专题07 一元二次方程根与系数之间关系的四种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题07 一元二次方程根与系数之间关系的五种考法 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、利用降幂化简求值】 1 【考法二、构造方程化简求值】 2 【考法三、求参数】 3 【考法四、综合应用】 3 【考法五、新定义问题】 4 【课后训练】 6 【知识点归纳】 1.根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， x1+x2，x1x2． 2.提示：根与系数的关系建立在有根的前提，因此检验根是关键 【考法一、利用降幂化简求值】 例1．设，是一元二次方程的两个根，则 . 例2．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 变式1．设是方程的两个实数根，则 ． 变式2．已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1＝0的根，求代数式a2﹣2015a﹣的值为 ． 变式3．（2024·成都中考）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【考法二、构造方程化简求值】 例1．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．23 B．15 C．10 D．5 例2．（培优）若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式1．已知实数，满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2．已知实数且分别满足方程和方程，则代数式的值为 ． 变式3．若，则代数式的值是 ． 【考法三、求参数】 例．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 变式1．已知关于的方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 变式2．关于的方程的两实根异号，则k满足的条件是（    ） A． B． C． D． 变式3．设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值 ． 【考法四、综合应用】 例．对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 变式1．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 变式2．关于一元二次方程，有以下命题： ①若，则； ②若该方程的两根为和1，则； ③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根． 其中真命题是 ．（只需填写序号） 【考法五、新定义问题】 例．（2024·成都二诊）在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，；设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，，则 ；若，则 ． 变式1．定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 变式2．若关于x的一元二次方程（ax﹣b）（cx﹣d）＝0（ac≠0且a≠﹣1，c≠﹣1）的解x1＝＝a﹣b，x2＝＝c﹣d，则称该方程为二次“差解方程”．例如：（x﹣）（﹣3x+）＝0的解x1＝，x2＝，且＝1﹣，=﹣3﹣（﹣），所以该方程（x﹣）（﹣3x+）＝0是二次“差解方程”． 根据上述材料，解决下列问题： （1）判断方程（2x﹣）（﹣4x﹣）＝0是否是二次“差解方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程（3x﹣mn﹣m）（﹣2x﹣mn＋n）＝0是二次“差解方程”，求关于y的一元二次方程m（y﹣1）＋n（y﹣m）＝的解． 变式3．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程　 　（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”； (3)若是“倍根方程”，求代数式 的值 【课后训练】 1．设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（　　） A．1， B．1，3 C．， D．，3 2．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值是（    ） A． B． C． D．或 3．若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 4．已知a、b为实数，且满足，，则 ． 5．已知实数，满足，，则 ． 6．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 7．定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 8．关于x的一元二次方程M：，且． (1)请直接写出方程M：的一个根． (2)方程N：． ①若方程M的另一个根为，求方程N的两根． ②若方程M，N的根相同，求证． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元二次方程根与系数之间关系的五种考法 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、利用降幂化简求值】 1 【考法二、构造方程化简求值】 3 【考法三、求参数】 6 【考法四、综合应用】 9 【考法五、新定义问题】 12 【课后训练】 17 【知识点归纳】 1.根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， x1+x2，x1x2． 2.提示：根与系数的关系建立在有根的前提，因此检验根是关键 【考法一、利用降幂化简求值】 例1．设，是一元二次方程的两个根，则 . 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 例2．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，解题的关键是掌握，．把代入原方程得 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，整理，即可求解． 【详解】解：把代入原方程得：， ∴， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 故答案为：4049． 变式1．设是方程的两个实数根，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系：先把代入整理得出，结合，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 则 ∴ 故答案为：4 变式2．已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1＝0的根，求代数式a2﹣2015a﹣的值为 ． 【答案】 【分析】利用方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：是方程的根，，， 原式．故答案是：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 变式3．（2024·成都中考）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，则 ∴ 故答案为：7 【考法二、构造方程化简求值】 例1．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．23 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键．将，进行变形可知，为方程的两个不相等实根，然后利用根与系数的关系得到，的值,利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值． 【详解】解： ，是不为0的实数， 由 ，，得，， 又， ，为一元二次方程的两个不相等实根， ，， ，故选：A． 例2．（培优）若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是． 【详解】解：根据，方程除以得， 故是方程的两个根， 根据根与系数关系定理，得， 故是． 故选：A． 变式1．已知实数，满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，将变形为据此可知，为方程 的两个实数根，根据根与系数的关系得到，，整理得，，代入所求代数式化简即可，熟练掌握根与系数的关系及分式的化简是解题的关键． 【详解】解：，易得，方程两侧同除得： ， 又∵，且， ∴，为方程 的两个实数根， ∴，，整理得，， ∴， 故选：． 变式2．已知实数且分别满足方程和方程，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的有关系，构造以a和为根的一元二次方程是解题的关键． 先将方程转化为，即可得出a和为一元二次方程的两根，再用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意得，将方程两边同时除以得， ∵，∴， ∴a和为一元二次方程的两根，∴，， ∴． 变式3．若，则代数式的值是 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及分类讨论思想．分和两种情况讨论，当时，把a、b看成即的两个实数根，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】当时，； 当时，把a、b看成即的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：2或． 【考法三、求参数】 例．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 变式1．已知关于的方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得出，列出不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入，列出方程求解即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；以及一元二次方程根与系数关系：． 【详解】（1）关于的方程有两个不相等实数根，， ， ； （2），，， ， ， ，解得：或或， ，． 变式2．关于的方程的两实根异号，则k满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根的判别式，设方程的两根为，，根据题意得，，根据二次根式有意义的条件得进行计算即可得；解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，根的判别式． 【详解】解：设方程的两根为，， ∵方程的两实根异号， ∴， 解得，， ∵方程的两实根， ∴， ， 解得，， ∵ ∴， 综上，， 故选：D． 变式3．设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握．根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解，再根据判别式选取符合要求的值即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的两个实数根，， ， ， ，，或， 当时，方程，， 此时，方程无解，不符合题意，舍去， 当时，方程，， 此时，方程有两个不相等的实数根，符合题意， ，故答案为：． 【考法四、综合应用】 例．对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C 变式1．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质．按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 是方程的解，①的说法正确； ②若方程无实根，则，∴， 对于方程，， 则方程无实根；②的说法不正确． ③若方程两根为，且满足， ，， ，， 即可得出方程，必有实根，，③的说法正确； ④由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，那么④不一定正确； ⑤若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ， ⑤的说法正确； 综上，①③⑤的说法正确； 故选：D． 变式2．关于一元二次方程，有以下命题： ①若，则； ②若该方程的两根为和1，则； ③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根． 其中真命题是 ．（只需填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，根据题意得，则，故①是真命题；根据题意得，则②是真命题；由题意得，则方程的判别式：，由于a的符号不确定，故③是假命题；由题意得，且，则，有，可得是的一个根，故④是真命题． 【详解】解：若，则， ∴，故①是真命题； 若该方程的两根为和1，则， ∴， ∴，故②是真命题； 若有两个相等的实数根，则， ∴的判别式：， ∵a的符号不确定， ∴方程根的情况不确定，故③是假命题； 若r是该方程的一个根，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的一个根，故④是真命题； 故答案为：①②④． 【考法五、新定义问题】 例．（2024·成都二诊）在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，；设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，，则 ；若，则 ． 【答案】 14 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系得应用，方程改写为， 则可求得，根据根于系数的关系求出方程的根，进而可求解， 解题的关键是理解方程根与系数的关系． 【详解】解：关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，， 方程可以写成， 即：， ， ， ， ， 即：， 即：， ， 或或， ，，， ， 故答案为：；14． 变式1．定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【答案】(1)①② (2)或， (3) 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解． 本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①， 即， 解得：， ， 是差积方程； ②， 即， 解得， ， 是差积方程； ③， 即， 解得：，，故③不是差积方程； 故答案为：①②； （2）解：， 即， 解得：，， 是差积方程， ， 即或． 解得：或， （3）解：， 解得：， ， 是差积方程， ， 即， 即． 变式2．若关于x的一元二次方程（ax﹣b）（cx﹣d）＝0（ac≠0且a≠﹣1，c≠﹣1）的解x1＝＝a﹣b，x2＝＝c﹣d，则称该方程为二次“差解方程”．例如：（x﹣）（﹣3x+）＝0的解x1＝，x2＝，且＝1﹣，=﹣3﹣（﹣），所以该方程（x﹣）（﹣3x+）＝0是二次“差解方程”． 根据上述材料，解决下列问题： （1）判断方程（2x﹣）（﹣4x﹣）＝0是否是二次“差解方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程（3x﹣mn﹣m）（﹣2x﹣mn＋n）＝0是二次“差解方程”，求关于y的一元二次方程m（y﹣1）＋n（y﹣m）＝的解． 【答案】（1）不是，理由见详解；（2）． 【分析】（1）根据题中所给的新定义进行判定即可； （2）先计算出方程（3x﹣mn﹣m）（﹣2x﹣mn＋n）＝0的解，再根据新定义得出，整理所求的方程以后进行整体代入即可． 【详解】解：（1）由题意可得，方程（2x﹣）（﹣4x﹣）＝0的解为： ， ∵，， ∴该方程不是“差解方程”． （2）由题意可得，方程（3x﹣mn﹣m）（﹣2x﹣mn＋n）＝0的解为： ∵该方程是“差解方程”， ∴， 整理得：， ∵关于y的一元二次方程m（y﹣1）＋n（y﹣m）＝，整理可得： ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了根据新定义对一元二次方程进行求解，关键在于新定义的运用． 变式3．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程　 　（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”； (3)若是“倍根方程”，求代数式 的值． 【答案】(1)不是 (2)见解析 (3)代数式的值为或1 【分析】（1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论； （2）根据题意将方程化为方程，解方程求得方程的根，根据倍根方程的定义即可求出答案； （3）根据定义可求出或，代入原式后即可求出答案； 【详解】（1）解：， ， 解得，， 故一元二次方程 不是“倍根方程”． 故答案为：不是； （2）∵点在双曲线上， ∴，且 ∴方程化为方程， 则，即：， 解得，， ∴方程是“倍根方程”． （3）由是“倍根方程”， 且该方程的两根分别为和， ∴或， 当时，即时， 原式， 当时，即时， 原式． 故代数式的值为或1． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义，本题属于中等题型． 【课后训练】 1．设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（　　） A．1， B．1，3 C．， D．，3 【答案】C 【分析】考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据根与系数的关系，可得，，整理可得关于p，q的二元一次方程组，解方程组即可； 【详解】解：是关于x的方程的两根， ， 是关于x的方程的两根， ，，即， 将代入整理得， ，解得， 故选：． 2．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由可知，然后根据根与系数的关系代入计算即可；熟知一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式是关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ，， ， 经检验时，，符合题意； 故的值为，故选：C． 3．若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法，得到的两个根为，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：， ∴关于y的方程的两根为， ∴； 故选A． 4．已知a、b为实数，且满足，，则 ． 【答案】13 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，注意：解答此题需要分类讨论．根据已知条件推知、是方程，即的两个根，然后通过解方程求得①，；②，；最后将所求的代数式转化为完全平方和的形式，并将①②分别代入求值． 【详解】解：、为实数，且满足，， ，， 、是方程，即的两个根， 或； ①当，时，，即； ②当，时，，即，不合题意； 综上所述，； 故答案为：13． 5．已知实数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键． 由题意知，，，则是的两个根，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴是的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 6．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解的意义，一元二次方程根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入化简即可解答． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ，即， ∴． 故答案为： 7．定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，；根据新定义列出方程即可求解． 【详解】（1）方程是“差积方程”， 证明：， 即， 解得，， ， 是差积方程； （2）解：， 解得方程的解为：，， 是差积方程， ， 即：或． 解得：或， （3）解： ， 解得，， 是差积方程， ， 即， 即． 8．关于x的一元二次方程M：，且． (1)请直接写出方程M：的一个根． (2)方程N：． ①若方程M的另一个根为，求方程N的两根． ②若方程M，N的根相同，求证． 【答案】(1)；(2)①，；②见解析 【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程根与系数关系，掌握使一元二次方程成立的未知数值叫一元二次方程的解和一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）把代入方程，得，即可得出结论； （2）①由题意可得方程M的根为：或；将方程的两边同除以，得，则，对比方程M，可得或1，即可求解； ②设两方程两根为, ,对于方程M，则，对于方程N，则，所以，则，代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入方程，得， ∴是方程M：的一个根； （2）解：①由（1）知是方程M的一根， ∵方程M的另一个根为， ∴方程M的根为：或； 方程的两边同除以，得， ∴， ∴或， ∴，； ②∵方程M，N的根相同，设两方程两根为, , ∴对于方程M，则，对于方程N，则， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$