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，AE2+AB2＝BE2， ∴x2+62＝（8﹣x）2， 解得：x， ∴AE，DE， 如图，过点E作EF⊥BD于点F， ∵BE＝DE， ∴DF， 在Rt△DEF中，， ∴点E到BD的距离为． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 题型十 应用勾股定理解决最短路径问题 1．（2023春•肇源县月考）如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是　 　cm． 【分析】根据勾股定理求出AC即可． 【解答】解：∵CD＝9cm，AD＝（3+9）cm， ∴AC15cm， 故答案为：15． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 2．（2024春•离石区月考）如图，一个无顶盖的长方体盒子紧贴地面（接触面为ABCD），一只蚂蚁由点A出发，在盒子表面上爬到点G处觅食，若AB＝7，BC＝5，CG＝5，则这只蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A．13 B．12 C．7 D． 【分析】将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【解答】解：①如图，这只蚂蚁爬行的最短路程为， ②如图所示， ∵一个无盖的长方体盒子， 路径为AF+FG5≈13.4， 或AB+BG＝77+514， ∴这只蚂蚁爬行的最短距离是13． 故选：A． 【点评】此题考查平面展开﹣最短路径问题，解题关键在于掌握路径最短问题． 3．（2024春•乐陵市校级月考）如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为6cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（　　）cm． A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理进行求解即可．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：底面周长为20cm，半圆弧长为0cm， 画展开图形如下： 由题意得：BC＝10cm，AB＝6cm， 根据勾股定理得：（cm）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度． 4．（2023秋•李沧区期末）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘AB＝CD＝16，点E在CD上，CE＝4．一名滑雪爱好者从A点滑到E点时，他滑行的最短路程约为 　 （π取3）． 【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【解答】解：如图是其侧面展开图：AD＝3×3＝9，AB＝CD＝16．DE＝CD﹣CE＝16﹣4＝12， 在Rt△ADE中，AE15． 故他滑行的最短距离约为15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为3的半圆的弧长，矩形的长等于AB＝CD＝16本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 5．（2024•罗江区模拟）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 　 　cm． 【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，根据两点之间，线段最短可知A′B的长度即为所求；接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出A′B的长了． 【解答】解：如图： ∵高为18cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒， 此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm的点B处， ∴底部7厘米，所以AE＝11cm，BD＝11+1＝12厘米， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B6（cm）． 故答案为：6． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 6．（2023春•广安区校级期中）（1）如图1，长方体的长为4cm、宽为3cm，高为12cm，现有一只蚂蚁从点A处沿长体表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （2）如图2，将题中长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【分析】（1）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （2）将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解答】解：（1）分三种情况： 把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是AG（cm）； 把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是AG（cm）； 把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是AG（cm）； ， 所以蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是cm； （2）如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离． ∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+3＝12（cm）， A′B13（cm）． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上册数学《第一章 勾股定理》 1.3 勾股定理的应用 知识点 勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ◆勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 题型一 应用勾股定理解决梯子滑落问题 1．（2024春•滨城区校级月考）如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子底端将向外滑动（　　） A．7m B．8m C．9m D．15m 2．（2023春•确山县期末）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5m，这时梯子的底端也恰好外移0.5m，则梯子的长度AB为（　　）m． A．2.5 B．3 C．1.5 D．3.5 3．（2024春•香坊区校级期中）如图，一根长10米的木棒AB，斜靠在与地面垂直的墙上，木棒B端距离墙6米，当木棒A端沿墙下滑至点A'时，B端沿地面向右滑行至点B'，若AA'＝2，则BB'的长为（　　）米． A．1 B． C．3 D．2 4．（2024春•庆云县月考）如图，25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为7米，若梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯足将向左移（　　） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 5．（2024春•湖北期中）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（　　） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 题型二 应用勾股定理解决旗杆高度问题 1．（2023春•同心县校级期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面6米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部8米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？ 2．（2024春•道里区校级月考）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆AB的底端B处，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到点D处，发现此时点D到旗杆AB水平距离为8m，点D到地面的距离CD为2m，则旗杆AB的高度为（　　） A．23m B．17m C．15m D．10m 3．（2023春•济南期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为 　　米． 4．（2023春•罗庄区期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 5．（2023秋•邓州市期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知BC＝　 　米，用含有x的式子表示AC为 　 　米； （2）请你求出旗杆的高度． 题型三 应用勾股定理解决风吹树折问题 1．（2023春•澄迈县期末）如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（　　） A．7米 B．8米 C．9米 D．12米 2．（2024春•庐阳区校级期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前的高度是（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．16米 3．（2024春•四平期末）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是（　　） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 4．（2023秋•运城期末）我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原本高12尺，从某处折断，竹梢触地处离竹根3尺，试问折断处距离地（　　） A．4.5 B．5.625 C．4 D．6.375 5．（2023春•潘集区期末）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 6．（2024•朝阳区校级模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　 　尺． 题型四 应用勾股定理解决水杯子中的筷子问题 1．（2024春•丹徒区期中）如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是 　 cm． 2．（2024春•汝南县期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 3．（2024春•乐陵市校级月考）如图将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（　　） A．9＜h＜10 B．9≤h≤10 C．5≤h≤13 D．5＜h＜13 4．（2024春•昌乐县期中）如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度l的取值范围是（　　） A．9cm≤l≤12cm B．5cm≤l≤8cm C．5cm＜l＜9cm D．12cm≤l≤20cm 5．（2023春•通榆县期中）如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（　　） A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm 6．（2024春•潍城区期中）如图，将一根20厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为h厘米，则h的取值范围是（　　） A．h≤14 B．9≤h≤10 C．9≤h≤12 D．10≤h≤12 题型五 应用勾股定理解决台阶地毯问题 1．（2024春•安次区期中）如图，在高为6m，坡面长为10m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．12m B．13m C．14m D．15m 2．（2024春•武威期中）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（　　） A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm 3．（2023春•郧阳区期末）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．17m B．18m C．25m D．26m 4．（2023秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　 　元． 题型六 应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题 1．（2024春•中山市校级期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2024春•太和县月考）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高10m的树顶飞到一棵高5m的树顶上，两棵树相距12m，则喜鹊至少要飞（　　） A．5m B．12m C．13m D．17m 3．（2023春•潼关县期末）如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞　 　米． 4．（2023春•海淀区校级期中）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB． 题型七 应用勾股定理解决是否受台风影响问题 1．（2024春•恩施市期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为 　 s． 2．（2023春•富县期末）如图，点A处的居民楼与马路BC相距30米，当居民楼与马路上行驶的汽车的距离在50米内时就会受到噪音污染．如果汽车以每秒20米的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来多长时间的噪音污染？ 3．（2023秋•北碚区期末）如图，某海港A的正东方向80海里处有一海岛B，气象站发现在海岛B的正南方向60海里的C处有一台风中心，测得它正以20海里/小时的速度沿CA方向向海港A运动，以台风中心为圆心，周围52海里以内为受影响区域． （1）通过计算说明海岛B会受台风影响吗？ （2）求出台风中心同时影响海港A和海岛B的时长． 4．（2024春•武昌区期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km． （1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由； （2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？ 5．（2023秋•渝北区期末）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为km，A，B两岛的距离为68km． （1）求出B，C两岛的距离； （2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 题型八 应用勾股定理解决是否超速问题 1．（2023秋•浑南区月考）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由． 2．根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速为60km/h，如图，一观测点M到公路l的距离MN为30m，现测得一辆汽车从点A到点B所用时间为5s，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50m，34m，请通过计算判断此车是否超速． 3．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． （1）求小汽车6秒走的路程； （2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ 4．（2023春•路北区期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m． （1）求BC的长． （2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 5．（2023春•济南期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米． （1）现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？ （2）为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一B辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16.7m/s），请判断该车是否超速，并说明理由． 题型九 应用勾股定理解决折叠问题 1．（2023春•南召县期末）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为（　　） A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm 2．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．无法确定 3．（2023春•南召县期末）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为（　　） A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm 4．（2023春•大竹县校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6．点E是边BC上一点，沿AE翻折△ABE，点B恰好落在CD边上点F处，则CE的长是（　　） A． B． C． D．3 5．（2023春•沙河口区期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8，则DE的值为（　　） A．2.4 B．3 C．4 D．5 6．（2023春•雁塔区校级期末）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．若AB＝6，AD＝8，那么点E到BD的距离为（　　） ​ A． B． C． D． 题型十 应用勾股定理解决最短路径问题 1．（2023春•肇源县月考）如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是　 　cm． 2．（2024春•离石区月考）如图，一个无顶盖的长方体盒子紧贴地面（接触面为ABCD），一只蚂蚁由点A出发，在盒子表面上爬到点G处觅食，若AB＝7，BC＝5，CG＝5，则这只蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A．13 B．12 C．7 D． 3．（2024春•乐陵市校级月考）如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为6cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（　　）cm． A． B． C． D． 4．（2023秋•李沧区期末）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘AB＝CD＝16，点E在CD上，CE＝4．一名滑雪爱好者从A点滑到E点时，他滑行的最短路程约为 　 （π取3）． 5．（2024•罗江区模拟）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 　 　cm． 6．（2023春•广安区校级期中）（1）如图1，长方体的长为4cm、宽为3cm，高为12cm，现有一只蚂蚁从点A处沿长体表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （2）如图2，将题中长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$