16.3 二次根式的运算（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

16.3 二次根式的运算 知识点一 二次根式的加减运算 ★1.二次根式加减运算的步骤 (1) 一化：将各个二次根式化成最简二次根式 (2) 二判：找出同类二次根式 (3) 三合并：合并同类二次根式根号外的因式相加减,根指数与根号内的被开方数不变 特别提醒 （1）二次根式加减运算的实质就是合并同类二次根式 （2）在二次根式的加减运算中，化成最简二次根式后，不是同类二次根式的不能合并，直接保留在结果中. （3）整式加减运算中的运算律、去括号法则、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用. ★2.二次根式的乘法法则 两个二次根式相乘被开方数相乘,根指数不变.符号表示为 特别提醒 （1）中已隐舍了的条件,因为只有当都是非负数时,才有意义； （2）二次根式相乘的结果必须化成最简二次根式； （3）推广公式： 知识点二 二次根式的除法法则 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.符号表示为 特别提醒 (1）中已隐舍了的条件,如果都是负数时，虽然有意义，但是在实数范围内无意义，如果=0，则无意义； （2） 推广公式1： （3） 推广公式2： （4） 二次根式相除,根号前的系数除以系数的商作为商的系数，被开方数除以被开方数的商作为商的被开方数. 知识点三 分母有理化 ★1.分母有理化的概念 把分母中的根号化去，叫做分母有理化. ★2.分母有理化的方法 一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号. ★3.有理化因式 （1）分母有理化时，分子、分母所乘的代数式叫做分母的有理化因式，分母有理化的关键是确定分母的有理化因式; （2）两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式. 特别提醒 常见的互为有理化因式的形式有: 与互为有理化因式，与 互为有理化因式,与互为有理化因式。 知识点四 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除的混合运算，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点: （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算的顺序类似，先乘除，再加减，有括号的先算括号里面的; （2）在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则仍然适用，如:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律、去括号法则等都适用; （3）若结果是二次根式，则必须化为最简二次根式. 题型一 解含二次根式的方程 解题技巧提炼 解二次根式方程，按照按照移项、合并同类项、把系数化为1进行求解即可.注意计算过程中如果分母含有二次根式，可以利用分母有理化进行化简. 1. 解方程：． 【答案】 【分析】按照移项、合并同类项、把系数化为1进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴ ， ∴方程的解为． 【点睛】本题考查了解方程，涉及二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 2. 解方程：． 【答案】 【分析】先去括号，然后再移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得：． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，准确计算． 3. 小明在解方程时采用了下面的方法：由 ，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解、请你学习小明的方法，解方程：． 【答案】 【分析】参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， 两式相减得，即， 两边平方得到， ∴，经检验是原方程的解． 【点睛】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 4. 小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解下面的方程： (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1) (2)x=3 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意求解即可． 【详解】（1）解： =- = =32 ∵， ∴-=32÷16=2， ∴， ∴ ∵=92=81， ∴， 经检验都是原方程的解， ∴方程的解是：； （2）解： = = =8x， ∵+=4x， ∴-=8x÷4x=2， ∴ ∴， ∵， ∴4x2+6x﹣5=4x2+4x+1， ∴2x=6， 解得x=3， 经检验x=3是原方程的解， ∴方程+=4x的解是：x=3． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，求平方根的方法解方程，解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的运算及乘法公式是解题的关键． 题型二 解含二次根式的不等式（组） 解题技巧提炼 解含二次根式的不等式（组）方法与解方程类似，根据移项、合并同类项、把x系数化为1，然后把分母有理化，即可求出解集 1.（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）不等式的解集是 . 【答案】/ 【分析】根据一元一次不等式的解法进行计算即可求解． 【详解】解： ， 即 ∵， ∴ ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，正确的计算是解题的关键． 2.不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】先移项，再合并，即可求解． 【详解】解：， ∴， 即， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3.不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】根据移项、合并同类项、把x系数化为1，然后把分母有理化，即可求出解集． 【详解】解： 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化1，可得：， 分母有理化，可得：， ∴不等式的解集是． 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式、二次根式分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型三 利用乘法公式巧解二次根式混合运算 解题技巧提炼 二次根式混合运算中的三大妙招 (1)根据算式特点灵活选用乘法公式，并且根据解题需要逆用公式; (2)应用乘法公式时，经常要把算式的一部分作为一个整体套用公式，但一定要注意变形时的符号问题; (3)在乘方和乘法运算中,运用结合律调整运算顺序，也可简化运算. 1.已知，，求的值． 【答案】 【分析】先求出和的值，再分解因式，最后代入求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、提公因式法分解因式、求代数式的值，能求出和的值是解此题的关键． 2.计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先化简各二次根式，再用二次根式加减法计算括号内的，最后用二次根式除法法则计算即可； （2）先运用平方差与完全平方公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则和使用平方差与完全平方公式简便计算是解题的关键． 3.计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的加减混合运算法则即可解答； （2）根据二次根式的混合运算法则即可解答； （3）根据二次根式的混合运算法则即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算法则，二次根式的混合运算法则，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 题型四 二次根式之分母有理化 解题技巧提炼 (1)当分母是或的形式时，分子与分母同时乘以 ; (2)当分母是的形式时，分子与分母同时乘以; (3)当分母是的形式时，分子与分母同时乘以. 1.阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们会碰上如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． ①；②； ③． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______； (2)计算：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）仿照例题的解法依次化简即可； （2）按照第三种方法化简，进而即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：；；． （2）解： 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握平方差公式进行分母有理化是解题的关键． 2.观察下列各式： ， ， ， 依据以上呈现的规律，计算： 【答案】9 【分析】先把里边的每一项分别分母有理化，再把所得结果计算出来即可求出最后答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是找出规律，使运算简便． 3.阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． (1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①__________；②__________． (2)应用：化简． (3)拓展：__________．含的式子表示，为正整数） 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①分子分母都乘以可得答案；② 分子分母都乘以可得答案； （2）把分母中的二次根号去掉，再合并同类二次根式即可； （3）把分母中的二次根号去掉，再结合分配律，合并同类二次根式即可； 【详解】（1）解：①； ②； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的运算中的规律探究，熟练的分母有理化是解本题的关键． 题型五 根据等式对二次根式化简求值 解题技巧提炼 用整体代入法求代数式的值 如果所求代数式中含有某些特殊的整体，这些整体的取值已知或者能够很容易地求出，那么我们就可以将这些整体的取值直接代入求值，从而简化计算过程. 1.已知则的值是 . 【答案】-14 【分析】根据已知的等式可知a,b为负数，再根据分式的运算得到=，再根据完全平方公式的变形即可求解. 【详解】∵ ∴a,b为负数， ∴= ===-14 故填：-14. 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知分式的运算及乘方公式的运用. 2.设为的小数部分，为的小数部分，则值为 ． 【答案】 【分析】运用完全平方公式化简，后估算法确定整数部分和小数部分，最后分母有理化计算即可． 【详解】∵ ，且，为的小数部分， ∴； ∵ ，且，为的小数部分， ∴； ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化，二次根式的加减运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化是解题的关键． 3.已知求的值= . 【答案】26 【分析】先把两等式相乘和相加可得ab＝240，ab（a＋b）＝8160，则可计算出a＋b＝34，再根据完全平方公式变形得到＝，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a2b＝2400，ab2＝5760， ∴a3b3＝2400×57600＝2403，a2b＋ab2＝2400＋5760， ∴ab＝240，ab（a＋b）＝8160， ∴a＋b＝＝34， ∴＝＝ 故填：26. 【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形及整式的运算法则 题型六 根据字母的值对二次根式化简求值 解题技巧提炼 根据字母的值对二次根式化简求值的两种策略： 1. 式子为分式时，一般是根据完全平方公式、平方差公式、分式的运算性质、二次根式的运算性质来将式子化简，最后代入字母的值求解； 2. 式子是整式时，一般先将字母的值进行分母有理化，再代入整式求解. 1.化简求值，其中 【答案】， 【分析】根据完全平方公式、平方差公式、分式的运算性质、二次根式的运算性质计算即可求得答案． 【详解】原式 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方差公式、分式的运算、二次根式的运算，牢记分式乘除及加减的运算法则是解题的关键． 2.已知，求的值． 【答案】；5 【分析】将的值分子分母同时乘以化简，把所求式子配方变形，将的值代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：分母有理化，完全平方公式，以及配方法的应用，是一道技巧性较强的试题． 3.先化简再求值：，其中， ． 【答案】 【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可． 【详解】解：原式 ＝ ， 当， 时： 原式． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 题型七 二次根式的比大小问题 解题技巧提炼 二次根式大小比较除可采用平方法、移动因式法、作差法、作商法，也可采用分子有理化、分母有理化等方法,根据题目特点，选择适当的方法， 1.比较大小： ； ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】①将、平方之后可得，。进而利用有理数大小比较的方法即可解答；②将、分母有理化，再利用作差发法即可解答． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴， 故答案为； ②∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式大小比较的方法，二次根式的性质，分母有理化，掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键． 2.比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】将两数平方，根据结果比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，涉及了二次根式的运算，解题的关键是灵活运用平方法进行比较． 3.若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 题型八 二次根式的探究规律题 解题技巧提炼 解规律探究题的一般方法 (1) 操作:运用相关知识对给出的算式求出结果; (2) (2)观察与发现:观察操作中所列出的式子或等式,发现其规律; (3)猜想:根据发现的规律进行猜想,得出一般性的结论; (4)应用:运用得出的一般性结论解决问题. 1.观察下面的运算，完成下列各题的解答． (1)判断下列各式是否成立（成立的画√，不成立的画×）； （ ） （ ） （ ） （ ） (2)根据（1）判断的结果，你能发现什么规律？请用含有自然数n的式子将你发现的规律表示出来，并注明n的取值范围； (3)请说明你所发现式子的正确性． 【答案】(1)√；√；√；√ (2)， (3)见解析 【分析】（1）各式计算得到结果，即可作出判断； （2）根据（1）得出的规律写出即可； （3）验证得出的规律即可． 【详解】（1）解：√；√；√；√； 故答案为：√；√；√；√； （2）解：根据题意得：（n为的自然数）； （3）解：等式左边右边， ∴（n为的自然数）． 【点睛】本题是对二次根式化简的考查，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键． 2.已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解； （2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解． 【详解】解：（1）， 所以， 答：的面积是． （2）边上的高， 答：边的高是． 故答案为（1）；（2）． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． 3.【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”． 下面是小单的深究过程： ①具体运算，发现规律： 当时， 特例1：若，则； 特例2：若，则； 特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　 　 (2)当时，的最小值为 　 　； (3)当时，求的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）直接由题中规律即可完成； （2）当时，，则可由题中规律完成； （3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最大值，则最后可求得原式的最大值． 【详解】（1）解：当时，均为正数， 由题中规律得：， 当且仅当，即时，， ∴当x＞0时，的最小值为2； 故答案为：2； （2）解：当时，， 由题中规律得：， 当且仅当，即时，， ∴当x＜0时，的最小值为； 故答案为：； （3）解：∵， ∴当时， ， ∴， 当且仅当，即时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当时，的最大值为， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注意规律中两个字母均为正数，在使用时要注意． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.3 二次根式的运算 知识点一 二次根式的加减运算 ★1.二次根式加减运算的步骤 (1) 一化：将各个二次根式化成最简二次根式 (2) 二判：找出同类二次根式 (3) 三合并：合并同类二次根式根号外的因式相加减,根指数与根号内的被开方数不变 特别提醒 （1）二次根式加减运算的实质就是合并同类二次根式 （2）在二次根式的加减运算中，化成最简二次根式后，不是同类二次根式的不能合并，直接保留在结果中. （3）整式加减运算中的运算律、去括号法则、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用. ★2.二次根式的乘法法则 两个二次根式相乘被开方数相乘,根指数不变.符号表示为 特别提醒 （1）中已隐舍了的条件,因为只有当都是非负数时,才有意义； （2）二次根式相乘的结果必须化成最简二次根式； （3）推广公式： 知识点二 二次根式的除法法则 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.符号表示为 特别提醒 (1）中已隐舍了的条件,如果都是负数时，虽然有意义，但是在实数范围内无意义，如果=0，则无意义； （2） 推广公式1： （3） 推广公式2： （4） 二次根式相除,根号前的系数除以系数的商作为商的系数，被开方数除以被开方数的商作为商的被开方数. 知识点三 分母有理化 ★1.分母有理化的概念 把分母中的根号化去，叫做分母有理化. ★2.分母有理化的方法 一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号. ★3.有理化因式 （1）分母有理化时，分子、分母所乘的代数式叫做分母的有理化因式，分母有理化的关键是确定分母的有理化因式; （2）两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式. 特别提醒 常见的互为有理化因式的形式有: 与互为有理化因式，与 互为有理化因式,与互为有理化因式。 知识点四 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除的混合运算，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点: （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算的顺序类似，先乘除，再加减，有括号的先算括号里面的; （2）在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则仍然适用，如:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律、去括号法则等都适用; （3）若结果是二次根式，则必须化为最简二次根式. 题型一 解含二次根式的方程 解题技巧提炼 解二次根式方程，按照按照移项、合并同类项、把系数化为1进行求解即可.注意计算过程中如果分母含有二次根式，可以利用分母有理化进行化简. 1. 解方程：． 2. 解方程：． 3. 小明在解方程时采用了下面的方法：由 ，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解、请你学习小明的方法，解方程：． 4. 小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解下面的方程： (1)解方程； (2)解方程． 题型二 解含二次根式的不等式（组） 解题技巧提炼 解含二次根式的不等式（组）方法与解方程类似，根据移项、合并同类项、把x系数化为1，然后把分母有理化，即可求出解集 1. （2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）不等式的解集是 . 2.不等式的解集是 ． 3.不等式的解集是 ． 题型三 利用乘法公式巧解二次根式混合运算 解题技巧提炼 二次根式混合运算中的三大妙招 (1)根据算式特点灵活选用乘法公式，并且根据解题需要逆用公式; (2)应用乘法公式时，经常要把算式的一部分作为一个整体套用公式，但一定要注意变形时的符号问题; (3)在乘方和乘法运算中,运用结合律调整运算顺序，也可简化运算. 1.已知，，求的值． 2.计算： (1)； (2)． 3.计算： (1) (2) (3) 题型四 二次根式之分母有理化 解题技巧提炼 (1)当分母是或的形式时，分子与分母同时乘以 ; (2)当分母是的形式时，分子与分母同时乘以; (3)当分母是的形式时，分子与分母同时乘以. 1.阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们会碰上如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． ①；②； ③． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______； (2)计算：． 2.观察下列各式： ， ， ， 依据以上呈现的规律，计算： 3.阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． (1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①__________；②__________． (2)应用：化简． (3)拓展：__________．含的式子表示，为正整数） 题型五 根据等式对二次根式化简求值 解题技巧提炼 用整体代入法求代数式的值 如果所求代数式中含有某些特殊的整体，这些整体的取值已知或者能够很容易地求出，那么我们就可以将这些整体的取值直接代入求值，从而简化计算过程. 1.已知则的值是 . 2.设为的小数部分，为的小数部分，则值为 ． 3.已知求的值= . 题型六 根据字母的值对二次根式化简求值 解题技巧提炼 根据字母的值对二次根式化简求值的两种策略： 1. 式子为分式时，一般是根据完全平方公式、平方差公式、分式的运算性质、二次根式的运算性质来将式子化简，最后代入字母的值求解； 2. 式子是整式时，一般先将字母的值进行分母有理化，再代入整式求解. 1.化简求值，其中 2.已知，求的值． 3.先化简再求值：，其中， ． 题型七 二次根式的比大小问题 解题技巧提炼 二次根式大小比较除可采用平方法、移动因式法、作差法、作商法，也可采用分子有理化、分母有理化等方法,根据题目特点，选择适当的方法， 1.比较大小： ； ．（填“”“”或“”） 2.比较大小： （填“”、“”或“”）． 3.若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型八 二次根式的探究规律题 解题技巧提炼 解规律探究题的一般方法 (1) 操作:运用相关知识对给出的算式求出结果; (2) (2)观察与发现:观察操作中所列出的式子或等式,发现其规律; (3)猜想:根据发现的规律进行猜想,得出一般性的结论; (4)应用:运用得出的一般性结论解决问题. 1.观察下面的运算，完成下列各题的解答． (1)判断下列各式是否成立（成立的画√，不成立的画×）； （ ） （ ） （ ） （ ） (2)根据（1）判断的结果，你能发现什么规律？请用含有自然数n的式子将你发现的规律表示出来，并注明n的取值范围； (3)请说明你所发现式子的正确性． 2.已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 3.【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”． 下面是小单的深究过程： ①具体运算，发现规律： 当时， 特例1：若，则； 特例2：若，则； 特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　 　 (2)当时，的最小值为 　 　； (3)当时，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$