第八章 二元一次方程组（含参二元一次方程组）讲义 2023-2024学年人教版七年级数学下册

含参二元一次方程组 知识点一：解基本含参方程 解题核心：找准已知数与未知数，利用代入法或加减法解决含参方程． 【典例精析】 例1．当x＝m－1，y＝m＋1满足方程2x－y＋m－3＝0，则m＝_________． 例2．若方程组的解是，那么a、b的值分别是( ) A．a＝1，b＝0 B．a＝1，b＝ C．a＝－1，b＝0 D． a＝0，b＝0 例3．方程组的解中x与y的值相等，则k等于______________． 【随堂练习】 1．已知是二元一次方程2x－ay＝4的一个解，则a=__________． 2．关于x、y的方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出m，则m的值是( ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 3．求解该二元一次方程组 (a为已知数) 知识点二：整体思想的运用 整体思想是数学中常用的思想方法，它可以把某个代数式看作一个整体，避繁就简地帮助我们解决问题． 解题核心：先观察题目，看是否有相关联的结构可视为同一个整体，再进行替换代入求解． 【典例精析】 例1．若方程组的解为，则方程组的解是( ) A． B． C． D． 例2．已知方程组：的解是，求a＋b的值． 【随堂练习】 1．已知方程组：，求x＋y与x－y的值． 知识点三：叠加法解方程 整体叠加法是解方程中实用方法之一，可避繁就简地帮助我们解决问题． 解题核心：先观察题目，看是否有相关联的结构可直接相加减． 【典例精析】 例1．已知关于x，y的二元一次方程组 若方程组的解互为相反数，求k的值． 【随堂练习】 1．已知关于x，y的方程组满足方程x＋y=4，求k的值． 知识点四：二元一次方程的典型类型 1．一切成立型； 2．换元型； 3．重组型； 4．看错型； 5．无解型； 6．无数解型． 【典例精析】 例1．（一切成立型）已知等式(2A－7B)x＋(3A－8B)＝8x＋10对一切实数x都成立，求A、B的值． 例2．（换元型）在y＝ax2＋bx＋c中，当x＝0时，y＝－3；当x＝2时，y＝－7；当x＝－2时， y＝－11．当x＝－3时，求y的值． 例3．（重组型）已知关于x，y的方程组和有公共解，求m，n的值． 例4．（看错型）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为．试求a2019＋(－b)2020的值． 例5．（无解型）求二元一次方程组的解为 ． （无数解型）求二元一次方程组的解为 ． 【随堂练习】 1．已知等式(A＋B)x＋(3A＋2B)＝x＋5对一切实数x都成立，求A、B的值，实际上是求方程组 的解． 2．已知关于x，y的方程组和 有相同解，求(－a)b值，实际上是先求 关于x，y的方程组 的解，再求关于a、b的方程组的解． 3．若，，都是方程ax＋by＋2＝0的解，则c＝ ． 4．在二元一次方程组中，若这个方程组没有解，则(　　) A．k＝－2 B．k＝2 C．k＝－3 D．k＝3 5．与二元一次方程x＋3y＝1组成的方程组有无数个解的方程是(　　) A．x－6y＝4 B．3x＋9y＝1 C．2x－6y＝4 D．3x＋9y＝3 6．在解方程组时，哥哥正确地解得，弟弟因把c写错而解得， 求a＋b＋c的值． 【课堂小结】 ( 1 ． 一切成立型：利用对应代数式的 “ 系数，常数相等 ” 构建方程组 2 ． 看错型：代入 “ 对的方程中 ” 3 ． 无解型： 其中 c ≠ d 无数解型： 其中 ＝ ＝ ) 知识点五：从图形角度看二元一次方程(组) 1．把二元一次方程转化为图形，画图发现二元一次方程的图象是一条直线，了解二元一次方程图象的定义，感受数形统一的奇妙； 2．能从图形的角度解释二元一次方程组解的情况，并能从图象中读出二元一次方程组的解，体验从图形角度解释代数问题的直观性和数学思维的理性之美． 【典例精析】 探究一： 问题1：二元一次方程x－y＝0 有几组解？试着写出来。 问题2：在平面直角坐标系中，把x－y＝0的解对应的坐标描出来，x的值当作横坐标，y的值当作纵坐标。 问题3：x－y＝0的解在坐标系中有什么特点呢？过这些坐标中的任意两点作直线，你有什么发现？在这条 直线上任取一点，这个点的坐标是方程x－y＝0的解吗？ 探究二：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线。根据这个结 论，在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，由这 两个二元一次方程的图象，对于这个二元一次方程组的解，你可以从一个新的角度加以描述吗？ 【随堂练习】 1．阅读下列材料，解答提出的问题： 我们知道，二元一次方程x＋y＝1有无数组解，如果我们把每一组的解用有序数对(x，y)表示，就可以标出一些以方程x＋y＝1的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，发现其它点也都在这条直线上，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程x＋y＝1的解，如点P(－1．5，2．5)．若再写出方程x＋y＝1的一组解：　 　，并在所示坐标系中描出该点，则发现这个点　 　这条直线上． 所以，以方程x＋y＝1的解为坐标的点的全体叫做方程x＋y＝1的图象，根据上面探究，方程x＋y＝1的图象是　 　． 根据上述材料，解答下列问题： （1）请将材料中横线部分缺少的内容或过程补充完整． （2）请在如图所示坐标系中画出方程2x－y＝－4的图象； （31）根据所画图象，二元一次方程组的解是 ． 这种用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，体现的数学思想是　 ．(填出下列选项的字母代号即可) A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 【课堂小结】 ( 1 ． 将二元一次方程的解转化成坐标系中点的坐标，从图形的角度解释二元一次方程组解的情况； ※ 2 ．从二元一次方程在坐标系中的图象的角度，理解同一平面中两条直线相交、平行和重合分别对应二元一次方程组有唯一解、无解和无数解的情况． ) 【巩固练习】 1．已知二元一次方程组，则的值为( ) A． －1 B． C．3 D．5 2．用加减法将方程组 中的未知数x消去后， 得到的方程是( ) A．2y＝6 B．8y＝16 C．－2y＝6 D．－8y＝16 3．甲、乙两人同求方程ax－by＝7的整数解，甲正确求出一个解是，乙把ax－by＝7看成ax－by＝1，求得一个解为；求()2019＋(－)2020的值． 4． 已知关于x，y的方程组的解满足：x＋4y＝15，求m的值． 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$