1.4.2.1 用空间向量研究距离问题(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时　用空间向量研究距离问题 （见学生用书P29） [学习目标]1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，培养逻辑推理和直观想象的核心素养（重难点）.2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用，提升数学运算的核心素养. 要点一　点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量＝a，则向量在直线l上的投影向量＝（a·u）u，则点P到直线l的距离PQ＝　　. 要点二　点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此 PQ＝　　＝　　＝　　. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）直线外一点到直线的距离就是该点到直线上任意一点的距离.（　　） （2）直线和平面平行时，直线上任意一点到平面的距离就是直线到平面的距离.（　　） （3）两个平面平行时，一个平面上任意一点到另外一个平面的距离都相等.（　　） （4）任意一条直线与任意一个平面都有距离.（　　） 解析　（1）错误.直线外一点到直线的距离是过该点作已知直线的垂线段的长度. （2）正确.直线和平面平行时，直线上所有的点到平面的距离都是相等的，所以直线上任意一点到平面的距离就是直线到平面的距离. （3）正确.根据面面平行的概念可知正确. （4）错误.当直线与平面相交时，直线与平面的距离无法求出. 答案　（1）×　（2）√　（3）√　（4）× 探究一　点到直线的距离 答题模板 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）求直线的方向向量； （3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影； （4）利用勾股定理求点到直线的距离. 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 【例题1】在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离. 解析　方法一　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示. 则A（2，0，0），E（0，2，1），F（1，0，2），＝（1，－2，1）. 设点M满足＝λ且AM⊥EF， 令M（x，y，z）， 所以（x－1，y，z－2）＝λ（1，－2，1）， 所以x＝λ＋1，y＝－2λ，z＝λ＋2， 所以M（λ＋1，－2λ，λ＋2）， 所以＝（λ－1，－2λ，λ＋2）， 因为AM⊥EF，所以·＝λ－1＋4λ＋λ＋2＝0，解得λ＝－，所以＝， 所以｜｜＝＝， 所以点A到直线EF的距离为. 方法二　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示. 则A（2，0，0），E（0，2，1），F（1，0，2）， 所以＝（1，－2，1），＝（1，0，－2）. 所以｜｜＝＝，·＝1×1＋0×（－2）＋（－2）×1＝－1， 所以在上的投影长度为＝.所以点A到直线EF的距离d＝＝＝. 【变式1】已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为2，求点B到直线A1C1的距离. 解析　以B为坐标原点，分别以BA，BB1所在直线为x轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（0，0，0），A1（2，0，2），C1（1，，2），所以A1C1的方向向量＝（－1，，0），＝（1，，2），所以可得点B到直线A1C1的距离d＝ ＝＝＝. 探究二　点到平面的距离 答题模板 用向量法求点到平面的距离的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）求出该平面的一个法向量； （3）找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量； （4）法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离. 【例题2】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离. 解析　以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示， 所以D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，2），E（0，1，1），故＝（1，1，0），＝（0，1，1）.设平面BDE的法向量为n＝（x，y，z），则n⊥，n⊥. 故有所以 取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝（1，－1，1）. 又＝（0，0，2），所以·n＝2，｜n｜＝， 所以点D1到平面BDE的距离d＝＝＝，即点D1到平面BDE的距离为. 【变式2】如图所示的多面体是由底面为长方形ABCD的长方体被平面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1. （1）求BF的长； （2）求点C到平面AEC1F的距离. 　　　 题图　　　　　　　　答图 解析　（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z），由题意得四边形AEC1F为平行四边形，所以＝，所以（－2，0，z）＝（－2，0，2）， 所以z＝2，所以F（0，0，2），所以＝（－2，－4，2）， 于是＝2，即BF的长为2. （2）设n＝（x，y，z）为平面AEC1F的法向量，由（1）可知＝（0，4，1），＝（－2，0，2）， 则⇒ 令x＝1，则z＝1，y＝－， 所以n＝. 又＝（0，0，3），所以点C到平面AEC1F的距离d＝＝＝. 探究三　线面距和面面距 规律总结 （1）求平行于平面的直线到平面的距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可. （2）求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可. 【例题3】在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CC1的中点. （1）求证：DA∥平面A1EFD1； （2）求直线AD到平面A1EFD1的距离. 解析　（1）证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则D（0，0，0），A（a，0，0），D1（0，0，a），A1（a，0，a），所以＝（a，0，0），＝（a，0，0），所以DA∥D1A1. 又D1A1⊂平面A1EFD1，DA⊄平面A1EFD1，所以DA∥平面A1EFD1. （2）由（1）得D1（0，0，a），F（0，a，）， 所以＝，＝. 设n＝（x，y，z）是平面A1EFD1的法向量， 则所以 取z＝1，得y＝，则n＝， 所以在n上的投影向量的长度即为点D到平面A1EFD1的距离d＝＝＝a. 又DA∥平面A1EFD1，所以直线AD到平面A1EFD1的距离是a. 【变式3】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离. 解析　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则可得D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，1），所以＝（0，1，－1），＝（－1，0，－1），＝（－1，0，0）.设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z），则即令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝（－1，1，1）.所以点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.由题意可得A1B∥D1C，A1D∥B1C，且A1B∩A1D＝A1，D1C∩B1C＝C，所以平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为. 1.已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（　　） A. B.1 C. D.2 答案　A 解析　因为A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），所以＝（1，0，0），＝（－1，2，－2），所以点A到直线BC的距离为d＝＝ ＝.故选A项. 2.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是（　　） A. B. C. D. 答案　D 解析　分别以PA，PB，PC所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），所以＝（－1，1，0），＝（－1，0，1），＝（1，0，0）， 设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），则即令x＝1，则y＝z＝1，所以可取n＝（1，1，1），则点P到平面ABC的距离d＝＝.故选D项. 3.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为（　　） A.1 B. C. D. 答案　C 解析　以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则点E（1，1，），F（2，1，），所以｜｜2＝（2－1）2＋（1－1）2＋（－）2＝，所以｜EF｜＝.故选C项. 4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则直线BD到平面EFD1B1的距离为（　　） A. B. C. D. 答案　D 解析　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则B（1，1，0），E（，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），所以＝（，0，0），＝（－1，－1，0），＝（－，0，－1）. 设平面EFD1B1的法向量为n＝（x，y，z），则令z＝1，则n＝（－2，2，1），因为BD∥B1D1，BD⊄平面EFD1B1，B1D1⊂平面EFD1B1，所以BD∥平面EFD1B1，所以直线BD到平面EFD1B1的距离即为点B到平面EFD1B1的距离，所以直线BD到平面EFD1B1的距离为d＝｜｜＝｜｜＝.故选D项. 学科网（北京）股份有限公司 $$