1.4.2.2 用空间向量研究夹角问题(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第二课时　用空间向量研究夹角问题 （见学生用书P32） [学习目标]1.能用向量方法解决简单的夹角问题，提升数学运算的核心素养（重难点）.2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，培养逻辑推理和直观想象的核心素养. 要点　空间角的向量求法 空间角 向量求法 空间角的范围 异面直线 所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝｜cos＜u，v＞｜＝　　＝　　 直线与 平面所 成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝｜cos＜u，n＞｜＝　　＝　　 两个平面 的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1，n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的　夹角　或　其补角　.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝　　＝　　 思考：为什么求空间角的公式中都带有绝对值？ 提示：因为异面直线所成的角的范围是，直线与平面所成的角的范围是，平面与平面的夹角的范围是，而两个向量的夹角的范围是[0，π]，因此计算时要加绝对值. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.（　　） （2）直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角.（　　） （3）平面与平面的夹角的取值范围与二面角的取值范围相同.（　　） （4）两个平面的夹角就是该二面角两个面的法向量的夹角.（　　） 解析　（1）错误.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补. （2）错误.直线与平面所成的角和直线的方向向量与该平面法向量的夹角互余或与其补角互余. （3）错误.平面与平面的夹角的取值范围是，二面角的取值范围是[0，π]. （4）错误.两个平面的夹角与该二面角两个面的法向量的夹角相等或互补. 答案　（1）×　（2）×　（3）×　（4）× 探究一　异面直线所成的角 解题技巧 （1）利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量u，v；③代入公式cos θ＝求解. （2）两异面直线所成角θ的范围是，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 【例题1】如图所示，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，异面直线AC与VD所成角的余弦值为　　　　. 解析　因为AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0）. 在Rt△VCD中，CD＝，当θ＝时，VC＝， 所以V（0，0，），所以＝（－2，0，0），＝（1，1，－）， 所以cos＜，＞＝＝＝－. 所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为. 答案　 【变式1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为（　　） A.15° B.30° C.45° D.60° 答案　B 解析　以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则可得D（0，0，0），E（1，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），所以＝（1，1，2），＝（－2，0，－2），所以cos＜，＞＝＝＝－，所以异面直线DE和B1C所成角的余弦值为.所以异面直线DE和B1C所成角的大小为30°.故选B项. 探究二　求直线与平面所成的角 答题模板 用向量法求直线与平面所成角的基本步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）求直线的方向向量； （3）求平面的一个法向量n； （4）计算：设线面角为θ，则sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝，由0°≤θ≤90°，求θ. 【例题2】已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求A1B与平面A1B1CD所成的角. 解析　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A1（1，0，1），C（0，1，0），所以＝（1，0，1），＝（0，1，0）. 设平面A1B1CD的法向量为n＝（x，y，z）， 则所以 令z＝－1，得x＝1，所以n＝（1，0，－1）. 又因为B（1，1，0），所以＝（0，1，－1）， 所以cos＜n，＞＝＝＝， 所以＜n，＞＝60°.所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°. 【变式2】 正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，a），C1（－a，，a）， 所以＝（－a，，a）. 因为平面ABB1A1的一个法向量n＝（1，0，0）， 所以cos＜，n＞＝＝＝－， 所以＜，n＞＝120°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角是30°. 探究三　两平面的夹角 规律总结 两个平面夹角的向量求法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角（或其补角）就是两个平面的夹角，用坐标法的解题步骤如下： （1）建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系； （2）求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2； （3）计算：cos θ＝. 【例题3】已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD.设PA＝AB＝a，BC＝2a，求平面BPC和平面PCD的夹角的余弦值. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B（a，0，0），C（a，2a，0），P（0，0，a），D（0，2a，0），所以＝（0，2a，0），＝（－a，0，a），＝（－a，0，0），＝（0，2a，－a）. 设平面PBC、平面PCD的法向量分别为n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）， 则有和 即和 令x1＝1，可得平面PBC的一个法向量n1＝（1，0，1）， 令y2＝1，可得平面PCD的一个法向量n2＝（0，1，2）， 所以cos＜n1，n2＞＝＝. 所以平面BPC和平面PCD的夹角的余弦值为. 【变式3】如图所示，已知四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SAB与平面SCD的夹角的余弦值. 　　　 题图　　　　　　　　　答图 解析　如图所示，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），S（0，0，1），C（1，1，0），D， 所以＝，＝（1，1，－1）. 设平面SCD的法向量为n＝（x，y，z）， 则所以 所以 令z＝1，得n＝（2，－1，1）. 因为＝是平面SAB的一个法向量，所以cos＜，n＞＝＝. 所以平面SAB与平面SCD的夹角的余弦值为. 1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角为（　　） A. B. C. D.以上均错误 答案　B 解析　因为直线l与平面α所成的角的范围是，且直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，所以直线l与平面α所成的角为－＝.故选B项. 2.已知平面α与平面β的法向量分别为a，b，若cos＜a，b＞＝，则平面α和平面β的夹角的大小为（　　） A. B. C.或 D.或 答案　A 解析　因为cos＜a，b＞＝，且平面α和平面β的夹角的范围是，所以平面α和平面β的夹角的大小为.故选A项. 3.若平面α的一个法向量为n＝（4，1，1），直线l的一个方向向量为a＝（－2，－3，3），则l与α所成角的正弦值为（　　） A. B.－ C. D.－ 答案　A 解析　cos＜n，a＞＝＝＝，故所求正弦值为.故选A项. 4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为　　　　. 解析　如图，建立空间直角坐标系.由已知得A1（4，0，0），B（4，4，3），B1（4，4，0），C（0，4，3），所以＝（0，4，3），＝（－4，0，3），所以cos＜，＞＝＝.故异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$